22.1 二次函数的图象和性质 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期末）是二次函数，则m的值是（ ）
A．m≠0 B．m＝±1 C．m＝1 D．m＝﹣1
2．（2022秋·黑龙江绥化·九年级期末）下列函数中y是x的二次函数的是（ ）
A． B．y=
C． D．
3．（2022秋·黑龙江绥化·九年级期末）已知，点都在二次函数的图象上，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级期末）已知、、，它们的图像开口由小到大的顺序是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）在抛物线y=-x2+1 上的一个点是( )．
A．(1，0) B．(0，0) C．（0，-1) D．（1，I)
6．（2022秋·黑龙江鹤岗·九年级统考期末）已知二次函数y=-2（x+b）2，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则当时，y的值为（ ）
A．-12 B．12 C．32 D．-32
7．（2022秋·黑龙江大庆·九年级统考期末）对于二次函数的图象，下列说法正确的是( )
A．图象与轴交点的坐标是 B．对称轴是直线
C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大
8．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）在同一平面直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且)的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
9．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）把抛物线向右平移2个单位，然后向下平移1个单位，则平移后得到的抛物线解析式是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与轴交于点C，且，下面所给的结论错误的是（ ）.
A． B． C． D．
11．（2022秋·黑龙江绥化·九年级期末）在同一平面直角坐标系内，将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）关于的二次函数的图像过原点，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．0
13．（2022秋·黑龙江双鸭山·九年级统考期末）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．小王同学画出了“鹊桥”函数的图像（如图所示），下列结论错误的是（ ）
A．图像具有对称性，对称轴是直线
B．当时，函数有最大值是4
C．当或时，函数有最小值是0
D．当或时，函数值随值的增大而减小
14．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）如图，抛物线（）的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为），下列结论：①；②；③当时，x的取值范围是；④点，都在抛物线上，则有．其中结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
15．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级期末）二次函数解析式为y＝（m＋1）＋4x＋7，则m的值是 ．
16．（2022秋·黑龙江大庆·九年级统考期末）已知抛物线开口向上，且，则 ．
17．（2022秋·黑龙江佳木斯·九年级统考期末）点在二次函数的图像上，且到该抛物线对称轴的距离为3，则点的坐标为 ．
18．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）二次函数的图象的对称轴是直线 ；
19．（2022秋·黑龙江鹤岗·九年级统考期末）抛物线y=-（x-2）2+2的顶点坐标是
20．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级期末）二次函数图像开口向下且顶点坐标是P（2，3），则函数y随自变量x的增大而减小则x的取值范围是 ．
21．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级期末）把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 ．
22．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级期末）已知二次函数的图像如图所示，有下列5个结论：
①；②；③；④；⑤（的实数）．
其中正确的结论有 （填序号）
23．（2022秋·黑龙江绥化·九年级统考期末）将二次函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的函数解析式是 ．
24．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级期末）抛物线的最小值为 ．
三、解答题
25．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，直线与抛物线在第一象限交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知点在抛物线上，当时，直接写n的取值范围；
(3)连接，点Q是直线上不与A、B重合的点，若，请求出点Q的坐标；
(4)在x轴上有一动点H，平面内是否存在一点N，使以点A、H、C、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
26．（2022秋·黑龙江佳木斯·九年级统考期末）如图，抛物线与轴交于，两点在的左侧），与轴交于点，点与关于抛物线的对称轴对称．
(1)求抛物线的解析式及点的坐标；
(2)点是抛物线上的一点，当的面积是8，求出点的坐标
27．（2022秋·黑龙江双鸭山·九年级统考期末）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为．
(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；
(2)求的面积；
(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当 的值最小时，求点P的坐标．
28．（2022秋·黑龙江黑河·九年级统考期末）如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(2，0)，B(-6，0)两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在坐标平面内是否存在一点P，使得Q、B、A、P围成的图形是平行四边形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
29．（2022秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期末）如图，抛物线的顶点为C（1，4），交x轴于点A，B ( -1，0 ) 两点，交y轴于点D．
(1)求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标，
(2)判断△ACD的形状，并求出△ACD的面积．
参考答案：
1．B
【分析】根据二次函数的定义：二次项系数不能为0，且未知数的最高次数为2，求解出m的值即可．
【详解】解：是二次函数，
且，
解得：m＝±1．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟知二次函数的定义是解决本题的关键．
2．A
【分析】根据二次函数的定义：一般地形如（a）的函数为二次函数，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、为二次函数，故符合题意；
B、不是二次函数，故不符合题意；
C、 ，当a=0时不是二次函数，故不符合题意；
D、 为一次函数，故不符合题意；
故选A．
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的定义．
3．C
【分析】根据二次函数的增减性，进行求解即可．
【详解】解：∵
∴0＜a-1＜a＜a+1
∵，-2＜0，
∴当x＞0时，y随x值的增大而减少，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的增减性，在解题时要考虑点是否在对称轴同一侧的图像上，然后再利用增减性进行解题．
4．C
【分析】抛物线的开口大小与二次项系数的绝对值大小有关，绝对值越大，则开口越小，根据这个关系即可确定答案．
【详解】∵，二次项系数绝对值越大，抛物线开口越小
∴
故选：C
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数图象与性质是关键．
5．A
【分析】根据几个选项，分别将x=1或x=0代入y=-x2+1中，求y的值即可．
【详解】解：∵当x=1时，y=-x2+1=-1+1=0，
当x=0时，y=-x2+1=0+1=1，
抛物线过（1，0）或（0，1）两点．
故选A．
6．D
【分析】根据当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，即可得到抛物线的对称轴为直线，由此求解即可．
【详解】解：∵当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴当时，，
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟知二次函数图象的性质是解题的关键．
7．D
【分析】根据抛物线的性质由a=-4得到图象开口向下，当x=0时，可求图像与y轴的交点，根据顶点式得到顶点坐标为（-6，-5），对称轴为直线x=-6，从而可判断抛物线增减性．
【详解】解：对于二次函数的图象，
当x=0时，y=-149，∴图像与y轴交点坐标为（0，-149），A选项说法不正确；
抛物线对称轴为直线x=-6，B选项说法不正确
抛物线顶点坐标为（-6，-5），C选项说法不正确
∵a=-4＜0，∴图像开口向下
当时，随的增大而增大，D选项说法正确
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图像性质，掌握相关性质利用数形结合思想解题是关键．
8．D
【分析】根据函数图象判断两个值，函数的图象是否正确即可得到答案．
【详解】解：A、根据函数图象可知：一次函数解析式中，二次函数解析式中，两者符号相同，但根据，得抛物线的对称轴应在轴的右侧，与图象不符，故该选项不符合题意；
B、根据函数图象可知：一次函数解析式中，二次函数解析式中，故该选项不符合题意；
C、根据函数图象可知：一次函数解析式中，二次函数解析式中，两者符号相同，但根据，得抛物线的对称轴应在轴的左侧，与图象不符，故该选项不符合题意；
D、根据函数图象可知：一次函数解析式中，二次函数解析式中，两者符号相同，根据，得抛物线的对称轴应在轴的右侧，与图象相符，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查一次函数与二次函数的图象性质，根据图象判断函数解析式中字母的取值，正确理解函数图象是解题的关键．
9．B
【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】由“左加右减”的原则可知，抛物线向右平移2个单位所得抛物线是；
由“上加下减”的原则可知，抛物线向下平移1个单位所得抛物线是．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”的原则是解题的关键．
10．D
【分析】利用函数图象开口以及与题目给的条件抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与轴交于点C，且，结合韦达定理判断即可.
【详解】解：抛物线开口向上，与轴交于正半轴，
，，
抛物线的图象与x轴交于A、B两点，且A、B两点交于x负半轴，根据韦达定理，
，
，则，故A正确；
当，即时，，抛物线，故B正确；
，，
当，抛物线为
又抛物线的图象与x轴交于A、B两点，
，
，
，
，故C正确；
，
，
，故D错误．
故选：D
【点睛】本题主要考查了利用二次函数图象解决系数的关系，解题的关键是需要数形结合，属于中档题．
11．D
【分析】根据函数图象的平移规律即可解答
【详解】解：将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是将抛物线，
故平移后的顶点坐标为．
故选D．
【点睛】本题主要考查了函数图象的平移、顶点坐标的确定等知识点，根据平移的规律“左加右减，上加下减”得到平移后的函数解析式是解答本题的关键．
12．A
【分析】根据题意，关于的二次函数的图像过原点，将坐标代入可得且，解得，从而得到答案．
【详解】解：关于的二次函数的图像过原点，
将坐标代入可得，且二次函数定义知，
，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数定义、二次函数图像与性质，根据题意得到且是解决问题的关键．
13．B
【分析】观察图象，分别计算出对称轴、函数图象与x轴的交点坐标，结合图象逐个选项分析判断即可．
【详解】解：观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线，故A正确，不符合题意；
令可得，
∴，
∴，
∴和是函数图象与x轴的交点坐标，
由图象可知，当时，函数值随x的减小而增大，当时，函数值shi随x的增大而增大，
由图象可知和是函数图象的最低点，则当或时，函数最小值是0，故C正确，不符合题意；
综合来看：，
故当时的函数值4并非最大值，故B错误，符合题意；
∵对称轴是直线，
∴当或时，函数值y随x值的增大而减小，故D正确，不符合题意；
综上，只有B错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数在新定义函数中的应用等知识，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
14．C
【分析】根据抛物线的开口，对称轴，特殊值x=-1可判断①②正确，根据图像可得，当y>0时，是x轴上方的图像，可判断③错误，求出，，结合①②的结论即可判断出④正确．
【详解】∵抛物线的开口向下，a<0，对称轴为x=1，
∴，
∴，
∵抛物线交于y轴正半轴，
∴c>0，
∴，故①正确；
∵抛物线与x轴交于(-1,0)，
∴当x=-1时，，
∵，
∴将代入，得3a+c=0，故②正确；
根据图像可得，当y>0时，是x轴上方的图像，抛物线过点(-1,0)，对称轴为x=1，
根据抛物线的对称性可得，抛物线过点(3,0)，
∴y＞0时，有，故③错误；
∵抛物线与x轴的两个交点为：(-1,0)，(3,0)，对称轴为x=1，
当x=-2时，，
当x=2时，，
∵，3a+c=0，a<0，
∴，，
∴，故④正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解决这类题需要掌握：a看抛物线开口方向，b往往看对称轴，c看抛物线与y轴的交点，以及抛物线的对称性以及代入特殊点等．
15．2
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如的函数叫做二次函数，进行求解即可．
【详解】解：∵是二次函数解析式，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义和解一元二次方程，解题的关键在于能够熟知二次函数的定义．
16．4
【分析】根据抛物线开口向上得到，再根据绝对值的性质求解即可．
【详解】解：抛物线开口向上，∴
又∵
∴
∴
故答案为
【点睛】此题考查了二次函数的性质以及绝对值的性质，熟练掌握二次函数的有关性质是解题的关键．
17．或/或
【分析】根据二次函数解析式得到对称轴，结合点在二次函数的图像上，且到该抛物线对称轴的距离为3，得到点的横坐标为或，将横坐标代入表达式即可得到答案．
【详解】解：二次函数，
对称轴为，
点在二次函数的图像上，且到该抛物线对称轴的距离为3，
点的横坐标为或，代入函数表达式得，
点的坐标为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查二次函数图像与性质，涉及点在图像上，点到对称在距离等知识，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键．
18．x=-3
【分析】根据顶点式解析式的特点直接解答即可．
【详解】解：二次函数的图象的对称轴是直线x=-3，
故答案为x=-3．
【点睛】此题考查了二次函数顶点式解析式的特点，熟记顶点式解析式的特点并熟练应用是解题的关键．
19．（2，2）
【分析】已知抛物线为顶点式，根据顶点式与顶点坐标的关系求解．
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为（2，2），
故答案为（2，2）．
【点睛】本题主要考查了考查二次函数的性质，掌握的顶点坐标为是解题的关键．
20．x>2
【分析】由图可知，图象在对称轴的右侧时，函数y随自变量x的增大而减小．
【详解】解：抛物线顶点坐标是，
对称轴为，
又抛物线开口向下，由图可知，图象在对称轴的右侧时，函数y随自变量x的增大而减小，
当时，函数随自变量的增大而减小．
故答案为．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
21．或（答出这两种形式中任意一种均得分）
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
【详解】由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2．
故答案为y=2（x+1）2﹣2．
考点：二次函数图象与几何变换．
22．③④⑤
【分析】由抛物线的开口方向可以得出，由抛物线与轴的交点可以判断，由抛物线的对称轴可以判断，再根据抛物线与轴的交点情况以及抛物线的顶点进行推理即可得到答案．
【详解】解：①二次函数的图象开口方向向下，与轴交于正半轴，对称轴为直线，
，
，
，故①错误，不符合题意；
②二次函数的图象与轴的交点在的右边，图象开口方向向下，
当时，，
，
，故②错误，不符合题意；
③二次函数的图象与轴的另一个交点在的右边，图象开口方向向下，
当时，，
，故③正确，符合题意；
④由①得：，
，
由②得：，
，
，故④正确，符合题意；
⑤二次函数的图象的对称轴为直线，
当时，取最大值，最大值为，
当时，，
，故⑤正确，符合题意；
综上所述：正确的结论有：③④⑤，
故答案为：③④⑤．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与各项系数符号的关系，根据二次函数的图象判断式子的符号，熟练掌握二次函数的性质，采用数形结合的方法解题，是解此题的关键．
23．
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可．
【详解】解：的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得．
故答案为：．
【点睛】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
24．2
【分析】利用配方法，把函数解析式化为顶点式，在根据函数的性质求最值．
【详解】解：，
∵a＝1＞0，
∴当x＝1时，y有最小值，最小值为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查二此函数的最值，解决本题的关键是对二次函数性质的掌握．
25．(1)
(2)
(3)或；
(4)或或或．
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式；
（2）根据对称轴直线求出对称轴直线，即可得出最小值，再分别求出当和时的函数值即可得出n的取值范围；
（3）先计算出，再求出解析式，设出点Q坐标，根据三角形面积公式即可求解；
（4）分类讨论，分别当为对角线时，画出图形即可求解．
【详解】（1）解：把代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（1）可知，二次函数解析式为，
∴抛物线的对称轴直线，
∴当时，n取最小值，
此时：，
当时， ；
当时， ；
∴当时，；
（3）∵、
∴，
∴，
设直线的表达式为，
将点、代入得：
，解得，
∴的表达式为，
设点Q的坐标为
∴
解得或，
当时，，
当时，
∴点Q的坐标为或；
（4）存在一点N，使以点A、H、C、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
①当为菱形的对角线时，如图所示，
由（3）可知，，
∴，
∴，
∴菱形为正方形，
∴点N的坐标为
②如图所示，当为菱形对角线时，C、N关于x轴对称，
∴点N坐标为；
③，当为对角线时，如图所示，
，
∴，
∴点N的坐标为或
综上所示，点N的坐标为：或或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求函数表达式，自变量取值范围内的函数值，三角形面积，菱形等知识，解题的关键是添加辅助线，构造出相应图形解决问题．
26．(1)，点的坐标为
(2)点的坐标为或或
【分析】（1）根据点的坐标，利用二次函数图像上点的坐标特征可求出值，进而可得出抛物线的解析式，由抛物线的解析式利用二次函数的性质可得出抛物线的对称轴，结合点的坐标可得出点的坐标；
（2）利用二次函数图像上点的坐标特征可求出点，的坐标及的长，设点的坐标为，由三角形的面积公式结合的面积是8，可求出值，再利用二次函数图像上点的坐标特征可求出点的坐标．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，
，
，
抛物线的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
点与关于抛物线的对称轴对称，
点的坐标为；
（2）解：当时，，
解得：，，
点的坐标为，点的坐标为，，
设点的坐标为，
的面积是8，
，即，解得，
当时，，
解得：，，
点的坐标为，或，；
当时，，
解得：，
点的坐标为；
当的面积是8，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用二次函数图像上点的坐标特征求出值；（2）利用三角形的面积公式，求出点的纵坐标．
27．(1)
(2)6
(3)点P的坐标为：．
【分析】（1）首先把点B的坐标代入抛物线，利用待定系数法即可求得m的值，继而求得抛物线的顶点坐标；
（2）根据，求出A、C点坐标，再根据面积公式即得；
（3）首先连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，继而求得答案．
【详解】（1）解：把点B的坐标代入抛物线得：，
解得：，
∴，
∴顶点坐标为：
（2）解：点B的坐标为，由（1）知的对称轴为，
∴，
令，则，
∴＝．
（3）解：连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时的值最小，
设直线BC的解析式为：，
∵点，点，
∴，
解得：．
∴直线BC的解析式为：，
当时，，
∴当的值最小时，点P的坐标为：．
【点睛】此题考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式以及距离最短问题．注意找到点P的位置是解此题的关键．
28．(1)
(2)存在，Q(-2，8)
(3)存在，(6，8)或(-2，-8)或(-10，8)
【分析】（1）根据抛物线与x轴的交点坐标与系数的关系即可求得；
（2）根据轴对称的性质先找出C的对称点C′，然后连接AC′即可找到Q点，最后根据A、C′的坐标求得直线AC′的解析式，即可求得Q的坐标；
（3）分三种情况：如图，①当以AQ为四边形对角线线时，则有平行四边形ABQP1；②当以AB为四边形对角线线时，则有平行四边形AQBP2；③当以BQ为四边形对角线线时，则有平行四边形ABP3Q；根据平行四边形的性质，利用平移坐标变换规律求出P坐标即可．
【详解】（1）解：∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（2，0），B（-6，0）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：存在(如图1) Q(-2，8)，
连接BC交抛物线对称轴于点Q，此时△QAC的周长最小.
∵抛物线交y轴于C点，
∴c=12，即C（0，12），
又B（-6，0），
设：直线BC的解析式为y=kx+b，则
，解得：，
∴直线BC的解析式为y=2x+12，
又抛物线的对称轴为直线x=-2，
当x=-2时代入y=2x+12，解得y=8，
所以Q(-2，8)；
（3）解：存在，
分三种情况：如图，
①当以AQ为四边形对角线线时，则有平行四边形ABQP1，
∴QP1AB，QP1=AB，
∵B(-6,0)，Q(-2,8),
∴将AB沿x轴向右平移4个单位，沿y轴向上平移8个单位，得到QP1，
又∵A(2,0)，
∴P1(6,8)；
②当以AB为四边形对角线线时，则有平行四边形AQBP2，
∴AP2BQ，AP2=BQ，，
∵A(2,0)， Q(-2,8),
∴将BQ沿x轴向右平移4个单位，沿y轴向下平移8个单位，得到AP2，
又∵B(-6,0)，，
∴P2(-2,-8)；
③当以BQ为四边形对角线线时，则有平行四边形ABP3Q，
∴QP3AB，QP3=AB，，
∵A(2,0)，Q(-2,8),
∴将AB沿x轴向左平移4个单位，沿y轴向上平移8个单位，得到QP3，
又∵B(-6,0)，，
∴P3(-10,8)；
综上，存在一点P，使得Q、B、A、P围成的图形是平行四边形，P点坐标为(6，8)或(-2,-8)或(-10，8) ．
【点睛】该题考查的内容主要涉及到利用待定系数法确定函数解析式、利用轴对称性质求最小值、平行四边形的判定和性质，平移坐标变换规律，题目属二次函数综合题，要注意分类讨论思想的应用．
29．(1)，D点坐标为（0，3）
(2)△ACD是以AC为斜边的直角三角形，3
【分析】（1）先把抛物线解析式设为顶点式，代入点B坐标求出解析式即可求出点D的坐标；
（2）先求出点A的坐标，然后利用勾股定理的逆定理判断△ACD的形状，据此求解即可；
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为（1，4），
∴可设抛物线解析式为，
∵与轴交于点B（-1，0），
∴，解得，
∴抛物线解析式为，
∵抛物线交y轴于点D，
∴D点坐标为（0，3）；
（2）解：由顶点C坐标(1，4)可知对称轴是直线x=1，点B(-1，0)和点A是对称点，
∴点A(3，0)，
，
∴△ACD是以AC为斜边的直角三角形．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与y轴的交点，勾股定理的逆定理，两点距离公式，三角形面积等等，正确求出抛物线解析式是解题的关键．22.2 二次函数与一元二次方程 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·黑龙江七台河·九年级统考期末）抛物线与y轴的交点坐标是（ ）
A．（4，0） B．（-4，0） C．（0，-4） D．（0，4）
3．（2022秋·黑龙江绥化·九年级期末）如图是二次函数的图象的一部分，图象过，二次函数的对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为，下列结论：①；②；③图象与x轴的另一个交点坐标为；④关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；⑤．其中正确的结论个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2022秋·黑龙江双鸭山·九年级统考期末）已知函数的图像与坐标轴恰有两个公共点，则实数的值为（ ）
A．或 B． C．或 D．或
6．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．（2022秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期末）如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点B在（0，﹣3）和（0，﹣2）两点之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝﹣1.下列结论：①＞0；②4a﹣2b＋c＞0；③＜a＜1；④4b＋3c＜0；⑤当﹣3＜x＜1时，y＜0．其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图，抛物线（）与x轴交于点，其对称轴直线，结合图象给出下列结论：
①；②；
③当时，y随x的增大而增大；
④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）如图，二次函数的图像与轴负半轴交于点，对称轴为直线．以下结论：
①；②；③若点，，均在函数图像上，则；④若方程的两根为，且，则．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2022秋·黑龙江大庆·九年级期末）二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2，（a＜b）与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，下列结论正确的是（ ）
A．m＜a＜n＜b B．a＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．a＜m＜n＜b
11．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，结合图象给出下列结论：
①；
②；
③关于x的一元二次方程的两根分别为-3和1；
④若点，，均在二次函数图象上，则；
⑤（m为任意实数）．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2022秋·黑龙江佳木斯·九年级统考期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：
①ac＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③当x＞2时，y随x的增大而增大；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．（2022秋·黑龙江佳木斯·九年级统考期末）如图，抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，则周长的最小值是 ．
14．（2022秋·黑龙江大庆·九年级统考期末）抛物线y＝x2＋8x﹣4与直线y＝5的交点坐标是 ．
15．（2022秋·黑龙江大庆·九年级期末）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … －1 0 1 2 3 …
y … 10 5 2 1 2 …
则当y＜5时，x的取值范围是 ．
16．（2022秋·黑龙江双鸭山·九年级统考期末）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣3，6)，B(1，3)，则方程ax2﹣bx﹣c＝0的解是 ．
17．（2022秋·黑龙江绥化·九年级统考期末）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是 ．
18．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级期末）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c>0的解集是 ．
19．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为 ．
20．（2022秋·黑龙江绥化·九年级期末）若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则抛物线与轴的交点坐标为 ．
21．（2022秋·黑龙江大庆·九年级期末）如果数m使关于x的二次函数y=-x2+2x+m-4的函数值恒为负数，且使关于x的方程（m-2）x2+4x-1=0有实数根，那么所有满足条件的整数m的值的和为 ．
22．（2022秋·黑龙江鹤岗·九年级统考期末）抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②；③；④方程有两个相等的实数根．其中正确的结论有 （填序号）．
三、解答题
23．（2022秋·黑龙江七台河·九年级统考期末）如图，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴的负半轴相交于点，与轴的正半轴相交于点，与轴相交于点，点的坐标为（0，-3），且．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设这个二次函数的顶点为，求的长．
24．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级期末）已知抛物线y＝－x ＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．其中A（1，0）、C（0，3）．
（1）求抛物线解析式；
（2）D是抛物线的顶点，求△ABD的面积．
25．（2022秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期末）如图，已知抛物线经过点和点两点．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标．
26．（2022秋·黑龙江大庆·九年级统考期末）求不等式﹣x2﹣6x＋16＞0的解集．
27．（2022秋·黑龙江佳木斯·九年级统考期末）如图，二次函数的图象的顶点的坐标为，与轴交于，，根据图象回答下列问题：
(1)写出方程的根；
(2)若方程有实数根，写出实数的取值范围．
28．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级期末）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
参考答案：
1．D
【分析】根据题意得令，得，则，即可解得答案．
【详解】解：根据题意得令，
∴，
∴，，，
∴，
解得．
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：对于二次函数（，，是常数，），令后，得到关于的一元二次方程，的情况决定了一元二次方程根的情况，相应的决定了抛物线与轴的交点个数．
2．D
【详解】试题分析：求图象与y轴的交点坐标，令x=0，求y即可．
当x=0时，y=4，
所以y轴的交点坐标是（0，4）．故选D．
考点：二次函数图象上点的坐标特征．
3．A
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点、特殊点值等方面逐项判断即可．
【详解】解：根据图象，抛物线与x轴有两个交点，∴，即，故①正确；
∵抛物线开口向下，与y轴的正半轴相交，
∴，，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，，故②错误，③正确；
当时，，故④错误；
∵图象过，二次函数的对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
由图象可知，当当时，．故⑤错误，
综上，正确的有①③，共2个，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图象与系数关系，二次函数的性质、抛物线与坐标轴的交点问题、二次函数与不等式问题等，会利用数形结合思想求解是解答的关键．
4．B
【分析】根据开口方向、与y轴的交点位置、对称轴即可判断①对错；根据对称轴即可判断②对错；根据抛物线的对称性得即可判断③对错；根据图象与x轴的交点个数，即可判断④对错；将代入函数解析式即可判断⑤对错．
【详解】解：图象开口向上，与轴交点在负半轴，
，，
图象对称轴在x轴负半轴，
、同号，
，
，①错误；
对称轴为直线，
，
，②正确；
对称轴为直线，且与的一个交点坐标为，
图象与x轴的另一个交点坐标为，③正确；
图象与x轴有两个交点，
关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，④错误；
图象与x轴的两个交点为，
，
，
，⑤正确，
正确的结论有②③⑤，共3个，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，函数与方程的关系，由图象得出a、b、c的数量关系是解题关键，属于基础题型．
5．C
【分析】函数的图像与坐标轴恰有两个公共点，可分两种情况讨论：过坐标原点，则有；与轴、轴各有一个交点，即当时，，且．求解即可获得答案．
【详解】解：函数的图像与坐标轴恰有两个公共点，则，
两种情况讨论：
①对称轴为直线，当函数图像经过坐标原点时，则有，解得；
②与轴、轴各有一个交点，则该函数图像与轴只有一个交点，
即：，，且，
∴，解得或．
综上所述，实数的值为1或．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图像与轴交点问题，解题关键是掌握函数图像与坐标轴恰有两个公共点的情况，分情况讨论避免遗漏．
6．A
【分析】①根据图像可得a＜0，b＜0，c＞0，由此即可判定①；②当x=-1时，函数值大于0，列式化简即可判定②；③由抛物线的对称轴为x=﹣1时，可得到a和2b的关系，由此可判定③；④由抛物线于x轴有两个交点，根据一元二次方程根的判别式可判定④；⑤当x=-时，y的值最大．此时，y=a-b+c，当x=n时，y=an2+bn+c，由此即可判定⑤．
【详解】解：①∵图象开口向下，与y轴的交点在x轴的上方，
∴a＜0，c＞0，
∵对称轴为x=-1，
∴，
∴b=2a＜0，即b＜0
∴abc＞0，故①错误；
当x=-1时，可知y＞0，
∴a-b+c＞0，
∴a+c＞b，故②正确；
∵b=2a
∴2a-b=0，故③错误；
∵抛物线与x轴有两个交点
∴，则，故④正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为x=-1
∴当x=-1时，y的最大值为a-b+c
当x=m时，y= am2+bm+c，
∴a-b+c＞m（am+b）+c，
∴a-b＞m（am+b），故⑤错误；
综上可知正确的有2个．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了抛物线的图像与二次函数系数之间的关系，掌握抛物线的图像与二次函数系数之间的关系是解答本题的关键．
7．B
【分析】根据二次函数图像及其性质依次判断即可．
【详解】∵二次函数图象开口向上，对称轴为x=-1，与y轴交点在y轴负半轴
∴a＞0，b＞0，c＜0
∴＜0
故①错误
令x=-2代入y＝ax2＋bx＋c
有y=4a-2b＋c
由图象可知4a-2b＋c＜0
故②错误
由对称轴x=-1，与x轴一个交点为（1，0）可知与x轴另一个交点为（-3，0）
由韦达定理有
即
又∵y轴的交点B在（0，﹣3）和（0，﹣2）两点之间（不包括这两点）
∴
∴
∴
故③正确
由对称轴x=-1可知
有
又∵
∴4b＋3c=8a-9a=-a
∵a＞0
∴-a＜0
∴4b＋3c＜0
故④正确
由二次函数图象开口向上，与x轴交点为（1，0）和（-3，0）可知
当﹣3＜x＜1时，y＜0
故⑤正确
综上所述③④⑤正确
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．C
【分析】根据抛物线的开口方向、与轴的交点判断出a，c的符号，再结合对称轴分别判断即可．
【详解】解：抛物线开口向上，因此，
与轴交于负半轴，因此，故，所以①正确；
当时，图象在x轴上，对称轴为直线，
则当时，图象在x轴上，
即时，，所以②错误；
由图可知：时，随的增大而增大，所以③正确；
∵抛物线与轴有两个不同交点，
∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，所以④正确；
综上所述，正确的结论有：①③④，共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象与系数之间的关系是正确判断的前提．
9．C
【分析】由该二次函数的图像的对称轴为，可得，再结合图像确定，，易得，即可判断结论①；由图像可知，当时，，将代入即可判断结论②；抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，值越大，据此即可判定结论③；由抛物线的对称性可知抛物线与轴的另一交点为，可得抛物线解析式为，令，作，由图像可知，即可判定结论④．
【详解】解：∵根据题意，该二次函数的图像的对称轴为，
∴，
∴，
由图像可知，，，
∴，
∴，故结论①正确；
由图像可知，当时，，
∴，故结论②正确；
∵抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，值越大，
又∵，，，
∴，故结论③错误；
由抛物线的对称性可知，抛物线与轴的另一交点为，
∴抛物线解析式为，
令，
则有，
如图作，由图像可知，故结论④正确．
综上所述，正确的结论有①②④，共计3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质、二次函数与一元二次方程等知识，熟练运用二次函数的图像与性质是解题关键．
10．C
【分析】依照题意画出二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）及y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2的大致图象，观察图象即可得出结论．
【详解】解：二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）与x轴交点的横坐标为a、b，将其图象往下平移2个单位长度可得出二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2的图象．
观察图象，可知：m＜a＜b＜n．
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的图象，依照题意画出图象，利用数形结合解决问题是解题的关键．
11．C
【分析】根据二次函数的图像及性质逐项分析即可判断．
【详解】解：∵二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，
∴当x=1时，，
故结论①正确；
根据函数图像可知，
当，即，
对称轴为，即，
根据抛物线开口向上，得，
∴，
∴，
即，
故结论②正确；
根据抛物线与x轴的一个交点为，
对称轴为可知：抛物线与x轴的另一个交点为(-3，0)，
∴关于x的一元二次方程的两根分别为-3和1，
故结论③正确；
根据函数图像可知：，
故结论④错误；
当时，，
∴当时，，
即，
故结论⑤错误，
综上：①②③正确，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数图像与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，正确理解二次函数与方程的关系．
12．C
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x轴y轴的交点，综合判断即可．
【详解】解：抛物线开口向上，因此a＞0，与y轴交于负半轴，因此c＜0，故ac＜0，所以①正确；
抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是有4a﹣2b+c＝0，所以②不正确；
x＞1时，y随x的增大而增大，所以③正确；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，所以④正确；
综上所述，正确的结论有：①③④，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象与系数之间的关系是正确判断的前提．
13．
【分析】根据“将军饮马”模型，先求出，由二次函数对称性，关于对称轴对称，从而，，则周长的最小值就是的最小值，根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长，从而得到，即可得到答案．
【详解】解：抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，
当时，解得或，即；当时，，即，
由二次函数对称性，关于对称轴对称，即，
，
，
周长的最小值就是的最小值，
根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长，，
周长的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查动点最值问题与二次函数综合，涉及“将军饮马”模型求最值、二次函数图像与性质、解一元二次方程、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握动点最值的常见模型是解决问题的关键．
14．（9,5）和（-1,5）
【分析】解方程x2＋8x﹣4＝5即可得到答案．
【详解】解：当y＝x2＋8x﹣4中y＝5时，得x2＋8x﹣4＝5，
∴，
，
∴，
∴抛物线y＝x2＋8x﹣4与直线y＝5的交点坐标是（9,5）和（-1,5），
故答案为：（9,5）和（-1,5）．
【点睛】此题考查了抛物线与直线的交点坐标，解一元二次方程，正确理解直线与抛物线交点坐标的求法是解题的关键．
15．
【分析】根据表格数据可知：利用二次函数的对称性判断出对称轴x＝2，在对称轴的左边y随着x的增大而减小，在对称轴的右边y随着x的增大而增大，进一步得出x＝4时，y＝5，然后写出y＜5时，x的取值范围即可．
【详解】由表可知，
∵二次函数的两个对称点为（1，2），（3，2）对称轴为直线x＝2，
∴当x＜2时，y随着x的增大而减小，当x＞2时，y随着x的增大而增大，
∴x＝4时，y＝5，
∴y＜5时，x的取值范围为0＜x＜4．
故答案为：0＜x＜4．
【点睛】此题考查二次函数的性质，利用表格发现数据的对应计算规律得出对称点，求得对称轴是解决问题的关键．
16．x1＝﹣3，x2＝1
【分析】根据抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，6），B（1，3），可得方程ax2＝bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝1，即可求解．
【详解】解：∵抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，6），B（1，3），
∴方程ax2＝bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝1，
∴ax2﹣bx﹣c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，
故答案为：x1＝﹣3，x2＝1．
【点睛】本题考查了一次函数与抛物线交点问题，理解交点的横坐标即为方程的解是解题的关键．
17．或
【分析】根据抛物线的对称轴及与轴的交点求出抛物线与轴的另一个交点，通过图象即可求解．
【详解】解：∵抛物线经过点，对称轴为直线，
∴抛物线与轴的另一个交点为，
∵，
∴对应抛物线在轴下方，即在点的左侧或点的右侧．
∴或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了根据抛物线与轴的交点求不等式的解集，数形结合求得另一个交点的坐标是解题的关键．
18．1【分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c>0的解集．
【详解】解：由图象得：对称轴是直线x=1，其中一个点的坐标为（3，0）
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（1，0）
利用图象可知：
ax2+bx+c>0的解集即是y>0的解集，
∴1＜x＜3；
故填：1＜x＜3．
【点睛】此题主要考查了二次函数利用图象解一元二次方程根的情况，很好地利用数形结合，题目非常典型．
19．
【分析】利用待定系数法以及整体代入的思想解决问题即可．
【详解】解：抛物线与轴的一个交点为，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数图像上点的坐标特征，代数式求值等知识，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题．
20．，
【分析】根据一元二次方程的根即为函数与轴交点的横坐标解答即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，
∴抛物线与轴的交点坐标为，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与二次函数的关系，熟知一元二次方程的根即为函数与轴交点的横坐标是解答本题的关键．
21．0
【分析】由题意关于x的二次函数y=-x2+2x+m-4的函数值恒为负数的条件为Δ=4+4（m-4）＜0，当m=2时，关于x的方程（m-2）x2+4x-1=0有实数根，当m≠2时，关于x的方程（m-2）x2+4x-1=0有实数根的条件是Δ=16+4（m-2）≥0，求得m的取值范围，易得m的整数值，然后求和即可．
【详解】解：关于x的二次函数y=-x2+2x+m-4的函数值恒为负数，
∵a=-1<0，开口向下，
∴Δ=4+4（m-4）＜0，
解得m＜3，
当m=2时，关于x的方程（m-2）x2+4x-1=0可化为4x-1=0，该方程有实数根，
当m≠2时，关于x的方程（m-2）x2+4x-1=0有实数根的条件是Δ=16+4（m-2）≥0，
解得m≥-2且m≠2，
综上所述，-2≤m＜3，
∴整数m的取值为：-2、-1、0、1、2，则其和为：-2-1+0+1+2=0．
故答案为：0．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，一元二次方程的定义，根的判别式以及二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到不等式是解题的难点．
22．②③④
【分析】由抛物线与轴有两个交点得到，可判断①的正误；由抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性得抛物线与轴的另一个交点在点和之间，观察时，值的大小，进而可判断②的正误；将抛物线的顶点代入可得，由抛物线的对称轴为直线可得，可得的关系，进而可判断③的正误；一元二次方程的根，可以看作二次函数的图象与直线的交点的横坐标，进而可判断④的正误．
【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点，
∴相关的一元二次方程的根的判别式，故①错误；
∵顶点为，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线与轴的一个交点A在点和之间，
∴抛物线与轴的另一个交点在点和之间，
∴当时，，
∴，故②正确；
将抛物线的顶点为代入解析式得，
∵抛物线的对称轴为直线，解得，
∴，即，故③正确；
∵的解的横坐标即为的根
∴由图象知二次函数的图象与直线只有一个交点
∴方程有两个相等的实数根，故④正确．
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系．解题的关键在于对二次函数知识的熟练掌握与灵活运用．
23．(1)
(2)
【分析】（1）根据C(0,-3)得到OC=3，根据OB=OC得到OB=3，写出B(3,0)，把B、C坐标分别代入得到方程组，解方程组得到，把b、c的值代入得到．
（2）配方，得到M(1,-4)，解方程，得到A(-1,0)，求出．
【详解】（1）∵C(0,-3),
∴OC=3，
∴OB=3，
∴B(3,0)，
∴，，
∴．
（2）∵，
∴M(1,-4)，
∵y=0时，，
∴（舍去），，
∴A(-1,0)，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数，解决问题的关键是熟练运用待定系数法求解析式，熟练运用两点间的距离公式．
24．（1）y=-x -2x+3；（2）8
【分析】（1）由抛物线y=-x2+bx+c经过点A（1，0）、C（0，3），列方程组求b、c的值；
（2）先求得顶点D和点B的坐标，利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：（1）把点A（1，0）、C(0,3)分别代入到y=-x +bx+c中得：
，
∴抛物线解析式为y=-x -2x+3；
（2）y=-x -2x+3=-(x2+2x+1-1)+3=-(x+1)2+4，
∵D点为抛物线顶点，
∴D（-1，4），对称轴为直线x=-1，
∵A（1，0），
∴B（-3，0），
∴AB=1-（-3）=4，
∴= ×4×4=8．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
25．(1)y=x2-2x-3；（1，-4）；
(2)（-2，5）或（4，5）
【分析】（1）把A、B两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法可求得其解析式，再化为顶点式即可求得其顶点坐标；
（２）设P（x，y），根据三角形的面积公式以及S△PAB=10，即可算出y的值，代入抛物线解析式即可得出点P的坐标．
【详解】（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=x2-2x-3=，
∴顶点坐标为（1，-4）；
（2）∵A（-1，0）、B（3，0），
∴AB=4．
设P（x，y），则S△PAB=AB |y|=2|y|=10，
∴|y|=5，
∴y=±5．
①当y=5时，x2-2x-3=5，解得：x1=-2，x2=4，
此时P点坐标为（-2，5）或（4，5）；
②当y=-5时，x2-2x-3=-5，方程无解；
综上所述，P点坐标为（-2，5）或（4，5）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握有关知识点是解题的关键．
26．
【分析】画出函数的图象，运用图象法求解即可．
【详解】解，设
∵
∴抛物线开口向下，顶点坐标为（-3，25）
令y=0，则
∴
∴抛物线与x轴的交点坐标为（-8，0），（2，0），
函数图象如图所示，
∵x轴上方的部分表示﹣x2﹣6x＋16＞0
∴﹣x2﹣6x＋16＞0的解集为
【点睛】本题主要考查了运用图象法解一元二次不等式，运用函数图象是解答本题的关键．
27．(1)，
(2)
【分析】（1）由一元二次方程的根是二次函数的图象与x轴交点的横坐标可得答案；
（2）方程有实数根，则抛物线与直线有交点，结合抛物线的顶点坐标为可得答案．
【详解】（1）解：∵方程的根是二次函数的图象与轴交点的横坐标，
∴方程的根为，；
（2）解：∵方程有实数根，
∴抛物线与直线有交点，
由函数图象可知．
【点睛】本题考查二次函数的图象，要熟记以下内容：（1）一元二次方程的根是抛物线与x轴交点的横坐标；（2）方程的解是抛物线与直线交点的横坐标．
28．（1）D（﹣2，3）；（2）二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（3）一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．
【分析】（1）由抛物线的对称性来求点D的坐标；
（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
（3）由图象直接写出答案．
【详解】解：（1）∵如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，
∴对称轴是x==﹣1．
又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，
∴D（﹣2，3）；
（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）代入得，
，
解得，
所以二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；
（3）如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．22.3 实际问题与二次函数 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）某商品现在的售价为每件60元，每星期可销售300件．商场为了清库存，决定让利销售，已知每降价1元，每星期可多销售20件，那么每星期的销售额（元）与降价（元）的函数关系为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级期末）某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为（ ）
A．21元 B．22元 C．23元 D．24元
二、填空题
3．（2022秋·黑龙江双鸭山·九年级统考期末）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面下降，水面宽 ．
4．（2022秋·黑龙江绥化·九年级期末）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加 .
5．（2022秋·黑龙江鹤岗·九年级统考期末）某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克，则月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式为
6．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级期末）某水果店销售一批水果，平均每天可售出40kg，每千克盈利4元，经调查发现，每千克降价0.5元，商店平均每天可多售出10kg水果，则商店平均每天的最高利润为 元．
7．（2022秋·黑龙江双鸭山·九年级统考期末）发射一枚炮弹，经秒后的高度为米，且时间与高度的关系为．若此炮弹在第7秒与第15秒时的高度相等，则第 秒时炮弹位置达到最高．
8．（2022秋·黑龙江大庆·九年级期末）飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，飞机着陆后滑行 才能停下来.
三、解答题
9．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级期末）如图，有长为24m的篱笆，围成矩形花圃（墙体的最大可用长度为12m）．
(1)如果围成的花圃的面积为54m ，试求AB的长；
(2)按照题目的设计要求，能围成面积比54m 更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由．
10．（2022秋·黑龙江双鸭山·九年级统考期末）如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），设花圃的宽AB为xm，面积为S．
（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；
（2）要围成面积为45的花圃，AB的长是多少米？
（3）当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？（结果保留两位小数）
11．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，，对称轴为，点D为此抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C，D两点之间的距离是__________；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE．求面积的最大值；
（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．
12．（2022秋·黑龙江佳木斯·九年级统考期末）如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线经过B、D两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积（请在图1中探索）
（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上．要使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标（请在图2中探索）
13．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级期末）李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？
(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．
14．（2022秋·黑龙江双鸭山·九年级统考期末）如图，中，，，．动点，分别从，两点同时出发，点沿边向以每秒3个单位长度的速度运动，点沿边向以每秒4个单位长度的速度运动，当，到达终点，时，运动停止．设运动时间为．
(1)①当运动停止时，的值为 ．
②设，之间的距离为，则与满足 （选填“正比例函数关系”，“一次函数关系”，“二次函数关系” ．
(2)设的面积为，
①求的表达式（用含有的代数式表示）；
②求当为何值时，取得最大值，这个最大值是多少？
15．（2022秋·黑龙江大庆·九年级期末）河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽6m时，水面离桥孔顶部3m.因降暴雨水位上升lm.
（1）如图①，若以桥孔的最高点为原点，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式;
（2）一艘装满物资的小船，露出水面的高为0.5m、宽为4m(横断面如图②).暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗 请说明理由.
16．（2022秋·黑龙江佳木斯·九年级统考期末）某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，经市场调查发现，该产品每天的销量y（单位：千克）与售价x（单位：元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w元．
(1)求w与x之间的函数解析式；
(2)该产品售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)如果物价部门规定这种产品的售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，售价应定为每千克多少元？
17．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）在新冠肺炎抗疫期间，小明决定在淘宝上销售一批口罩．经市场调研，某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋．
(1)直接写出小明销售该类型口罩销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的函数关系式_____，每天所得销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式_____．
(2)若小明想每天获得该类型口罩的销售利润2000元时，则销售单价应定为多少元？
(3)求当销售单价定为多少元时，利润最大，最大利润是多少？
18．（2022秋·黑龙江绥化·九年级统考期末）响应政府“节能”号召，我市华强照明公司减少了白炽灯的生产数量，引进新工艺生产一种新型节能灯．已知这种节能灯的出厂价为每个10元．某商场试销发现：销售单价定为15元/个，每月销售量为350个；每涨价1元，每月少卖10个．
(1)求出每月销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；
(2)设该商场每月销售这种节能灯获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
(3)如果物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．商场根据公司生产调拨计划得知，每月商场最多可销售这种节能灯300个，在这种情况下，商场每月销售这种节能灯最多可获得多少利润？
19．（2022秋·黑龙江双鸭山·九年级统考期末）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售。设每天销售量为y本，销售单价为x元．
(1)请写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
(2)将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
20．（2022秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期末）某网商经销一种玩具，每件进价为40元．市场调查反映，每星期的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系为y＝﹣10x+900（40≤x≤90）
(1)如果该网商每个星期想获得4000元的利润，请你计算出玩具的销售单价定为多少元？
(2)当每件玩具的销售价定为多少元时，该网商每星期经销这种玩具能够获得最大销售利润？最大销售利润是多少？（每件玩具的销售利润＝售价﹣进价）
21．（2022秋·黑龙江大庆·九年级期末）某景区超市销售一种纪念品，这种商品的成本价15元/件，已知销售价不低于成本价，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)求每天的销售利润W（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
22．（2022秋·黑龙江大庆·九年级统考期末）某商品交易会上，某商人将每件进价为8元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出20件，他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件．
（1）直接写出每天销售量y（件）与售价x（元）之间的函数关系式．
（2）每件售价定为多少元，才能使一天的所得的利润W（元）最大？最大利润是多少元？
23．（2022秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期末）某食品企业经调查发现，该企业生产的零食礼包的周销售量y（单位：万包）和售价x（单位：元/包）成一次函数的关系，其售价与周销售量的对应值如表所示：
售价x/（元/包） 20 19 18
周销售量y/万包 70 90 110
（1）求出y与x的函数关系式．
（2）若该零食礼包的生产成本是10.5元/包，则当每包的售价是多少元时，周销售利润最大？最大周销售利润是多少万元？此时周销售量是多少？
（3）在（2）条件下，该企业有A、B两种生产线若干条合作生产这种零食礼包，平均每条A种生产线每周可生产5万包，平均每条B种生产线每周可生产8万包，同时开通A、B两种生产线各多少条（数量均为整数），能够用一周的时间恰好生产出最大周销售利润时的周销售量？请直接写出使用A，B两种生产线数量之和最少的生产方案．
24．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）某商场销售一批衬衫，进货价为每件30元，按每件50元出售，一个月内可售出500件．已知这种衬衫每件涨价1元，其销售量要减少10件，
（1）要在一个月内赚取12000元的利润，同时为了减少库存，售价应定为每件多少元？
（2）要想一个月内获得的利润最大，该商场应当如何定价销售？
25．（2022秋·黑龙江鹤岗·九年级统考期末）超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销售过程中发现，每天销售量（瓶）与每瓶售价（元）之间满足一次函数关系（其中，且为整数），当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？
26．（2022秋·黑龙江七台河·九年级统考期末）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销售量的相关信息如下表：
时间x（天） 1≤x＜50 50≤x≤90
售价（元/件） x＋40 90
每天销量（件） 200－2x
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元，
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．
27．（2022秋·黑龙江大庆·九年级期末）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．解答以下问题
（1）小球从飞出到落地要用多少时间？
（2）小球飞行的最大高度是多少？此时需要多少飞行时间？
28．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级期末）2011年长江中下游地区发生了特大旱情．为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系．
型 号 金 额 投资金额x（万元） Ⅰ型设备 Ⅱ型设备
x 5 x 2 4
补贴金额y（万元） （） 2 （） 2.4 3.2
(1)分别求和的函数解析式；
(2)有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额．
参考答案：
1．B
【分析】根据让利销售，已知每降价1元，每星期可多销售20件，求得销售量为，根据售价乘以销量得出销售额，据此即可求解．
【详解】解：依题意，每星期的销售额（元）与降价（元）的函数关系为，
故选：B
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
2．B
【分析】设每天的销售利润为 元，每件的定价为 元，则每件的利润为元，平均每天售出件， 根据每天的销售利润等于每件的利润乘以销售量，列出函数关系式，即可求解．
【详解】解：设每天的销售利润为 元，每件的定价为 元，则每件的利润为元，平均每天售出件， 根据题意得：
，
∵
∴当 时， 最大，
即每件的定价为22元时，每天的销售利润最大．
故选：B
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键．
3．
【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【详解】建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，和长为的一半，为2米，
抛物线顶点C坐标为
通过以上条件可设顶点式，其中可通过将A点坐标
代入到抛物线解析式得出：所以抛物线解析式为
当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把代入抛物线解析式得出：
解得：
所以水面宽度为米
故答案是：
【点睛】考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
4．；
【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系，设出抛物线的解析式，从而可以求得水面的宽度增加了多少，本题得以解决．
【详解】如右图建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为y=ax2，
由已知可得，点（2，-2）在此抛物线上，
则-2=a×22，解得，
∴，
当y=-3时，，
解得，，
∴此时水面的宽度为：，
∴水面的宽度增加，
故答案为．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，建立合适的平面直角坐标系．
5．y=-10x +1400x-40000
【分析】根据总利润＝每千克利润×销售量，可以写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式．
【详解】解：由题意可得，
y＝（x 40）[500 10（x 50）]＝ 10x2＋1400x 40000，
即月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式是y＝ 10x2＋1400x 40000．
故答案为：y＝ 10x2＋1400x 40000．
【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．解题的关键是表示出每千克利润与销售量．
6．180
【分析】设每千克降价x元，每天的利润为w元，由题意列函数w=，根据函数的性质解答．
【详解】解：设每千克降价x元，每天的利润为w元，由题意得
w=
=
=
∵-20<0，
∴当x=1时，w有最大值，即最大利润为180元，
故答案为：180．
【点睛】此题考查了二次函数的最值，正确理解题意列得函数关系式及正确掌握函数的性质是解题的关键．
7．11
【分析】根据抛物线的对称两点求出抛物线的对称轴，即可得炮弹位置达到最高时的值．
【详解】解：∵此炮弹在第7秒与第15秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴是直线，
∴炮弹位置达到最高时，时间是第11秒．
故答案为：11．
【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
8．200
【分析】要求飞机从滑行到停止的路程就，即求出函数的最大值即可.
【详解】解：
所以当t=20时，该函数有最大值200.
故答案为200.
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数求最值的方法，即公式法或配方法是解题关键.
9．(1)AB的长是9米
(2)72m2
【分析】（1）利用矩形的面积公式列出方程求解即可；
（2）求出花圃面积与AB长度的函数关系式，根据二次函数的性质和AB长度取值范围求出面积的最大值．
【详解】（1）设AB的长为x米，则BC的长为（24-2x）米，根据题意得：
x（24-2x）=54
化为x2-12x+27=0
解得x1=9，x2=3，
当x=3时，BC=24-2x=18＞12，不合题意，舍去，
当x=9时，BC=24-2x=6，
如果要围成面积为54m2的花圃，AB的长是9米；
（2）设AB的长为x米，花圃的面积为S，由题意可得：
S=x（24-2x）
=-2x2+24x
=-2（x-6）2+72，
∵墙体的最大可用长度a=12m，
∴0＜24-2x≤12，
∴6≤x＜12，
∵对称轴x=6，开口向下，
∴当x=6时，花圃面积最大，
当x=6，即AB的长为6m时，S=72m2
【点睛】本题考查了一元二次方程、二次函数的应用，根据已知条件列出二次函数式是解题的关键．
10．（1）S=，≤x＜8；（2）AB=5米；（3）46.67．
【分析】（1）用含x的代数式表示BC的长，后根据长方形的面积公式计算即可，确定x的范围时从BC大于0且BC≤10，两个角度确定；
（2）转化成x的一元二次方程求解，注意根的大小必须满足（1）的取值范围；
（3）配成顶点式，根据x的范围，函数的增减性计算即可．
【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，四边形ABEF是矩形，四边形EFCD是矩形，
∴AB=CD=EF=x，
∴BC=24-3x，
∴S=AB×BC=x（24-3x）=，
∵24-3x＞0， 24-3x≤10，
∴≤x＜8，
∴S=，≤x＜8；
（2）根据题意，得=45，
解得，
∵≤x＜8，
∴舍去，
∴AB=5（米）；
（3）∵S=
=，
∴对称轴为直线x=4，
∵≤x＜8，且在对称轴右侧y随x的增大而减小，
∴当x=时，S有最大值，
∴S=≈46.67．
即当AB=米时，S的最大值为46.67．
【点睛】本题考查了矩形的性质，一元二次方程的解法，抛物线的对称轴，增减性，熟练掌握抛物线的增减性是解题的关键．
11．（1）；（2）；（3）；（4）或或或．
【分析】（1）先根据对称轴可得的值，再根据可得点的坐标，代入抛物线的解析式即可得；
（2）利用抛物线的解析式分别求出点的坐标，再利用两点之间的距离公式即可得；
（3）过点作轴的垂线，交于点，先利用待定系数法求出直线的解析式，再设点的坐标为，从而可得和的坐标，然后根据可得关于的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得；
（4）设点的坐标为，分①当为矩形的边时，②当为矩形的边时，③当为矩形的对角线时三种情况，再分别利用待定系数法求直线的解析式、矩形的性质、点坐标的平移变换规律求解即可得．
【详解】解：（1）抛物线的对称轴为，
，
，
，且点在轴负半轴上，
，
将点代入得：，解得，
则抛物线的解析式为；
（2）化成顶点式为，
则顶点的坐标为，
当时，，即，
则抛物线上两点之间的距离是，
故答案为：；
（3）如图，过点作轴的垂线，交于点，
，抛物线的对称轴为，
，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
设点的坐标为，则，，
，
，
，
由二次函数的性质得：在内，当时，取最大值，最大值为，
即面积的最大值为；
（4）设点的坐标为，
由题意，分以下三种情况：
①当为矩形的边时，则，
设直线的解析式为，
将点代入得：，
则直线的解析式为，
将点代入得：，即，
将点先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到点，
四边形是矩形，
点平移至点的方式与点平移至点的方式相同，
，
，即；
②当为矩形的边时，则，
同（4）①的方法可得：点的坐标为；
③当为矩形的对角线时，则，
，
即，
解得或，
或，
当点的坐标为时，
则将点先向左平移2个单位长度，再向下平移个单位长度可得到点，
四边形是矩形，
点平移至点的方式与点平移至点的方式相同，
，即；
同理可得：当点的坐标为时，点的坐标为，
综上，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、待定系数法求函数解析式、矩形的性质等知识点，较难的是题（4），正确分三种情况讨论是解题关键．
12．（1）；（2）；（3）点P的坐标为：或（4，）或（，）．
【分析】（1）由图可知点B、点D的坐标，利用待定系数法，即可求出抛物线的解析式；
（2）过点M作ME⊥AB于点E，由二次函数的性质，分别求出点A、C、M的坐标，然后得到OE、BE的长度，再利用切割法求出四边形的面积即可；
（3）由点Q在y轴上，设Q（0，y），由平行四边形的性质，根据题意可分为：①当AB为对角线时；②当BQ2为对角线时；③当AQ3为对角线时；分别求出三种情况的点P的坐标，即可得到答案．
【详解】解：（1）根据题意，抛物线经过B、D两点，
点D为（，），点B为（3，0），
则，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵，
∴点M的坐标为（1，2）
令，
解得：，，
∴点A为（，0）；
令，则，
∴点C为（0，）；
∴OA=1，OC=，
过点M作ME⊥AB于点E，如图：
∴，，，
∴，
∴；
（3）根据题意，点Q在y轴上，则设点Q为（0，y），
∵点P在抛物线上，且以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
如图所示，可分为三种情况进行分析：
①AB为对角线时，则为对角线；
由平行四边形的性质，
∴点E为AB和的中点，
∵E为（1，0），
∵点Q1为（0，y），
∴点P1的横坐标为2；
当时，代入，
∴，
∴点；
②当BQ2是对角线时，AP也是对角线，
∵点B（3，0），点Q2（0，y），
∴BQ2中点的横坐标为，
∵点A为（，0），
∴点P2的横坐标为4，
当时，代入，
∴，
∴点P2的坐标为（4，）；
③当AQ3为对角线时，BP3也是对角线；
∵点A为（，0），点Q3（0，y），
∴AQ3的中点的横坐标为，
∵点B（3，0），
∴点P3的横坐标为，
当时，代入，
∴，
∴点P3的坐标为（，）；
综合上述，点P的坐标为：或（4，）或（，）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质，解一元二次方程，以及坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行解题，注意利用分类讨论和数形结合的思想进行分析．
13．(1) 李明应该把铁丝剪成12cm和28cm的两段；(2) 李明的说法正确，理由见解析.
【分析】（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可；
（2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确．
【详解】解：（1）设其中一段的长度为xcm，两个正方形面积之和为scm ，
则，
即(其中0当s=58时，
，
解得，，
∴应将之剪成12cm和28cm的两段；
（2）两正方形面积之和为48时，
，
整理得：，
∵，
∴该方程无实数解，也就是不可能使得两正方形面积之和为48cm ，李明的说法正确．
【点睛】题目主要考查一元二次方程及二次函数的应用，理解题意，列出相应方程及函数关系式是解题关键．
14．(1)①，②一次函数关系；
(2)①；②，的值最大为6
【分析】（1）①由已知可得，当运动停止时，t的值为6÷3=8÷4=2，②由已知可得CP=6-3t，即y=-3t+6，即可得到答案；
（2）①由已知可得：CP=-3t+6，CQ=4t，即可得S=-6t2+12t；②由S=-6t2+12t=-6（t-1）2+6，即可得t=1时，S的值最大为6．
【详解】（1）①，，点沿边向以每秒3个单位长度的速度运动，点沿边向以每秒4个单位长度的速度运动，
当运动停止时，的值为，
故答案为：2；
②由已知可得；，
而，
，
，是一次函数，
故答案为：一次函数关系；
（2）①由已知可得：，，
；
②，
且，
时，的值最大为6．
【点睛】本题考查了函数的综合应用，涉及动点问题、三角形面积等知识，解题的关键是用含的代数式表示、的长度．
15．（1）y=- （2）能
【分析】（1）根据点A的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）代入x=2求出y值，用其减去-2求出可通过船的最高高度，将其与0.5比较后即可得出结论.
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2（a≠0），
将A（3，-3）代入y=ax2，
-3=9a，解得：a=-，
∴抛物线的解析式为y=-x2．
（2）当x=2时，y=-×22=-．
∵--（-2）=＞0.5，
∴暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过.
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的应用、二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点A的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）根据二次函数图象上点的坐标特征结合水高求出可通过船的最高高度（宽度固定）．
16．(1)
(2)该产品售价定为每千克30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元；
(3)25
【分析】（1）根据利润=销量×一件的利润列出关系式即可；
（2）把函数关系式化成顶点式求解即可；
（3）把代入关系式求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得：，
∴w与x之间的函数解析式为；
（2）解：由（1）得：，
∵，
∴当时，w有最大值，且最大值为；
∴该产品售价定为每千克30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元；
（3）解：当时，可得，
解得：，
∵，
∴舍去，
∴该农户想要每天获得150元的销售利润，售价应定为每千克25元；
【点睛】本题主要考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，根据条件得出函数解析式或方程是解题的关键．
17．(1)
(2)30元或40元
(3)当销售单价定为35元时，最大利润是2250元
【分析】（1）根据“某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋”，即可得出y关于x的函数关系式，然后再根据题意得到销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）根据（1）得到的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，令求得x即可；
（2）利用配方法将w关于x的函数关系式变形为，根据二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：根据题意得，；
则．
故答案为：．
（2）解：令可得，
解得或40．
答：销售单价应定为30元或40元．
（3）解：∵
∴，
∵，
∴当时，w有最大值2250，
∴当销售单价定为35元时，最大利润是2250元．
【点睛】本题主要考查了求函数解析式、二次函数的性质、解一元二次方程、一次函数和二次函数的实际应用等知识点，掌握二次函数的性质是解题关键．
18．(1)
(2)当定价定为30元时，每月可获得最大利润4000元
(3)当定价为25元每个时，商场每月可获得最大利润3750元
【分析】（1）首先表示出销售单价x元时涨价元，每涨价1元，每月少卖10个，则少买，表示出y即可；
（2）由总利润＝销售量 每件纯赚利润，得，把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；
（3）由每月商场最多可销售这种节能灯300个可得，又因为销售单价不得高于25元可得x取值范围，根据二次函数的性质得最值．
【详解】（1）由题意得：；
（2）依题意得：
，
∵，
∴当时，．
答：当定价定为30元时，每月可获得最大利润4000元；
（3）依题意得：，
∴，
∵，
∴，
由（2）得，
∵，当时，
w随x的增大而增大，
∴当时， （元）．
答：当定价为25元每个时，商场每月可获得最大利润3750元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解．
19．(1)
(2)将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润元最大，最大利润2640元．
【分析】（1）根据销售利润销售量（售价进价），列出平均每天的销售利润（元与销售价（元箱）之间的函数关系式；
（2）借助（1）中的解析式，再依据函数的增减性求得最大利润．
【详解】（1）解：由题意得：，
每本进价40元，且获利不高于，
即最高价为52元，即，
故：，
，
（2）解：，
当时，随的增大而增大，
而，所以当时，有最大值，最大值为2640，
答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润元最大，最大利润2640元．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，解题的关键是掌握最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
20．(1)如果每星期的利润是4000元，销售单价应为50元或80元
(2)当销售单价为65元时，每星期的利润最大，最大销售利润为6250元
【分析】(1) 由题意得(﹣10x+900)(x﹣40)＝4000，解方程即可求解；
(2) 设经销这种玩具能够获得的销售利润为w元，由题意得，w＝(﹣10x+900)（x﹣40），利用二次函数的最值问题即可求解．
【详解】（1）解：由题意得(﹣10x+900)(x﹣40)＝4000，
解得x＝80或x＝50，
又∵40≤x≤90，
∴如果每星期的利润是4000元，销售单价应为50元或80元；
（2）解：设经销这种玩具能够获得的销售利润为w元，
由题意得，w＝(﹣10x+900)(x﹣40)＝﹣10(x﹣65)2+6250，
∵﹣10＜0，
∴w有最大值，
∵40≤x≤90，
∴当x＝65（元）时，w最大＝6250（元）．
∴当销售单价为65元时，每星期的利润最大，最大销售利润为6250元．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
21．(1)y＝﹣x+60（15≤x≤24）
(2)每件销售价为24元时，每天的销售利润最大，最大值为324
【分析】（1）利用待定系数法求解可得y关于x的函数解析式；
（2）根据“总利润＝每件的利润×销售量”可得函数解析式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
【详解】（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b，
将（15，45），（24，36）代入
，
解得：，
所以y与x的函数解析式为y＝﹣x+60（15≤x≤24）；
（2）根据题意知，W＝（x﹣15）y
＝（x﹣15）（﹣x+60）
＝﹣x2+75x﹣900，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜时，W随x的增大而增大，
∴当15≤x≤24，时，W随x的增大而增大，
∴当x＝24时，W取得最大值，最大值为324，
答：每件销售价为24元时，每天的销售利润最大，最大值为324，．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．
22．（1）y=-4x+56；（2）每件售价定为11元时利润W最大，最大利润是36元
【分析】（1）销售量等于原销售量减去减少的数量，由此列得；
（2）列利润的函数解析式，再根据二次函数的性质解答即可．
【详解】解：（1）y=20-4（x-9）=-4x+56；
（2），
∵-4<0，
∴当x=11时，即每件售价定为11元时利润W最大，最大利润是36元．
【点睛】此题考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解销售量及利润的计算公式是解题的关键．
23．（1）；（2）定价为17元时，周销售利润最大为845万元，此时销售量为130万包；（3）A2条，B15条
【分析】（1）利用待定系数法设y与x的函数关系式为，代入（20，70）（19，90）得：，解方程组即可；
（2）设周销售利润w，利用每包利润×销量列函数得w=(x-10.5)y=，根据a=-20＜0，二次函数开口向下，函数有最大值，当x=17时，w最大=845万元，求出销量即可；
（3）设开通A生产线各m条、B两种生产线各n条，根据利润最大时销量列出5m+8n=130，求正整数解，再比较m+n不同值大小即可．
【详解】解：（1）∵周销售量y（单位：万包）和售价x（单位：元/包）成一次函数的关系，
设y与x的函数关系式为，代入（20，70）（19，90）得：
解得，
y与x的函数关系式为，
（2）设周销售利润w，
∴w=(x-10.5)y=，
∵a=-20＜0，二次函数开口向下，函数有最大值，当x=17时，w最大=845万元，
当x=17时，万包，
（3）设开通A生产线各m条、B两种生产线各n条，
∴5m+8n=130，
∴，
∵m,n均为整数，130能被5整除，5与8互质，
∴n为5的倍数，
当n=5，，
当n=10，，
当n=15，，
∵5+18=23,10+10=20,15+2=17,23＞20＞17，
使用A，B两种生产线数量之和最少的生产方案是A开2条生产线，B开15条生产线．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质，二元一次方程的整数解，掌握待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质，二元一次方程的整数解是解题关键．
24．（1）售价应定为每件元；（2）售价应定为每件元
【分析】（1）设售价为元，则销售量为件，根据题意列方程求解即可；
（2）设利润为元，求得与的函数关系式，根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：（1）设售价为元，则销售量为件，
由题意可得，，
化简得，
解得，，
为了减少库存，所以，
故售价应定为每件元，
（2）设利润为元，由题意可得：，
∵，开口向下，对称轴为，
∴当时，利润最大，为元，
故售价应定为每件元，
【点睛】此题考查了一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确列出函数关系式和一元二次方程．
25．（1）（10≤x≤15，且x为整数）；（2）当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗于液每天销售利润最大，最大利润是375元
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）根据“毛利润=每瓶毛利润×销售量”列出函数解析式，将其配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得．
【详解】解：（1）设与之间的函数关系式为（），根据题意，得：
，
解得，
∴与之间的函数关系式为（10≤x≤15，且x为整数）；
（2）根据题意，得：
，
，
，
∵，
∴抛物线开口向下，有最大值，
∴当时，随的增大而增大，
∵，且为整数，
∴当时，有最大值，
即，
答：当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗于液每天销售利润最大，最大利润是375元．
【点睛】本题主要了考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据总利润的相等关系列出函数解析式、利用二次函数的性质求最值问题．
26．（1）；（2）第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；（3）41．
【分析】（1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案．
（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案．
（3）根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于4800，可得不等式，根据解不等式组，可得答案．
【详解】（1）当1≤x＜50时，，
当50≤x≤90时，，
综上所述：．
（2）当1≤x＜50时，二次函数开口下，二次函数对称轴为x=45，
当x=45时，y最大=－2×452+180×45+2000=6050，
当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，
当x=50时，y最大=6000，
综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元．
（3）解，结合函数自变量取值范围解得，
解，结合函数自变量取值范围解得
所以当20≤x≤60时，即共41天，每天销售利润不低于4800元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，利用单价乘以数量求函数解析式，利用了函数的性质求最值．解答时求出函数的解析式是关键．
27．（1）4s；（2）2s．
【分析】（1）令h=0，求t即可；
（2）由配方法，得到抛物线顶点坐标，问题可解．
【详解】（1）令h=20t-5t2=0
解得t1=0（舍去），t2=4
∴小球从飞出到落地要用4s
（2）由配方法得
y=20t-5t2=-5（t-2）2+20
∵a=-5＜0
∴小球飞行的最大高度是20m，此时需要飞行2s．
【点睛】本题是代数综合题，考查了二次函数和一元二次方程的有关知识．
28．(1)，
(2)当购买Ⅰ型用7万元、Ⅱ型为3万元时能获得的最大补贴金额，最大补贴金额为5.8万元
【分析】（1）根据图表得出函数上点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据得出关于x的二次函数，求出二次函数最值即可．
【详解】（1）解：设，将代入，得，
解得：，故，
设，
将，代入，得：，
解得：，，
∴；
（2）解：假设投资购买Ⅰ型用x万元、Ⅱ型为万元，
则：；
，
∵a=-0.2>0，
当时，y有最大值为万元，
此时10-x=3，
∴当购买Ⅰ型用7万元、Ⅱ型为3万元时能获得的最大补贴金额，最大补贴金额为5.8万元．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式以及二次函数的最值问题，利用函数解决实际问题是考试的中热点问题，同学们应重点掌握．
