25.1 随机事件与概率 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）一副没有大小王的扑克牌（共52张）分为红桃、黑桃、方片、草花四种花色，每种花色各13张，从中随机抽取一张，抽到红桃的概率为（ ）．
A． B． C． D．
2．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）如图所示电路中，灯泡、、无损，若闭合其中一开关，则灯泡能发光的概率是（ ）
A．0 B． C． D．1
3．（2022秋·黑龙江绥化·九年级统考期末）下列事件中，必然事件是（ ）
A．抛掷一枚硬币，正面朝上 B．打开电视，正在播放广告
C．从一副扑克牌中抽到红桃A D．三角形内角和为180°
4．（2022秋·黑龙江黑河·九年级统考期末）一副扑克牌有54张，(黑桃、红桃、方片、草花各13张，大小王各一张)从牌中任意摸出一张牌是红桃的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期末）以下说法正确的是（ ）
A．在367人中至少有两个人的生日相同
B．一次摸奖活动的中奖率是1%，那么摸100次必然会中一次奖
C．一副扑克牌中，随意抽取一张是红桃K，这是必然事件
D．一个不透明的袋中装有3个红球，5个白球，搅匀从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性大于摸到白球的可能性
6．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级期末）有四张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字1、2、3、4，从中同时抽取两张，则下列事件为随机事件的是（ ）
A．两张卡片的数字之和等于1 B．两张卡片的数字之和大于1
C．两张卡片的数字之和等于6 D．两张卡片的数字之和大于7
7．（2022秋·黑龙江佳木斯·九年级统考期末）从3，0，，4.1，这5个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·黑龙江黑河·九年级统考期末）下列事件中，必然事件是（ ）
A．打开电视，它正在播广告
B．掷两枚质地均匀的正方体骰子，点数之和一定大于6
C．早晨的太阳从东方升起
D．没有水分，种子发芽
9．（2022秋·黑龙江鹤岗·九年级统考期末）下列事件是随机事件的是（ ）
A．每周有7天
B．袋中有三个红球，摸出一个球一定是红球
C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直
D．任意购买一张车票，座位刚好靠窗口
10．（2022秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期末）将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球.两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）在一个不透明的盒子中装有8个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，是白球的概率为，则 ．
12．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级期末）小明把一副扑克中带数字7的扑克牌全部拿出给小龙抽，则小龙抽到黑桃7概率为 ．
13．（2022秋·黑龙江黑河·九年级统考期末）要在一只不透明的袋中放入若干个只有颜色不同的乒乓球，搅匀后，使得从袋中任意摸出一个乒乓球是白色的概率是，可以怎样放球： (只写一种即可)．
14．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）在一个不透明的口袋中，有2个红球和4个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸到红球的概率是 ．
15．（2022秋·黑龙江绥化·九年级统考期末）不透明的袋中有若干个红球，为估计袋中红球个数，小明在袋中放入10个白球（每个球除颜色外都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后将放回袋中，通过大量的重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中红球约为 个．
16．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级期末）一只蚂蚁在如图所示的矩形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为
三、解答题
17．（2022秋·黑龙江大庆·九年级期末）八月底，八年级（1）班学生小颖对全班同学这一个多月来去重庆大学图书馆的次数做了调查统计，将结果分为A、B、C、D、E五类，其中A表示“0次”、B类表示“1次”、C类表示“2次”、D类表示“3次”、E类表示“4次及以上”．并制成了如下不完整的条形统计和扇形统计图（如图所示）．
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）填空：________；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中D类的扇形所占圆心角的度数；
（3）从全班去过该图书馆的同学中随机抽取1人，谈谈对新图书馆的印象和感受．求恰好抽中去过“4次及以上”的同学的概率．
18．（2022秋·黑龙江鹤岗·九年级统考期末）我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题．
（1）成绩为“B等级”的学生人数有 名；
（2）在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角度数为 ，图中m的值为 ；
（3）学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A等级”中有1名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率．
19．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级期末）一个不透明的袋中装有5个黄球、13个黑球和22个红球，它们除颜色外都相同．
（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
（2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个球是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？
20．（2022秋·黑龙江佳木斯·九年级统考期末）汤姆斯杯世界男子羽毛球团体赛小组赛比赛规则：两队之间进行五局比赛，其中三局单打，两局双打，五局比赛必须全部打完，赢得三局及以上的队获胜．假如甲，乙两队每局获胜的机会相同．
（1）若前四局双方战成2：2，那么甲队最终获胜的概率是__________；
（2）现甲队在前两局比赛中已取得2：0的领先，那么甲队最终获胜的概率是多少？
参考答案：
1．C
【分析】用红桃的张数除以扑克牌的总张数即为所求的概率．
【详解】解∶∵一副扑克牌共52张，其中红桃13张，
∴从中随机抽取一张，抽到红桃的概率为，
故选C．
【点睛】本题考查概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
2．A
【分析】由电路图可知，若仅闭合其中一开关，电路无法形成通路，故灯泡均不能发光，即可获得答案．
【详解】解：如图所示电路中，若仅闭合其中一开关，电路无法形成通路，故灯泡均不能发光，
所以，闭合其中一开关，灯泡能发光的概率是0．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了概率与物理知识的结合，解题关键是掌握不会发生的事件的概率为0．
3．D
【分析】根据所学知识，结合事件的定义判断即可．
【详解】因为抛掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，
故A不符合题意；
因为打开电视，正在播放广告，是随机事件，
故B不符合题意；
因为从一副扑克牌中抽到红桃A，是随机事件，
故C不符合题意；
因为三角形内角和为180°，是必然事件，
故D符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了事件的判断，熟练掌握随机事件、必然事件、不可能事件的判断是解题的关键．
4．B
【分析】直接根据概率公式求解即可．
【详解】解：因为一副扑克牌中共有54张牌，红桃为13张．
则抽到红桃的概率为：13÷54=，
故选：B．
【点睛】本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
5．A
【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果，
【详解】解：A、在367人中至少有两个人的生日相同，故A正确；
B、一次摸奖活动的中奖率是1%，那么摸100次可能中奖，可不中奖，故B错误；
C、一副扑克牌中，随意抽取一张是红桃K，这是随机事件，故C错误；
D、一个不透明的袋中装有3个红球，5个白球，搅匀后想中任意摸出一个球，摸到红球的可能性小于摸到白球的可能性，故D错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了概率的意义，解决的关键是理解概率的意义以及必然事件的概念，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果．
6．C
【分析】将两张卡片数字之和所有结果列出有3、4、5、6、7五种情况，再结合必然事件、不可能事件、随机事件的概念对选项依次判断即可．
【详解】解：A、两张卡片的数字之和等于1是不可能事件，与题意不符，故错误；
B、两张卡片的数字之和大于1是必然事件，与题意不符，故错误；
C、两张卡片的数字之和等于6是随机事件，与题意符合，故正确；
D、两张卡片的数字之和大于7是不可能事件，与题意不符，故错误；
故选：C．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
7．B
【分析】在5个数中找出无理数，再根据概率公式即可求出抽到无理数的概率．
【详解】解：∵在3，0，，4.1，中只有，是无理数，
∴从5个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是．
故选：B．
【点睛】本题考查了概率公式以及无理数，根据无理数的定义找出无理数的个数是解题的关键．
8．C
【分析】根据必然事件的概念“必然事件指在一定条件下一定发生的事件”判断即可．
【详解】解：A、打开电视，它正在播广告，随机事件；
B、掷两枚质地均匀的正方体骰子，点数之和一定大于6，随机事件；
C、早晨的太阳从东方升起，必然事件；
D、没有水分，种子发芽，不可能事件．
故选C．
9．D
【分析】随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现的事件；必然事件是指在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生．根据定义即可得出答案．
【详解】解：根据题意可得：A、B、为必然事件；C为不可能事件；D为随机事件，故选D．
【点睛】本题主要考查的是随机事件的定义，属于基础题型．理解定义是解决这个问题的关键．
10．B
【分析】根据简单概率的计算公式即可得解.
【详解】一共四个小球，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球一共有12中可能，其中能组成孔孟的有2种，所以两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是.
故选B.
考点：简单概率计算.
11．4
【分析】根据随机摸出一个球，它是白球的概率为，结合概率公式列出关于的方程求解即可．
【详解】解：根据题意，得：，解得，
经检验：是分式方程的解，
所以，
故答案是：4．
【点睛】本题主要考查概率公式，掌握随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数及解分式方程的步骤是解题的关键．
12．/0.25
【分析】从4张扑克牌中任取一张，所有可能出现的结果一共有4种，每种结果出现的概率都相等，其中抽到黑桃7的结果有1种．根据概率公式即可得到答案．
【详解】解：从4张扑克牌中任取一张，所有可能出现的结果一共有4种，每种结果出现的概率都相等，其中抽到黑桃7的结果有1种．
所以，抽到黑桃7的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．
13．放入4个黄球，1个白球（答案不唯一）
【分析】根据概率的意义，可知要使得从袋中任意摸出一个乒乓球是白色的概率是，只需使白球占总数的即可．
【详解】解：根据概率的意义，可知要使得从袋中任意摸出一个乒乓球是白色的概率是，只需使白球占总数的即可，例如：在袋中放入4个黄球，1个白球，
故答案为：放入4个黄球，1个白球（答案不唯一）．
【点睛】本题考查概率，解题的关键是熟练掌握概率的意义．
14．
【分析】利用概率公式计算即可．
【详解】∵ 不透明的口袋中，有2个红球和4个白球，
∴摸到红球的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键．
15．
【分析】设出袋中红球有个，利用白球的概率是，列出等式计算即可．
【详解】设出袋中红球有个，
依题意得，，
解得，
故答案为：
【点睛】本题考查了概率的求解公式，用到的知识为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16．
【分析】根据矩形的性质求出阴影部分占整个面积的，即可得出答案．
【详解】解：由题意可得出：图中阴影部分占整个面积的，
∴一只蚂蚁在如图所示的矩形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率是：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查几何概率.关键是熟练掌握几概率的公式.用阴影区域表示所求事件（A）；计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
17．（1）20；（2）图见解析；72°；（3）
【分析】（1）先利用B类人数和它所占的百分比计算出调查的总人数，然后计算出D类人数所占的百分比即可得到a的值；
（2）先计算出C类人数，再补全条形统计图，然后用D类人数所占百分比乘以360°得到扇形统计图中D类的扇形所占圆心角的度数；
（3）利用E类人数除以总人数得到恰好抽中去过“4次及以上”的同学的概率．
【详解】解：（1）调查的总人数为12÷24%＝50（人），
所以a%＝＝20%，即a＝20；
故答案为20；
（2）C类人数为50 8 12 10 4＝16（人），
条形统计图为：
扇形统计图中D类的扇形所占圆心角的度数为360°×20%＝72°；
（3）恰好抽中去过“4次及以上”的同学的概率＝．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
18．（1）5（2）72°；40（3）
【分析】（1）先根据“A等级”的人数及占比求出学生总人数，再减去各组人数即可求出成绩为“B等级”的学生人数；
（2）根据“D等级”的占比即可求出其圆心角度数，根据“C等级”的人数即可求出m的值；
（3）根据题意画树状图，再根据概率公式即可求解．
【详解】（1）学生总人数为3÷15%=20（人）
∴成绩为“B等级”的学生人数有20-3-8-4=5（人）
故答案为：5；
（2）“D等级”的扇形的圆心角度数为
m=，
故答案为：72°；40；
（3）根据题意画树状图如下：
∴P（女生被选中）=．
【点睛】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是根据题意求出学生总人数及概率的求解方法．
19．（1）（2）至少取出了9个黑球
【分析】（1）根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
（2）根据题意列不等式求解即可．
【详解】解：（1）∵袋中装有5个黄球、13个黑球和22个红球，共40个球，
∴从袋中摸出一个球是黄球的概率为．
（2）设从袋中取出x个黑球，则袋中总球数不变，黄球为5+x个，
根据题意，得，
解得．
∵x为整数，
∴x的最小整数是．
∴从袋中摸出一个球是黄球的概率不小于，至少取出了9个黑球．
20．（1）；（2）
【详解】分析：（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有8种等可能的结果数，再找出甲至少胜一局的结果数，然后根据概率公式求．
详解：（1）甲队最终获胜的概率是；
（2）画树状图为：
共有8种等可能的结果数，其中甲至少胜一局的结果数为7，
所以甲队最终获胜的概率=．
点睛：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．25.2 用列举法求概率 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）在一个不透明袋子中装有3个红球，2个白球，它们除颜色外其余均相同，随机从中摸出一球，记录下颜色后将它放回，充分摇匀后，再随机摸出一球，则两次都摸到红球的概率是（ ）．
A． B． C． D．
2．（2022秋·黑龙江双鸭山·九年级统考期末）如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是（ ）
A． B． C． D．1
3．（2022秋·黑龙江七台河·九年级统考期末）同时掷两枚骰子，点数和为4的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期末）在一个不透明的纸箱里装有2个红球、1个黄球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同，小明从纸箱里随机摸出1个球，记下颜色后放回，再由小亮随机摸出1个球，则两人摸到的球颜色不同的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·黑龙江佳木斯·九年级统考期末）如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·黑龙江绥化·九年级期末）袋中装有编号为1，2，3的三个质地均匀、大小相同的球，从中随机取出一球记下编号后，放入袋中搅匀，再从袋中随机取出一球，两次所取球的编号相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）甲、乙两盒中各放入分别写有数字1，2，3的三张卡片，每张卡片除数字外其他完全相同.从甲盒中随机抽出一张卡片，再从乙盒中随机抽出一张卡片，抽出的两张卡片上的数字之和是4的概率 ．
8．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）一个不透明的袋子中装有2个红球、3个黑球，这些球除了颜色外都相同，从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从剩下的球中随机摸出一个球，则两次摸到相同颜色的球的概率为
9．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级期末）小华为学校“赓续百年初心，庆祝建党百年”活动布置会场，在一个不透明的口袋里有4根除颜色以外完全相同的缎带，其中2根为红色，2根为黄色，从口袋中随机摸出两根缎带，则恰好摸出1根红色缎带，1根黄色缎带的概率是 ．
10．（2022秋·黑龙江大庆·九年级期末）两位同学玩“石头、剪子、布”游戏，随机出手一次，两人手势相同的概率是 ．
11．（2022秋·黑龙江双鸭山·九年级统考期末）一个不透明的口袋中装有标号为1、2、3的三个小球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出1个小球，然后把小球重新放回口袋并摇匀，再随机摸出1个小球，那么两次摸出小球上的数字之和是偶数的概率是 ．
12．（2022秋·黑龙江绥化·九年级期末）贵阳市2021年中考物理实验操作技能测试中，要求学生两人一组合作进行，并随机抽签决定分组．有甲、乙、丙、丁四位同学参加测试，则甲、乙两位同学分到同一组的概率是 ．
13．（2022秋·黑龙江鹤岗·九年级统考期末）从﹣2，﹣1，2三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第三象限的概率等于 ．
14．（2022秋·黑龙江佳木斯·九年级统考期末）小明和小亮在玩“石头、剪子、布”的游戏，两人一起做同样手势的概率是 ．
15．（2022秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期末）某校欲从初三级部3名女生，2名男生中任选两名学生代表学校参加全市举办的“中国梦 青春梦”演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是 ．
16．（2022秋·黑龙江七台河·九年级统考期末）在围棋盒中有x颗白色棋子和y颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是，如再往盒中放进3颗黑色棋子，取得白色棋子的概率变为，则原来盒里有白色棋子 颗．
三、解答题
17．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日．为增强师生的国家安全意识，我区某中学组织了“国家安全知识竞赛”，根据学生的成绩划分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图：
根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)参加知识竞赛的学生共有___________人；
(2)扇形统计图中，___________，C等级对应的圆心角为___________度；
(3)小永是四名获A等级的学生中的一位，学校将从获A等级的学生中任选2人，参加区举办的知识竞赛，请用列表法或画树状图，求小永被选中参加区知识竞赛的概率．
18．（2022秋·黑龙江黑河·九年级统考期末）淘淘和明明玩骰子游戏，每人将一个各面分别标有1，2，3，4，5，6的正方体骰子掷一次，把两人掷得的点数相加，并约定：点数之和等于6，淘淘赢；点数之和等于7，明明赢；点数之和是其它数，两人不分胜负．
(1)请你用“画树状图”或“列表”的方法分析说明此游戏是否公平．
(2)请你基于（1）问中得到的数据，设计出一种公平的游戏规则．(列出一种即可)
19．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）一只不透明的袋子中装有1个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同．
(1)搅匀后从中任意摸出1个球，这个球是白球的概率为______；
(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
20．（2022秋·黑龙江双鸭山·九年级统考期末）为传播数学文化，激发学生学习兴趣，学校开展数学学科月活动，七年级开展了四个项目：A．阅读数学名著；B．讲述数学故事；C．制作数学模型；D．挑战数学游戏要求七年级学生每人只能参加一项．为了解学生参加各项目情况，随机调查了部分学生，将调查结果制作成统计表和扇形统计图（如图），请根据图表信息解答下列问题：
项目 A B C D
人数/人 5 15 a b
(1)_______________，_______________．
(2)扇形统计图中“B”项目所对应的扇形圆心角为_______________度．
(3)在月末的展示活动中，“C”项目中七（1）班有3人获得一等奖，七（2）班有2人获得一等奖，现从这5名学生中随机抽取2人代表七年级参加学校制作数学模型比赛，请用列表或画树状图法求抽中的2名学生来自不同班级的概率．
21．（2022秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期末）为提高学生的安全意识，学校就学生对校园安全知识的了解程度，对部分学生进行了问卷调查，将收集信息进行统计分成A、B、C、D四个等级，其中A：非常了解；B：基本了解；C：了解很少；D：不了解．并将结果绘制成两幅不完整的统计图．请你根据统计信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 人；
（2）求扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；
（3）全校约有学生1500人，估计“A”等级的学生约有多少人？
（4）九年一班从“A”等级的甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2人参加学校竞赛，请用列表或树状图的方法求出恰好抽到甲、丁同学的概率．
22．（2022秋·黑龙江佳木斯·九年级统考期末）为迎接建党100周年，某校组织学生开展了党史知识竞赛活动．竞赛项目有：A．回顾重要事件；B．列举革命先烈；C．讲述英雄故事；D．歌颂时代精神．学校要求学生全员参加且每人只能参加一项，为了解学生参加竞赛情况，随机调查了部分学生，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）本次被调查的学生共有________名；
（2）在扇形统计图中“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为________，并把条形统计图补充完整；
（3）从本次被调查的小华、小光、小艳、小萍这四名学生中，随机抽出2名同学去做宣讲员，请用列表或画树状图的方法求出恰好小华和小艳被抽中的概率．
23．（2022秋·黑龙江双鸭山·九年级统考期末）“航天知识竞赛”活动中，获得“小宇航员”称号的小明得到了A、B、C三枚纪念章．如图，A、B、C三枚纪念章正面上分别印有“嫦娥五号”、“天问一号”和“天宫一号”的图案．三枚纪念章除正面图案不同外，其余均相同，小明将这三枚纪念章背面朝上放在桌面上，然后从中随机选取一枚，记下图案并放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小明两次抽到图案上至少有一张印有“嫦娥五号”图案的概率．
24．（2022秋·黑龙江大庆·九年级期末）为落实我市关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开设了四门校本课程供学生选择：A．趣味数学；B．博乐阅读；C．快乐英语；D．硬笔书法．某年级共有100名学生选择了A课程，为了解本年级选择A课程学生的学习情况，从这100名学生中随机抽取了30名学生进行测试，将他们的成绩（百分制）分成六组，绘制成频数分布直方图．
（1）已知这组的数据为：72，73，75，74，79，76，76，则这组数据的中位数是________，众数是________；
（2）根据题中信息，估计该年级选择A课程学生成绩在的总人数；
（3）该年级每名学生选两门不同的课程，小张同时选择课程A和课程B的概率是多少？请用列表法或树状图的方法加以说明．
25．（2022秋·黑龙江绥化·九年级统考期末）一个口袋中有个黑球和若干个白球，这些球除颜色外其他都相同．已知从中任意摸取一个球，摸得黑球的概率为．
(1)求口袋中白球的个数；
(2)如果先随机从口袋中摸出一球，不放回，然后再摸出一球，求两次摸出的球都是白球的概率．用列表法或画树状图法加以说明．
26．（2022秋·黑龙江七台河·九年级统考期末）把一副普通扑克牌中的4张；黑桃2，红心3，梅花4，黑桃5，洗匀后正面朝下放在桌面上.
（1）从中随机抽取一张牌是黑桃的概率是多少？
（2）从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张. 请用表格或树状图表示抽取的两张牌牌面数字所有可能出现的结果，并求抽取的两张牌牌面数字之和大于7的概率.
参考答案：
1．D
【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．
【详解】解：
红1 红2 红3 白1 白2
红1 红1红1 红2红1 红3红1 白1红1 白2红1
红2 红1红2 红2红2 红3红2 白1红2 白2红2
红3 红1红3 红2红3 红3红3 白1红3 白2红3
白1 红1白1 红2白1 红3白1 白1白1 白2白1
白2 红1白1 红2白1 红3白1 白1白1 白2白1
由列表可知共有种可能，两次都摸到红球的有9种，所以概率是．
故选：D．
【点睛】考查概率的概念和求法，用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率的常用方法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
2．B
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把S1、S2、S3分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，即AB、AC、BA、CA，
∴同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为．
故选：B．
【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，列出树状图是解题的关键．
3．A
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与点数和为4的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】由题意可列表得:
由表可知一共有36种情况，点数和为4的有3种情况．
所以点数和为4的概率为．
故选：A．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法求随机事件的概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．
4．D
【分析】先画出树状图，从而可得小明和小亮每人随机摸出1球的所有可能结果，再找出他们摸到的球颜色不同的结果，然后利用概率公式计算即可得．
【详解】将纸箱里4个球的颜色依次标记为，其中表示2个红球，
由题意，画树状图如下：
由图可知，小明和小亮每人随机摸出1球的所有可能结果共有16种，它们每一种出现的可能性都相等；其中，他们摸到的球颜色不同的结果共有10种，
则所求的概率为，
故选：D．
【点睛】本题考查了利用列举法求概率，依据题意，正确画出树状图是解题关键．
5．A
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况，
∴小灯泡发光的概率为＝．
故选：A．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
6．C
【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式即可求出该事件的概率．
【详解】解：画树状图得：
∴一共有9种等可能的结果，
两次所取球的编号相同的有3种，
∴两次所取球的编号相同的概率为=．
故选C．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7．
【分析】根据题意可得到共有9种等可能的结果，数字之和为4的结果有3种，即可得到答案．
【详解】解：由题可得可列如下：
1 2 3
1
2
3
∴由上表可得：共有9种等可能的结果，数字之和为4的结果有3种，
故摸出两张卡片上的数字之和是4的概率是．
故答案为：．
【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
8．/
【分析】采用列表法列举即可求解．
【详解】列表如下：
总计有20种情况，颜色相同的情况有8种，
即：两次摸到相同颜色的球的概率为，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9．
【分析】列表知共有12种等可能的结果，其中摸出1根红色缎带1根黄色缎带的结果数为8，根据概率公式求解即可．
【详解】解：列表如下：
红 红 黄 黄
红 （红，红） （黄，红） （黄，红）
红 （红，红） （黄，红） （黄，红）
黄 （红，黄） （红，黄） （黄，黄）
黄 （红，黄） （红，黄） （黄，黄）
由表知，共有12种等可能的情况，恰好摸出1根红色缎带1根黄色缎带的有8种结果，
所以摸出1根红色缎带1根黄色缎带的概率=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
10．
【分析】用列表法即可解决．
【详解】列表如下：
石头 剪子 布
石头 石头，石头 石头，剪子 石头，布
剪子 剪子，石头 剪子，剪子 剪子，布
布 布，石头 布，剪子 布，布
事件总的可能结果数为9，手势相同的有3种，则两人手势相同的概率是．
故答案为：
【点睛】本题考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，根据概率计算公式，关键是由图或表中得到事件所有可能的结果数及事件发生的结果数．
11．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，两次摸出小球上的数字之和是奇数的结果有5种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如图：
共有9种等可能的结果，两次摸出小球上的数字之和是奇数的结果有5种，
∴两次摸出小球上的数字之和是偶数的概率为，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是列表法或树状图法求概率以及概率公式．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
12．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，甲、乙两位同学分到同一组的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如图：
共有12种等可能的结果，甲、乙两位同学分到同一组的结果有4种，
∴甲、乙两位同学分到同一组的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．
【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到该点在第三象限的结果数，再利用概率公式求解可得．
【详解】画树状图如下：
共有6种等可能情况，该点在第三象限的情况数有(，)和(，)这2种结果，
∴该点在第三象限的概率等于：，
故答案为：．
【点睛】本题考查概率的求法：概率=所求情况数与总情况数之比．解题时注意，第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数，得到在第三象限的情况数是解决本题的关键．
14．
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两人随机同时出手一次，做同样手势的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两人随机同时出手一次，做同样手势的结果数为3，
故两人一起做同样手势的概率是的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题涉及列表法和树状图法以及相关概率知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15．
【分析】结合题意，画树状图进行计算，即可得到答案.
【详解】画树状图为：
共20种等可能的结果数，其中选中一男一女的结果数为12，
∴恰好选中一男一女的概率是，
故答案为．
【点睛】本题考查概率，解题的关键是熟练掌握树状图法求概率．
16．2
【分析】先根据白色棋子的概率是，得到一个方程，再往盒中放进3颗黑色棋子，取得白色棋子的概率变为，再得到一个方程，求解即可．
【详解】由题意得： ,解得：x=2，y=3，
经检验：x=2，y=3是方程的解.
故答案为2．
17．(1)40
(2)10，144
(3)
【分析】（1）根据D等级的频数及所占的百分比即可得出总的人数；
（2）用A等级的频数除以总人数即可得出m的值；用360度乘以C等级所占的比例即可；
（3）用列表法表示出所有等可能的结果，然后用概率公式求解即可．
【详解】（1）（人），
故答案为：40，
（2），．
故答案为：10，144；
（3）设小永用A表示，其他三位同学分别用B、C、D，从中任意选取2人，所有可能出现的情况如下：
共有12种等可能出现的情况，其中小永被选中的有6种，
所以小永被选中参加区知识竞赛的概率为．
【点睛】本题主要考查条形统计图与扇形统计图综合，用列表法或树状图法求概率等，解题的关键是理解题意，综合运用这些知识点．
18．(1)此游戏不公平，见解析
(2)点数之和等于6，淘淘赢；点数之和等于8，明明赢
【分析】（1）画树状图求出淘淘和明明获胜的概率，再比较概率即可判定游戏是否公平；
（2）设计一个两人获胜概率一样的游戏规则即可．
【详解】（1）解：画树状图：
由图可知，点数之和共有36种可能的结果，其中6出现5次，7出现6次，
故P(和为6)，P(和为7)．
P(和为6)
∴明明获胜的概率大，此游戏不公平；
（2）解：如：“点数之和等于6，淘淘赢；点数之和等于8，明明赢；点数之和是其它数，两人不分胜负．”（答案不唯一）
由（1）树状图可知：点数之和等于6出现5次，点数之和等于8也出现5次，
∴P(和为6)，P(和为8) ，
∴P(和为6)= P(和为8)，
故游戏公平．
【点睛】本题考查用列表法或画树状图法求概率，游戏公平性问题，熟练掌握用列表法或画树状图法求概率是解题的关键．
19．(1)
(2)2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率为
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）画树状图表示所有等可能出现的情况，从中找出两个球颜色不同的结果数，进而求出概率．
【详解】（1）解：∵一只不透明的袋子中装有1个白球和3个红球，这些球除颜色外都相同，
∴搅匀后从中任意摸出1个球，则摸出白球的概率为： ．
故答案为：；
（2）解： 画树状图，如图所示：
共有16种不同的结果数，其中两个球颜色不同的有6种，
∴2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率为．
【点睛】考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
20．(1)20；10
(2)108
(3)
【分析】（1）根据A项目人数为5，占比为10%，得出总人数，然后根据D项目占比得出D项目人数，利用总人数减去各项目人数即可得出C项目人数；
（2）利用B项目占比然后乘以360度即可得出结果；
（3）设七（1）班有3人获得一等奖分别为F、G、H；七（2）班有2人获得一等奖分别为M、N；利用列表法得出所有可能的结果，然后找出满足条件的结果即可得出概率．
【详解】（1）解：A项目人数为5，占比为10%，
∴总人数为：5÷10%=50；
D项目人数为：b=50×20%=10人，
C项目人数为：a=50-10-5-15=20人，
故答案为：20；10；
（2）解：，
故答案为：108；
（3）解：设七（1）班有3人获得一等奖分别为F、G、H；七（2）班有2人获得一等奖分别为M、N；
列表如下：
F G H M N
F FG FH FM FN
G GF GH GM GN
H HF HG HM HN
M MF MG MH MN
N NF NG NH NM
共有20中等可能的结果，其中满足条件的有12中结果，
，
2名同学来自不同班级的概率为．
【点睛】题目主要考查统计表及扇形统计图，利用树状图或列表法求概率等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
21．（1）40；（2）72°，见解析；（3）225人；（4）
【分析】（1）C组：了解很少这个小组有人，占比由可得答案；
（2）利用组占比乘以即可得到组所占的圆心角的大小，再求解组人数，补全图形即可；
（3）由乘以A组的占比即可得到答案；
（4）先列表，可得所有的等可能的结果有种，刚好抽到甲和丁同学的情况有2种，再利用概率公式可得答案．
【详解】解：（1） C组：了解很少这个小组有人，占比
接受问卷调查的学生共有人，
故答案为： ；
（2）组占比：
扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数为：
，
组人数为：
所以补全条形统计图如下：
（3）全校约有学生1500人，估计“A”等级的学生约有：
（人）；
（4）列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙）
所有的等可能的结果有种，刚好抽到甲和丁同学的情况有2种，
所以刚好抽到甲和丁同学的概率是：．
【点睛】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，扇形的圆心角的计算，补画条形图，利用样本估计总体，利用列表法求解简单随机事件的概率，掌握以上基础知识是解题的关键．
22．（1）60；（2）90°，补全条形统计图见解析；（3）
【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图可知A项目的有9人，占15%，即可求出总人数；
（2）作差求出B项目的人数，按照比例求出其圆心角度数并补全条形统计图；
（3）列出表格，利用概率公式即可求解．
【详解】解：（1）；
（2）B项目的总人数为人，
∴“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为，
补全条形统计图如下：
；
（3）列出表格如下：
小华 小光 小艳 小萍
小华 小华，小光 小华，小艳 小华，小萍
小光 小华，小光 小光，小艳 小光，小萍
小艳 小华，小艳 小光，小艳 小萍，小艳
小萍 小华，小萍 小光，小萍 小萍，小艳
共有12种情况，其中恰好小华和小艳的有2种，
∴P(恰好小华和小艳)．
【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图综合，从统计图中获取相关信息是解题的关键．
23．树状图见解析，
【分析】通过树状图法分别列出等可能的情况，然后选择至少有一张印有“嫦娥五号”图案的情况，利用概率的求解公式进行求解即可得解．
【详解】根据题意，树状图如下：
两次抽到图案的等可能情况有9种，至少有一张印有“嫦娥五号”图案的情况有5种
则小明两次抽到图案上至少有一张印有“嫦娥五号”图案的概率为．
【点睛】本题主要考查了通过树状图或列举法求简单概率的方法，熟练掌握概率的求解公式是解决本题的关键．
24．（1）75，76；（2）人；（3）
【分析】（1）由中位数和众数的定义求解即可；
（2）由该年级总人数乘以选择A课程学生成绩在80≤x＜90所占的比例即可；
（3）画树状图，可能的结果共有12种，小张同时选择课程A和课程B的情况共有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：（1）把70≤x＜80这组的数据排序为：72，73，74，75，76，76，79，
则这组数据的中位数是75，众数是76，
故答案为：75 76；
（2）观察频数分布直方图，抽取的30名学生成绩在范围内的共有9人，所占比例为，
则估计该年级100名选择A课程的学生中成绩在范围内的总人数为（人）；
（3）画树状图如图所示：
由树状图可知，等可能的结果共有12种，小张同时选择课程A和课程的情况共有2种，
所以，小张同时选择课程A和课程的概率是．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及频数分布直方图、众数、中位数等知识；树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
25．(1)个
(2)
【分析】（1）根据摸得黑球的概率为，假设出白球个数直接得出答案；
（2）利用先随机从口袋中摸出一球，不放回，得出树状图即可．
【详解】（1）解：∵一个口袋中有个黑球和若干个白球，从中任意摸取一个球，摸得黑球的概率为．
∴假设白球有个，
∴，
∴．
∴口袋中白球的个数为个；
（2）解：∵先随机从口袋中摸出一球，不放回，然后再摸出一球，求两次摸出的球都是白球的概率．画树状图如下，
一共得到6种等可能结果，其中两次摸出的球都是白球的有2种，
∴两次都摸到白球的概率为：．
【点睛】此题主要考查了树状图法求概率，根据已知得出树状图注意按要求从口袋中摸出一球，不放回，容易在这个地方犯错．
26．（1） （2）
【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
【详解】解：（1）共有4种情况，其中黑桃有2张，从中随机抽取一张牌是黑桃的概率为；
（2）抽取的两张牌牌面数字所有可能出现的结果，用表格表示如下：
先抽取的牌牌面数字也可树状图表示如下：
所有可能出现的结果有（2，3），（2，4），（2，5），（3，2），（3，4），（3，5），（4，2），（4，3），（4，5），（5，2），（5，3），（5，4），由表格（或树状图）可以看出，抽取的两张牌可能出现的结果有12种．它们出现的可能性相等，而两张牌牌面数字之和大于7的结果有4种．
所以抽取的两张牌牌面数字之和大于7的概率为．25.3 用频率估计概率 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·黑龙江双鸭山·九年级统考期末）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，则口袋中白色球的个数可能是（ ）
A．24 B．18 C．16 D．6
2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间都在降雨
B．“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛2次就有一次正面朝上
C．“彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票肯定会中奖
D．“抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的频率稳定在附近
3．（2022秋·黑龙江绥化·九年级期末）某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）下列说法正确的是（ ）．
A．不可能事件发生的概率为1 B．随机事件发生的概率为
C．概率很小的事件不可能发生 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
5．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级期末）一个不透明的口袋中装有若干个红球和8个白球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，口袋中红球最有可能有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2022秋·黑龙江鹤岗·九年级期末）某班学生做“用频率估计概率”的实验时，得到的实验结果成如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4
B．扔一枚面额一元的硬币，正面朝上
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，某人随机出的是“剪刀”
D．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，抽到的卡片上标有奇数
7．（2022秋·黑龙江双鸭山·九年级期末）在一个不透明的盒子中装有30个白、黄两种颜色的乒乓球，这些乒乓球除颜色外都相同． 班长进行了多次的摸球试验，发现摸到黄色乒乓球的频率稳定在0.3左右，则盒子中的白色乒乓球的个数可能是（ ）
A．21个 B．15个 C．12个 D．9个
8．（2022秋·黑龙江哈大庆·九年级期末）在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为30%，估计袋中黑球有（ ）个．
A．8 B．9 C．14 D．15
二、填空题
9．（2022秋·黑龙江佳木斯·九年级统考期末）在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，这些球除颜色外无其他差别，多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定于，则口袋中的白球有 个．
10．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级统考期末）在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，则口袋中白球可能有 个．
11．（2022秋·黑龙江双鸭山·九年级统考期末）一个盒中有10枚黑棋子和若干枚白棋子，这些棋子除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，记下颜色，再放回盒中．不断重复上述过程，一共取了300次，其中有100次取到黑棋子，由此估计盒中约有 枚白棋子．
12．（2022秋·黑龙江佳木斯·九年级统考期末）在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算正面朝上的概率，其试验次数分别为10次、50次、100次、200次，其中试验相对科学的是 组．
13．（2022秋·黑龙江绥化·九年级统考期末）一个不透明的袋子装有除颜色外其余均相同的2个红球和m个黄球，随机从袋中摸出个球记录下颜色，再放回袋中摇匀大量重复试验后，发现摸出红球的频率稳定在0.2附近，则m的值为 ．
14．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级期末）在一个不透明的布袋中，黄色、红色的乒乓球共10个，这些球除颜色外其他都相同．小刚通过多次摸球实验后发现其中摸到黄球的频率稳定在60%，则布袋中红色球的个数很可能是 个．
15．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相同．摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中．不断重复这一过程，共摸球100次．其中有40次摸到黑球，估计袋中红球的个数是 ．
16．（2022秋·黑龙江七台河·九年级期末）在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计口袋中白球大约有 个．
17．（2022秋·黑龙江牡丹江·九年级期末）在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的 5 个红球和若干白球，通过多次摸球试 验后，发现摸到红球的频率约为 ，估计袋中白球有 个．
三、解答题
18．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）为了解某地七年级学生身高情况，随机抽取部分学生，测得他们的身高（单位:cm），并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题．
（1）填空：样本容量为 ，a＝ ；
（2）把频数分布直方图补充完整；
（3）若从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160cm的概率．
19．（2022秋·广黑龙江黑河·九年级期末）在一个不透明的箱子中装有形状、大小都一样的小球，其中红色小球有个，蓝色小球有个．
(1)从箱子中任意摸出一个小球，恰好是红色的概率为______ ；
(2)从箱子中任意摸出两个小球，两个小球颜色恰好不同的概率为______ ；
(3)将摸出的小球全部放回后，又放入个蓝色小球，摇晃均匀后任意摸出一个，记下颜色后放回，经过大量反复地实验，发现摸到蓝色小球的频率约为，则 ______．
20．（2022秋·黑龙江绥化·九年级期末）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000
摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667
摸到白球的频率 0.3600 0.3100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335
（1）该学习小组发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，请直接写出这个常数（精确到0.01），由此估出红球有几个？
（2）在这次摸球试验中，从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个球，利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求两次摸到的球恰好1是个白球，1个是红球的概率．
21．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级期末）仙游县教师进修学校未成年人校外心理健康辅导站多年来一直致力于未成年人心理健康服务工作．2021年9月疫情期间，辅导站对全县135057名中小学生进行了心理普测，探索出“云端”守护学生心灵的服务模式，受到了社会的广泛赞誉．为了更好地服务未成年学生，该辅导站对全县学生是否需要心理辅导进行随机问卷调查，得到以下统计表：
调查人次 5000 10000 15000 20000
需要心理辅导的人次 163 294 446 602
需要辅导的频率 0.0326 0.0294 0.0297 0.0301
(1)通过以上数据估计，任意调查一名我县学生，这名学生需要心理辅导的概率大约是______；（精确到0.001）
(2)辅导站通常使用A（会谈技术）、B（绘画分析）、C（沙盘游戏）、D（音乐放松）四种方式对需要辅导的学生进行公益心理辅导．在某次心理辅导服务中，有2名学生选择A方式，1名学生选择B方式，2名学生选择C方式．辅导站的陈老师准备从这5名学生中选择2人进行辅导．请用列表法或树状图求选中的学生恰好都是选择A方式的概率．
22．（2022秋·黑龙江佳木斯·九年级期末）某商家销售一批盲盒，每一个看上去无差别的盲盒内含有A，B，C，D四种玩具中的一种，抽到玩具B的有关统计量如表所示：
抽盲盒总数 500 1000 1500 2000 2500 3000
频数 130 273 414 566 695 843
频率 0.260 0.273 0.276 0.283 0.278 0.281
(1)估计从这批盲盒中任意抽取一个是玩具B的概率是 ；（结果保留小数点后两位）
(2)小明从分别装有A，B，C，D四种玩具的四个盲盒中随机抽取两个，请利用画树状图或列表的方法，求抽到的两个玩具恰为玩具A和玩具C的概率．
参考答案：
1．C
【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数频率频数计算白球的个数．
【详解】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，
∴摸到白球的频率为，
∴口袋中白色球的个数可能是个．
故选：C．
【点睛】大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是算出摸到白球的频率．
2．D
【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生．
【详解】解：A、“明天下雨的概率为80%”指的是明天下雨的可能性是80%，错误，不符合题意；
B、这是一个随机事件，出现正面朝上或者反面朝上都有可能，错误，不符合题意；
C、这是一个随机事件，中奖或者不中奖都有可能，错误，不符合题意；
D、当试验次数足够大时，可用频率估计概率，正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了概率．解题的关键在于正确理解概率的含义．
3．D
【分析】随机事件A的概率事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
【详解】解：每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，
当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率，
故选D．
【点睛】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
4．D
【分析】利用概率的意义、随机事件的判定等知识分别判断，即可确定正确的选项．
【详解】解：A.不可能事件发生的概率为0，故该选项错误，不符合题意；
B.随机事件发生的概率大于0，小于1，，故该选项错误，不符合题意；
C.概率很小的事件也可能发生，故该选项错误，不符合题意；
D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率、随机事件、概率的意义等知识，解题的关键是了解大量重复试验中，事件发生的频率可以估计概率．
5．B
【分析】由摸到红球的频率稳定在附近得出口袋中得到红色球的概率，进而利用概率公式求出红球个数即可．
【详解】解：设红球个数为x个，
∵摸到红色球的频率稳定在左右，
∴口袋中得到红色球的概率为，
∴，
解得：，
故红球的个数为2个．
故选：B
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，根据大数次反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．
6．C
【分析】根据频率估计概率分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【详解】解：A、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率是 ，不符合这一结果，故此选项不符合题意；
B、扔一枚面额一元的硬币，正面朝上的概率是，不符合这一结果，故此选项不符合题意；
C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，某人随机出的是“剪刀”的概率是，符合这一结果，故此选项符合题意；
D、从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现奇数的概率是，不符合这一结果，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
7．A
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设袋中有白色乒乓球x个，列出方程求解即可．
【详解】解：设袋中有白色乒乓球x个，由题意得＝0.3，
解得x＝21．
故选：A．
【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是利用黄球的概率公式列方程求解得到黄球的个数．
8．C
【分析】根据摸到白球的频率约为30%，用6除以30%得到总球数，再计算求解即可．
【详解】解：∵摸到白球的频率约为30%，
∴不透明的袋子中一共有球为：6÷30%=20（个），
黑球有20-6=14（个），
故选：C．
【点睛】本题考查了用频率求总体，解题关键是明确频率的意义，求出总共有多少个球．
9．1
【分析】根据摸到白球的频率稳定于，得到摸到白球的概率为，利用概率公式进行求解即可．
【详解】解：∵多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定于，
∴摸到白球的概率为，
设白球有个，则：，
解得：，
经检验是原方程的解．
∴口袋中的白球有1个；
故答案为：1．
【点睛】本题考查利用频率估计概率以及利用概率求数量．解题的关键是得到摸到白球的概率为．
10．16
【分析】由摸到红球的频率稳定在附近，估计摸到红球的概率为，设袋中白球的个数为x，通过列方程进而求出白球个数即可．
【详解】解：设袋中白球的个数为x，根据题意，得：
，
解得，
经检验是分式方程的解，
所以口袋中白球可能有16个，
故答案为：16．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，掌握大量反复试验下频率稳定值即概率是解题关键．
11．
【分析】根据一共取了300次，其中有100次取到黑棋子，求出取到黑棋子的概率，再计算盒中约共有棋子数，最后计算白棋子数限可．
【详解】取到黑棋子的概率为：，
盒中约共有棋子：（枚），
其中约有白棋子：（枚）．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了概率，解决问题的关键是熟练掌握用频率估计概率，用概率估计事件．
12．丁
【详解】解：根据模拟实验的定义可知，实验相对科学的是次数最多的丁组．故答案为丁．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，选择和抛硬币类似的条件的试验验证抛硬币实验的概率，理解大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近是解题的关键．
13．8
【分析】首先根据题意可取确定摸出红球的概率为0.2，然后根据概率公式建立方程求解即可．
【详解】解：∵大量重复试验后，发现摸出红球的频率稳定在0.2附近，
∴摸出红球的概率为0.2，
由题意，，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
故答案为：8．
【点睛】本题考查由频率估计概率，以及已知概率求数量；大量重复试验后，某种情况出现的频率稳定在某个值附近时，这个值即为该事件发生的概率，掌握概率公式是解题关键．
14．4
【分析】设出黄球的个数，根据黄球的频率求出黄球的个数即可解答．
【详解】设黄球的个数为x，
∵共有黄色、红色的乒乓球10个，黄球的频率稳定在60%，
∴，
解得：，
∴布袋中红色球的个数很可能是（个）．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，关键是根据黄球的频率得到相应的等量关系，列出方程．
15．6
【分析】估计利用频率估计概率可估计摸到黑球的概率为 ，然后根据概率公式构建方程求解即可．
【详解】解：设袋中红球的个数是x个，根据题意得：
，
解得：x=6，
经检验：x=6是分式方程的解，
即估计袋中红球的个数是6个．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是熟练掌握大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．
16．
【分析】由摸到红球的频率稳定在附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．
【详解】解：设白球个数为个
∵摸到红球的频率稳定在0.25附近
∴口袋中得到红色球的概率为0.25
∴
解得：
经检验，符合题意
即白球的个数为15个
故答案为：15
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解题关键是大量反复试验下频率稳定值即概率．
17．
【分析】根据摸到红球的频率约为，用5除以得到总球数，再计算求解即可．
【详解】解：摸到红球的频率约为，
∴不透明的袋子中一共有球为：(个)，
故估计袋子中的白球有：(个)，
故答案为：
【点睛】本题主要考查用频率估计概率及应用，解题的关键是明确频率估计概率的意义．
18．（1）故答案为100，30；（2）见解析；（3）0.45．
【分析】（1）用A组的频数除以它所占的百分比得到样本容量，然后计算B组所占的百分比得到a的值；
（2）利用B组的频数为30补全频数分布直方图；
（3）计算出样本中身高低于160cm的频率，然后利用样本估计总体和利用频率估计概率求解.
【详解】解：（1），
所以样本容量为100；
B组的人数为，
所以，则；
故答案为，；
（2）补全频数分布直方图为：
（3）样本中身高低于的人数为，
样本中身高低于的频率为，
所以估计从该地随机抽取名学生，估计这名学生身高低于的概率为．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．也考查了统计中的有关概念．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由于是任意摸出一个小球，根据红色小球和蓝色小球的个数，即可得到结论
（2）列表得出所有等可能的结果，从中找出符合条件的结果数，再利用概率公式求解即可
（3）根据概率公式列出方程，解方程即可
【详解】（1）从箱子中任意摸出一个小球，恰好是红色的概率为，
故答案为：；
（2）列表如下：
红 红 红 蓝
红 红，红 红，红 蓝，红
红 红，红 红，红 蓝，红
红 红，红 红，红 蓝，红
蓝 红，蓝 红，蓝 红，蓝
由表知，共有种等可能结果，其中两个小球颜色恰好不同的有种结果，
所以两个小球颜色恰好不同的概率为，
故答案为：．
（3）根据题意得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了概率公式及用频率估计概率，熟练掌握概率公式及列出等可能事件的个数是解题的关键
20．（1）这个常数是0.33，由此估出红球有2个；（2）
【分析】（1）计算频率的平均数，后按照精确度求得近似数即可；根据概率公式建立方程求解即可；
（2）画树状图求解即可．
【详解】（1）根据题意，得
＝0.3325
≈0.33，
设有x个红球，根据题意，得，
解得x≈2
经检验，符合题意．
故这个常数是0.33，由此估出红球有2个．
（2）画树状图如下：
据图知，所有等可能的情况有9种，其中恰好摸到1个白球，1个红球的情况有4种，
则P（恰好摸到1个白球，1个红球）．
所以从该袋中摸出2个球，恰好摸到1个白球、1个红球的结果的概率为．
【点睛】本题考查了用频率估计概率，画树状图计算概率，准确理解频率估计概率的意义，熟练画树状图是解题的关键．
21．(1)0.030
(2)
【分析】（1）随着调查人数的逐渐增大，频率的数值逐渐稳定于0.030，据此可得答案；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）通过以上数据估计，任意调查一名我县学生，这名学生需要心理辅导的概率大约是0.030，
故答案为：0.030；
（2）树状图如下：
可能出现的结果有20种，并且它们出现的可能性相等．
其中，选中的学生恰好都是选择A方式的结果有2种，则
P（恰好都是选择A方式）＝．
【点睛】本题考查利用频率估计概率、列表法或树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
22．(1)0.28；
(2)
【分析】（1）由表中数据可判断频率在0.28左右摆动，利用频率估计概率可判断任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概率为0.28；
（2）先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．
【详解】（1）解：从这批盲盒中任意抽取一个是玩具B的概率是0.28，
故答案为0.28．
（2）列表为：
A B C D
A -- BA CA DA
B AB -- CB DB
C AC BC -- DC
D AD BD CD --
由上表可知，从四种玩具的四个盲盒中随机抽取两个共有12种等可能结果，其中恰为玩具A和玩具C的结果有2种，所以恰为玩具A和玩具C的概率P=．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率及用列表法或树状图法求概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．