27.1 图形的相似 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级期末）如图，在中，D、E分别在边上，，，，，则的长为（ ）
A． B．6 C． D．7
2．（2022春·黑龙江大庆·九年级统考期末）下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（ ）
A．4cm，5cm，6cm，7cm B．3cm，4cm，5cm，8cm
C．5cm，15cm，3cm，9cm D．8cm，4cm，1cm，3cm
3．（2022春·黑龙江黑河·九年级期末）如图，在中，，，，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2022春·黑龙江大庆·九年级统考期末）如图，是的中线，点在上，，连接并延长交于点，则：的值是（ ）
A．： B．： C．： D．：
5．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）
A． B．1 C． D．2
6．（2022秋·黑龙江佳木斯·九年级期末）下列说法中：①比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变；②学校食堂新进一批煤，使用天数与每天的平均用煤量成正比例；③实验小组用200颗种子做发芽试验，全部发芽，则这子的发芽率为200%；④圆锥的体积等于圆锥体积的．其中正确的个数有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
7．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级期末）如图，矩形OABC的面积为36，它的对角线OB与双曲线y相交于点D，且OD：OB＝2：3，则k的值为（ ）
A．12 B．﹣12 C．16 D．﹣16
9．（2022秋·黑龙江鹤岗·九年级期末）如图，在中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，，，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）下列命题判断正确的有（ ）
①如果线段是线段，，的第四比例项，那么；
②如果点是线段的中点，那么；
③如果点是线段的黄金分割点，且，那么是与的比例中项．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．（2022秋·黑龙江绥化·九年级期末）如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
12．（2022春·黑龙江七台河·九年级期末）如图，已知直线∥∥，直线m、n 与、、分别交于点、、、、、，，，，则（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．8.5
13．（2022秋·黑龙江牡丹江·九年级期末）如图，在 ABCD中，点E在AD边上，CE、BA的延长线交于点F，下列结论错误的是( )
A． B．
C． D．
14．（2022春·黑龙江鸡西·九年级期末）若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
二、填空题
15．（2022春·黑龙江双鸭山·九年级期末）黄金分割大量应用于艺术、大自然中，例如树叶的叶脉也蕴含着黄金分割.如图，为的黄金分割点，如果的长度为，则的长度为 ．（结果保留根号）
16．（2022秋·黑龙江绥化·九年级统考期末）如图，在等边中，为边上的一点，连接，为上一点，且，延长交于，当为中点时，则的值为 ．
17．（2022秋·黑龙江绥化·九年级期末）在一幅比例尺是100：1的图纸上，1.5毫米的零件应画 厘米．
18．（2022春·黑龙江大庆·九年级统考期末）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至腰部的长度与腰部至足底的长度之比是黄金分割比例．在设计人体雕像时，雕像（如图所示）的腰部以下长为a，身高b的，如果我们选择最美设计方案，当b为2米时，则a约为 米．（≈2.236，精确到0.01米）
19．（2022春·黑龙江黑河·九年级期末）已知线段，点是线段的黄金分割点，且，则 ．
20．（2022春·黑龙江鹤岗·九年级期末）如图：AD是的中线，E是AD上一点，AE：：3，BE的延长线交AC于F，AF： ．
21．（2022春·黑龙江鸡西·九年级期末）已知，则 ．
22．（2022春·黑龙江七台河·九年级期末）如图，，，，则的长为 .
三、解答题
23．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴正半轴于点C，交x轴负半轴于点A，交y轴于点B，且．
(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，点P为抛物线第一象限上一点，连接交y轴于点D，作轴于点E，设点E的横坐标为t，线段的长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，作轴，点F在直线下方的第一象限内，连接、，若四边形的面积为8，且，求P点的坐标．
24．（2022春·黑龙江大庆·九年级统考期末）已知线段a，b，c满足，且．求线段a，b，c的长．
参考答案：
1．C
【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．
2．C
【分析】根据成比例线段的定义，逐项分析判断即可，成比例线段，如果两条线段的比值与另两条线段的比值相等，即，则为成比例线段．
【详解】A、∵，∴4cm，5cm，6cm，7cm不是成比例线段，故该选项不符合题意；
B、∵，∴3cm，4cm，5cm，8cm不是成比例线段，故该选项不符合题意；
C、∵，∴5cm，15cm，3cm，9cm是成比例线段，故该选项符合题意；
D、∵，∴8cm，4cm，1cm，3cm不是成比例线段，故该选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了成比例线段的定义，理解成比例线段的定义是解题的关键．
3．B
【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟知该定理是解题的关键．
4．A
【分析】过点D作与BF交于点G，于是FC=2DG，AF=3DG，∴AF:FC=3DG:2DG=3:2
【详解】过点D作与BF交于点G，如图：
是的中线
即
即
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟悉概念是解题关键．
5．C
【分析】过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，根据题意得，然后利用平行线分线段成比例定理即可求解．
【详解】解：过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，
根据题意得，
∵，
∴，
又∵，
∴
故选：C
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的应用，作出适当的辅助线是解题的关键．
6．C
【分析】根据比的性质，反比例的意义，发芽率以及圆锥体积的计算方法逐项进行判断即可．
【详解】解：①比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，是正确的；
②学校食堂新进一批煤，使用天数与每天的平均用煤量成反比例，因此②是错误的；
③实验小组用200颗种子做发芽试验，全部发芽，则这种子的发芽率为100%，因此③是错误的；
④圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的，因此④是错误的，
综上所述，正确的有①，共1个，
故选：C．
【点睛】本题考查认识立体图形，比的性质，反比例的意义，发芽率的计算方法，掌握比的性质，反比例的意义，发芽率的计算方法是正确判断的前提．
7．B
【分析】根据两内项之积等于两外项之积用x表示出y，然后代入比例式进行计算即可得解．
【详解】解：∵，
∴y＝，
∴＝＝．
故选：B．
【点睛】本题考查了比例的性质，用x表示出y是解题的关键．
8．D
【分析】过D点作DE⊥OA，DF⊥OC，垂足为E、F，由双曲线的解析式可知S矩形OEDF=|k|，由于D点在矩形的对角线OB上，可知矩形OEDF∽矩形OABC，并且相似比为OD:OB＝2:3，由相似多边形的面积比等于相似比的平方可求出S矩形OEDF=16，再根据在反比例函数y图象在第二象限，即可算出k的值．
【详解】解：过D点作DE⊥OA，DF⊥OC，垂足为E、F，
∵D点在双曲线y上，
∴S矩形OEDF=|xy|=|k|，
∵D点在矩形的对角线OB上，
∴矩形OEDF∽矩形OABC，
∴，
∵S矩形OABC=36，
∴S矩形OEDF=16，
∴|k|=16，
∵双曲线y在第二象限，
∴k=-16，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用．关键是过D点作坐标轴的垂线，构造矩形，再根据相似多边形的面积的性质求出|k|．
9．D
【分析】根据平行线分线段成比例的性质判断选项的正确性．
【详解】解：∵，
∴，故A错误，
∵，
∴，故B错误，
∵，
∴，即，故C错误，
∵，，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例的性质，解题的关键是熟练运用这个性质得到线段的比例关系．
10．C
【分析】根据比例中项和黄金分割的概念分析即可．
【详解】①根据第四比例项的概念，可知说法正确；
②如果点C是线段AB的中点，，所以 ，说法错误；
③如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC>BC ，那么AC是AB与BC的比例中项，说法正确．
故选：C．
【点睛】本题考查比例中项、黄金分割知识，解题关键是掌握黄金分割的定义．
11．D
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可．
【详解】解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴.
∵AB=5，BC=6，EF=4，
∴.
∴DE=.
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
12．B
【分析】分析题意，观察图形可知，BF=BD+DF，BD已知，则只要得到DF的长度即可；已知a∥b∥c，根据平行线分线段成比例可得 ；接下来将已知数据代入计算即可得到DF的长，结合BF=DF+BD便可解答此题
【详解】∵ a∥b∥c，
∴ .
∵ AC=4，CE=6，BD=3，，
∴ DF=4.5.
∵ DF=4.5，BD=3，BF=BD+DF，
∴ BF=7.5.
故选B.
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题关键是掌握平行线分线段成比例，由题意得到得到DF的长度.
13．C
【分析】因为，四边形ABCD是平行四边形，所以，AB∥CD,AD∥BC,由平行线分线段成比例性质定理逐个分析可得答案.
【详解】因为，四边形ABCD是平行四边形，
所以，AB∥CD,AD∥BC,
所以，，，,;
所以，选项C错误.
故选C
【点睛】本题考核知识点：平行线分线段成比例性质定理. 解题关键点：理解平行线分线段成比例性质定理.
14．D
【详解】∵，
∴==，
故选：D
15．/
【分析】根据黄金分割的定义可知：，由此求解即可；
【详解】解：∵为的黄金分割点，
∴
∴（）
故答案为：
【点睛】本题考查了黄金分割的定义；熟记黄金比是解题的关键．
16．/
【分析】作，交AE于K，首先证明BE=DK=CD，CE=AD，设BE=CD=DK=a，AD=EC=b，由，可得，推出，即a2+ab-b2=0，可得（）2+（）-1=0，求出即可解决问题．
【详解】解：作，交AE于K，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=CB=AC，∠ABC=∠C=60°，
∵∠AMD=60°=∠ABM+∠BAM，
∵∠ABM+∠CBD=60°，
∴∠BAE=∠CBD，
∵在△ABE和△BCD中，
∴△ABE≌△BCD，
∴BE=CD，CE=AD，
∵BM=DM，∠DMK=∠BME，∠KDM=∠EBM，
∴△MBE≌△MDK，
∴BE=DK=CD，设BE=CD=DK=a，AD=EC=b，
∵，
∴，
∴，
∴a2+ab-b2=0，
∴（）2+（）-1=0，
∴=或（舍弃），
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、平行线分线段成比例定理、一元二次方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用方程的思想思考问题，本题体现了数形结合的思想．
17．15
【分析】根据比例尺图上距离：实际距离，直接求得这个零件图上长．
【详解】解：根据比例尺图上距离 实际距离，
得这个零件图上长为（毫米），
毫米厘米．
故毫米的零件应画厘米．
故答案为：．
【点睛】此题考查比例线段问题，正确运用比例尺进行计算，注意单位的换算．
18．1.24
【分析】根据黄金比值是列式计算即可．
【详解】解：由题意得，≈，即≈，
解得，a＝﹣1≈1.24（米），
故答案为：1.24．
【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，掌握黄金比值是是解题的关键．
19．
【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是一个无理数，用分数表示为，据此解题．
【详解】∵点是线段的黄金分割点，且，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查黄金分割点，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
20．1:6
【分析】作DH∥BF交AC于H，根据三角形中位线定理得到FH=HC，根据平行线分线段成比例定理得到，计算得到答案．
【详解】解：作DH∥BF交AC于H，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
∴FH=HC，
∵DH∥BF，
∴，
∴AF：FC=1：6，
故答案为：1：6．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系，根据中线为切入点作出辅助线是解题的关键．
21．
【分析】由，即成比例的数的问题中，设出辅助参量表示另外两个量代入求值即可，
【详解】解：因为，设 则
所以．
故答案为：
【点睛】本题考查以成比例的数为条件求分式的值是常规题，掌握辅助参量法是解题关键．
22．9
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可得到答案.
【详解】∵，
∴，即,
解得，EF=6，
∴DF=DE+EF=9.
故答案为9.
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键.
23．(1)；
(2)；
(3)P点的坐标为或．
【分析】（1）先求出得，进而利用待定系数法即可求解；
（2）先求出，，再证，利用相似三角形的性质即可得解；
（3）延长交轴于点，先证，进而得，，再证，利用相似三角形的性质得，从而利用四边形的面积为，即可得，从而即可求解．
【详解】（1）解：抛物线中，令，则，
∴，
∴，
把代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：抛物线中，令，则，
解得或，
∴，，
∴，
当时，，
∴，
∵轴轴，轴，
∴，
∵，
∴，
∴即，
∴，
∵点为抛物线第一象限上一点，
∴，
∴与的函数关系式为；
（3）解：延长交轴于点，
∵轴轴，轴，轴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴即，
∴，
∵四边形的面积为，
∴，即，
解得或，
当时，，点，
当时，，点，
∴点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数，平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质以及二次函数的图像及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
24．a=6；b=4；c=12
【分析】设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求解得到k，然后求解即可．
【详解】设，
则a=3k，b=2k，c=6k，
∵a+2b+c=26，
∴3k+4k+6k=26，
解得：k=2，
∴a=6，b=4，c=12．
【点睛】本题考查了比例的性质，比例线段，利用“设k法”，用k表示出a、b、c可以使计算更加简便．27.2 相似三角形 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）如图，、分别是、上两点，与相交于点，下列条件中不能使和相似的是（ ）
A． B．
C．， D．
2．（2022秋·黑龙江大庆·九年级期末）下列图形中，△ABC与△DEF不一定相似的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022秋·黑龙江绥化·九年级期末）如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED＝∠B，②∠ADE＝∠C，③，④，⑤AC2＝AD AE，使△ADE与△ACB一定相似的有（ ）
A．①②④ B．②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤
4．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图，点F时平行四边形的边上一点，直线交的延长线与点E，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级统考期末）如图，在正方形中，对角线交于点O，E是边的中点，连接，分别交于点P，Q，过点P作交的延长线于点F．下列结论：①；②；③若四边形的面积为4，则正方形的面积为36；④．其中结论正确的序号有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．③④ D．①②④
6．（2022秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期末）如图，在矩形中，对角线相交于点，为的中点，连接交于点，连接，，则下列结论：①；② ③；④，其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2022秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期末）下列说法其中正确的是（ ）
A．有一个角等于30°的两个等腰三角形相似；
B．有一个角等于120°的两个等腰三角形相似；
C．相似三角形一定不是全等三角形；
D．相似三角形对应角平分线的长度比等于面积比．
8．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8米，他在地面上的影长为2.1米，若小芳身高只有1.2m，则她的影长为（ ）
A．1.2m B．1.4m C．1.6m D．1.8m
9．（2022秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期末）如图，小明到操场测量旗杆AB的高度，他手拿一支铅笔MN，边观察边移动（铅笔MN始终与地面垂直）．当小明移动到D点时，眼睛C与铅笔，旗杆的顶端M，A共线，同时眼睛C与它们的底端N，B也恰好共线．此时测得DB＝50m，小明的眼睛C到铅笔的距离为0.6m，铅笔MN的长为0.16m，则旗杆AB的高度为（ ）
A．15m B．m C．m D．14m
10．（2022春·黑龙江大庆·九年级统考期末）在某一时刻，测得一根高为的竹杆的影长为，同时测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期末）如图，要使与相似，则需添加一个适当的条件是 (只添一个即可)．
12．（2022秋·黑龙江绥化·九年级统考期末）如图，在中，点D在AB上，请再添一个适当的条件，使，那么可添加的条件是 ．
13．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）如图，在中，，点D在上（不与点A，C重合），只需添加一个条件即可证明和相似，这个条件可以是 （写出一个即可）．
14．（2022秋·黑龙江佳木斯·九年级统考期末）如图，点，分别在△的，边上．只需添加一个条件即可证明△∽△，这个条件可以是 ．(写出一个即可)
15．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图，，与相交于点E，，，的面积为1，则的面积为 ．
16．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级统考期末）如果两个相似三角形的周长比为，那么这两个三角形的面积比为 ．
17．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）中，，，点、点分别为边、边上的点，连接，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，若与相似，则的长为 ．
18．（2022春·黑龙江大庆·九年级统考期末）如图，菱形中，，点、分别为边、上的点，且，连接、交于点，连接交于点，则下列结论：①≌，②，③，④中，正确的是 ．
19．（2022秋·黑龙江绥化·九年级统考期末）如图，在中，E在DC上，若，则的值为 ．
20．（2022春·黑龙江大庆·九年级统考期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，若，则△BDE与四边形ADEC的面积比是 ．
21．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，其影长为米，落在地面上的影长为米，则树高为 米．
22．（2022秋·黑龙江绥化·九年级统考期末）学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，身高1.7m的小明从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走8m到达点D处，测得影子DE长是2m，则路灯灯泡A离地面的高度AB为 m．
三、解答题
23．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）已知：，于点，于点，．
(1)如图1，求证：．
(2)如图2，连接、、、、，交于点，当，时，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出四个三角形，使写出的每个三角形的面积是面积的4倍．
24．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）综合与实践 已知矩形，，，点E在边上，，连接、.
(1)如图1，图中共有相似三角形______对；
(2)如图2，将沿着平移，使点C与点B重合，得到，并将绕点B顺时针旋转，连接、，当旋转到如图3所示位置时，写出与相似的三角形，无需证明.
(3)如图4，在（2）的条件下，若直线与直线相交于点H，
①与的位置关系为______，请证明你的猜想.
②在旋转过程中，当四边形为矩形时，线段的长为______.
25．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级统考期末）如图，直角三角形在平面直角坐标系中，直角边在y轴上，长分别是一元二次方程的两个根，，且，P为上一点，且．
(1)求点A的坐标；
(2)求直线的解析式；
(3)M为x轴上一点，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（2022春·黑龙江大庆·九年级统考期末）如图，已知菱形，点是上的点，连接，点关于的对称点恰好落在边上，连接、，延长，交延长线于点．
(1)求证：；
(2)连接，若，菱形的边长为．
①求菱形的面积；
②求的长．
27．（2022秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期末）RtΔABC中，∠C=90 ，AC=8，BC=6，矩形CDEF的另三个顶点D、E、F均在RtΔABC的边上，且邻边之比为1：2，画出符合题意的图形，并直接写出矩形周长的值．
28．（2022秋·黑龙江佳木斯·九年级统考期末）已知：如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x，y轴上，且OA，OB的长（OA＞OB）是一元二次方程x2﹣7x＋12＝0的两根．
（1）求点A，B的坐标及线段AB的长；
（2）过点B作BC⊥AB，交x轴于点C，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果P，Q分别是线段AB和AC上的动点，连接PQ，设AP＝CQ＝x，问是否存在这样的x，使得△APQ与△ABC相似？若存在，请直接写出x的值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．C
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【详解】解：A. ∵，，
∴，不合题意，
B. ∵，，
∴，不合题意，
C. ，，不能判定，符合题意，
D. ，即，又，和相似，
∴，不合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，①有两个对应角相等的三角形相似； ②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似； ③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．掌握以上知识是解题的关键．
2．A
【分析】根据相似三角形的判定定理进行解答．
【详解】解：A、当EF与BC不平行时，△ABC与△DEF不一定相似，故本选项符合题意；
B、由∠ABC=∠EFC=90°，∠ACB=∠EDF可以判定△ABC∽△DEF，故本选项不符合题意；
C、由圆周角定理推知∠B=∠F，又由对顶角相等得到∠ACB=∠EDF，可以判定△ABC∽△DEF，故本选项不符合题意；
D、由圆周角定理得到：∠ACB=90°，所以根据∠ACB=∠CDB=90°，∠ABC=∠CBD，可以判定△ABC∽△DEF，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题时，需要熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定定理．
3．A
【详解】①，且，
∴，成立．
②且，
∴，成立．
③，但比一定与相等，故与不一定相似．
④且，
∴，成立．
⑤由，得无法确定出，
故不能证明：与相似．
故选：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理:(1)两角对应相等的两个三角形相似;(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;(3)三边对应成比例的两个三角形相似;(4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.
4．C
【分析】根据平行四边形的性质得到，进而证明，，根据相似三角形的性质即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，，故A、B不符合题意，C符合题意；
∴，
∴，即，故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，证明，是解题的关键．
5．D
【分析】连接、，①利用四点共圆证明即可；②设，求出，即可解决问题；③利用相似三角形的性质计算求得正方形的面积为；④利用相似三角形的性质证明即可．
【详解】解：如图，连接、，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四点共圆，
∴，
∴，
∴，故①正确，
∵E是边的中点，，，
∴，，
设，则，
由勾股定理可得：，，
∴，即，故②正确，
根据对称性可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，故③错误，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，故④正确；
综上，正确的是：①②④；
故选D．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，四点共圆的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，并灵活运用所学知识解决问题．
6．C
【分析】①根据矩形的性质、平行线的性质、同角的余角相等即可解答；②先说明△DAE∽△FDE可得，然后再说明△AEC∽△CEF可得∠FAC=∠ECF，而∠ACF=∠ECF不一定成立，则∠ACF=∠FAC不一定成立，即可说明AF=CF不一定成立；如图，过C作CH垂直于AE交AE的延长线于H，再证△DEF≌△CEH可得DF=CH，然后根据等底等高的三角形面积相等即可判定；④由②得：再结合E为CD的中点即可判断．
【详解】解：①∵矩形中
∴∠ADC=90°，AD//BC
∴∠DAE+∠AED=90°，∠ADB=∠OBC
∵
∴∠DAE+∠ADB=90°，
∴∠DAE+∠OBC=90°，
∴∠AED=∠OBC，即①正确；
②∵∠ADF+∠EDF=90°，∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠EDF=∠DAF
∵，
∴△DAE∽△FDE
∴
又∵DE=EC
∴
∵∠AEC=∠FEC
∴△AEC∽△CEF
∴∠FAC=∠ECF
∵∠ACF=∠ECF不一定成立
∴∠ACF=∠FAC不一定成立
∴AF不一定等于FC，即②错误；
③如图，过C作CH垂直于AE交AE的延长线于H
∴∠DFE=∠CHE=90°，∠DEF=∠CEH
∵DE=CE
∴△DEF≌△CEH
∴DF=CH
∴
∴；
④由②得：，即
∵DE=CD
∴，即，故④正确．
综上，正确的有3个．
故选C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
7．B
【分析】由相似三角形的判定和性质，以及等腰三角形的性质依次判断可求解．
【详解】顶角为30°的等腰三角形与底角为30°的等腰三角形不相似，故A错误；
有一个角等于120°的两个等腰三角形相似，故B正确；
当相似比为1时，相似三角形是全等三角形，故C错误；
相似三角形的面积比等于对应角平分线的长度比的平方，故D错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
8．B
【分析】设小芳的影长为h，再根据同一时刻物高与影长成正比即可求出h的值即可．
【详解】解：设小芳的影长为h米
∵同一时刻物高与影长成正比
∴
解得h＝1.4
故选B．
【点睛】本题考查相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立数学模型来解决问题．
9．C
【分析】利用相似三角形对应边的比等于对应高的比，过作于,交于，先证四边形是矩形，再明，得出，从而求出．
【详解】解：过作于,交于，
根据题意 ，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
，
又，
∴∠CMN=∠A，∠CNM=∠CBA，
，
，
，
．
故选择C．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，矩形的判定与性质，三角形相似判定与性质，掌握相似三角形的应用于测量的方法，矩形的判定与性质，三角形相似判定与性质是解题关键．
10．A
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．
【详解】解：设这栋楼的高度为xm，
∵在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为90m，
∴，
解得：x=54．
故选：A．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
11．（答案不唯一）
【分析】根据相似三角形的判定，即可求解．
【详解】解：根据题意得：∠A=∠A，
添加，可利用AA证得与相似，
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了相似三角形判定，熟练掌握相似三角形判定定理是解题的关键．
12． （答案不唯一，也可以增加条件：或）．
【分析】题目中相似的两个三角形已经有一个公共角，可以再增加一对相等的角，用两组角相等判定两三角形相似，也可以增加两组对应边成比例，利用两组边对应成比例及夹角相等判定两三角形相似．
【详解】若增加条件：∠ACD=∠ABC，
∵∠ACD=∠ABC，且∠A=∠A，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，比较简单，熟练掌握相似三角形的三种判定方法是解题的关键．
13．∠A=∠CBD或∠ABC=∠BDC或或BC2=AC·DC（答案不唯一）
【分析】相似三角形的判定定理：①两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；②两角对应相等的两个三角形相似．据此解答即可．
【详解】解：∵∠C=∠C
∴添加∠A=∠CBD或∠ABC=∠BDC或或BC2=AC·DC．
故答案为：∠A=∠CBD或∠ABC=∠BDC或或BC2=AC·DC（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了补充条件使两个三角形相似．解题的关键是熟知相似三角形的判定定理，特别注意用对应边成比例和一个角相等判定三角形相似的时候，其中相等的角一定要是这两条边的夹角．
14．∠ADE=∠C或∠AED=∠B或
【分析】由已知得到∠A是公共角，只需添加另一组角相等过夹角A的两条边成比例即可．
【详解】∵∠A=∠A，
∴当∠ADE=∠C或∠AED=∠B时，∽△；
当时，∽△；
故答案为：∠ADE=∠C或∠AED=∠B或．
【点睛】此题考查相似三角形的判定定理，熟记定理是解题的关键．
15．4
【分析】证，利用相似三角形的性质即可得解．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，的面积为1，
∴的面积为，
故答案为；4．
【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质以及平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
16．
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方解答即可．
【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为，
∴两个相似三角形的相似比为，
∴这两个三角形的面积比为，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟知相似三角形的性质是解答的关键．
17．或
【分析】根据折叠的性质，得出，再根据线段之间的数量关系，得出，然后分两种情况：和，再根据相似三角形的性质，计算即可得出答案．
【详解】解：如图，将沿直线折叠得到，则，
∵，
∴，
①若，
∴，
即，
解得：；
②若，
∴，
即，
解得：，
综上可得：的长为或．
故答案为：或
【点睛】本题考查了折叠的性质、相似三角形的性质，解本题的关键在分两种情况进行讨论．
18．①②③④
【分析】由菱形ABCD中，AB=AC，易证得△ABC是等边三角形，则可得∠B=∠EAC=60°，由SAS即可证得△ABF≌△CAE；则可得∠BAF=∠ACE，利用三角形外角的性质，即可求得∠AHC=120°；在HD上截取HK=AH，连接AK，易得点A，H，C，D四点共圆，则可证得△AHK是等边三角形，然后由AAS即可证得△AKD≌△AHC，则可证得AH+CH=DH；易证得△OAD∽△AHD，由相似三角形的对应边成比例，即可得AD2=OD DH．
【详解】解：①∵四边形是菱形，
，
，
，
即是等边三角形，
同理：是等边三角形
，
在和中，
，
≌；
故①正确；
②由①得，
，
；
故②正确；
③在上截取，连接，
，
点，，，四点共圆，
，，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
；
故③正确；
④∵，，
∽，
：：，
．
故④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
19．
【分析】根据平行四边形的性质得到ABCD，AB=CD，证得△ABF∽△CEF，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD，AB=CD，
∴△ABF∽△CEF，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定及性质，熟记相似三角形的判定及性质定理是解题的关键．
20．
【分析】证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，解题的关键是证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解．
21．
【分析】设从墙壁的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米，根据竹竿的长度：竹竿影长=树的高度：树的影长，列出比例式求出垂足到树的顶端的高度，再加上墙上的影高就是树高．
【详解】解：设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米，根据题意，
得，
解得，
∴树高为（米），
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟知在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
22．8.5
【分析】根据题意得，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解，根据题意得，
∴
∴
∴
故答案为：8.5
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出BE的长是解题关键．
23．(1)见解析
(2)，，，的每个三角形的面积是面积的4倍
【分析】（1）利用“”证明，由全等三角形的性质可证明；
（2）分别推导，，利用相似三角形的性质可推导，由三角形面积公式即可证明，的面积是面积的4倍；证明，即可证明和的面积是面积的4倍．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴
又∵，
∴，
∴；
（2），，，的每个三角形的面积是面积的4倍，
理由如下：
∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即有，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即有，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
由（1）可知，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
综上所述，，，，的每个三角形的面积是面积的4倍．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、求三角形面积等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
24．(1)3
(2)；
(3)①②或
【分析】（1）根据矩形的性质及勾股定理与逆定理得出，再由相似三角形的判定证明即可；
（2）根据旋转的性质得出，再由对应边成比例，利用相似三角形的判定证明即可；
（3）①设与交于点O，根据（2）的结论得出，再由相似三角形的判定和性质即可证明；
②作出相应的图形，然后利用勾股定理及矩形的性质求解即可．
【详解】（1）解：有三对相似的三角形，分别为：，，，
证明：如下：
∵矩形，，,，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
同理可证：，；
故答案为：3；
（2）∵将沿着平移，使点C与点B重合，得到，
∴，，
∵将绕点B顺时针旋转，
∴，即，
∴，
∵，
∴；
（3）①设与交于点O，
由（2）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
②当旋转到如图所示位置时，四边形为矩形，
∵，，
∴，
∴；
当旋转到如图所示位置时，满足题意，四边形为矩形，
∵，，
∴，
∴，
综上可得：线段的长为或．
【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，矩形的性质，平移与旋转的性质，理解题意，作出相应图形，综合运用这些知识点是解题关键．
25．(1)
(2)直线的解析式为
(3)存在，点N的坐标为或或或．
【分析】（1）解方程求得，．由坐标与图形的性质即可求解；
（2）证明，求得，可得，利用待定系数法即可求得直线的解析式；
（3）分当是矩形的对角线、是矩形的对角线、是矩形的对角线时，三种情况讨论，利用图象的平移、中点公式和矩形对角线相等，即可求解．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，．
∵，，
∴，，．
∴；
（2）解：∵，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
设直线的解析式为．
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
（3）解：由（1）得，，
∴，
当是矩形的对角线时，对称中心为，即，
由矩形的性质得，且点M、N都在x轴上，
∴点N的坐标为或；
当是矩形的对角线时，设点M的坐标为，
由题意得，即，
解得，即点M的坐标为，
，
∴由平移的性质得点N的坐标为；
当是矩形的对角线时，设点M的坐标为，
由题意得，即，
解得，即点M的坐标为，
，
∴由平移的性质得点N的坐标为；
∴点N的坐标为或或或．
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、坐标与图形的性质、矩形的性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
26．(1)证明见详解；
(2)①；②
【分析】（1）根据菱形的性质，找到“两个角相等的三角形相似”即可求出答案；
（2）①根据菱形面积等于对角乘积的一半，即可求出答案；②根据菱形的边长，面积，直角三角形的勾股定理先求出的边的长，利用三角形相似，对应边成比例，可求出的，由此可求出答案．
【详解】（1）证明：如图所示，菱形，点与点关于对称，
∴，，
∴，
又∵，
∴
∴
（2）解：①如图所示，对角线，，连接对角线，与交于点，
∴在中，，
∴，则，
∴菱形的面积是，
故菱形的面积是；
②如图所示，点与点关于对称，过点作于，且菱形的面积，，
∴，即等腰三角形，且，
∴，，
在中，，
∴，
又∵，
∴，即，
∴，且,
∴，
故的长是．
【点睛】本题主要考查菱形的性质的综合运用．理解和掌握菱形的性质，对称的性质，三角形相似的判断及性质知识是解题的关键．
27．画图见解析，矩形周长的值为或
【分析】分两种情况讨论，只要证得△AEF∽△ACB，可得，可求EF，CF的长，即可求解．
【详解】解：如图1，当CF＝2EF时，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∵四边形CDEF是矩形，
∴EF∥BC，EF＝CD，CF＝DE，
∴△AEF∽△ACB，
∴，
∴ ，解得，
∴，
∴矩形CDEF的周长＝2(CF＋EF)＝；
如图2，当EF＝2CF时，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∵四边形CDEF是矩形，
∴EF∥BC，EF＝CD，CF＝DE，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∴ ，解得，
∴，
∴矩形CDEF的周长＝2(CF＋EF)＝；
综上所述：矩形CDEF的周长的值为或
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
28．（1）A（-4，0）；B（0，3）；AB=5；（2）；（3）存在，或
【分析】（1）解一元二次方程即可得OA、OB的长，再根据点A、B在坐标轴上的位置即可求得A、B两点的坐标，由勾股定理即可求得线段AB的长；
（2）利用相似三角形的判定与性质可求得OC的长，从而可求得点C的坐标；
（3）分两种情况考虑：△APQ∽△ABC；△APQ∽△ACB，然后由相似三角形的性质即可求得x的值．
【详解】（1）解x2﹣7x＋12＝0得：,
∵OA>OB
∴ OA=4，OB=3
∵点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上
∴A（-4，0），B（0，3）
由勾股定理得
（2）∵BC⊥AB，OB⊥AC
∴∠BOA=∠COB=∠ABC=90゜
∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠CBO
∴∠BAO=∠CBO
∴△ABO∽△BCO
∴
即
∵点C在x轴正半轴上
∴
（3）存在
∵，
①若△APQ∽△ABC
则有，即AP×AC=AB×AQ
∴
解得：
②若△APQ∽△ACB
，即AP×AB=AC×AQ
∴
解得：
综上所述，满足条件的x的值为或
【点睛】本题考查了解一元二次方程，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用了分类讨论思想，关键是相似三角形的判定与性质的运用，注意分类讨论．27.3 位似 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）如图，以点为位似中心，把放大2倍得到．下列说法错误的是( )
A． B．
C． D．直线经过点
2．（2022秋·黑龙江大鸡西·九年级期末）如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（ ）
A． B．点C、点O、点C′三点在同一直线上
C． D．
3．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)、B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（ ）
A．(3，3) B．(4，3) C．(3，1) D．(4，1)
4．（2022秋·黑龙江绥化·九年级统考期末）如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ ）
A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)
二、填空题
5．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，将以原点为位似中心放大后得到，若，，，则的坐标为 ．
6．（2022秋·黑龙江绥化·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，将各点的横坐标、纵坐标都乘以一个相同的数得到，若，，，则点E的坐标为 ．
7．（2022秋·黑龙江绥化·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，若，，则△OAB与△OCD的面积比为 ．
8．（2022秋·黑龙江双鸭山·九年级期末）如图，线段两个点的坐标分别为，，以原点为位似中心，将线段缩小得到线段，若点的坐标为，则点的坐标为 ．
9．（2022秋·黑龙江绥化·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知点E（-4，2），F（-2，-2），以原点O为位似中心，相似比为2，把△EFO放大，则点E的对应点E′的坐标是 ．
三、解答题
10．（2022秋·黑龙江哈尔滨·六年级统考期末）网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点．平行四边形和三角形的顶点都在格点上．
(1)在网格中按画出网格中平行四边形放大后的图形①：
(2)在网格中按画出网格中三角形缩小后的图形②：
(3)请直接写出图形①的面积与图形②的面积的比值为______．
11．（2022秋·黑龙江绥化·九年级期末）如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣1，1），请按如下要求画图：
(1)以坐标原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到，请画出；
(2)以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出△ABC的位似图形，使它与△ABC的位似比为2：1．
12．（2022秋·黑龙江大庆·九年级期末）如图，在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，正方形网格中，每个小正方形的边长为．
(1)以点为位似中心，在第三象限画出，使与位似，且位似比为：；
(2)画出将线段绕点顺时针旋转所得的线段，并求出点旋转到点所经过的路径长．
13．（2022秋·黑龙江七台河·九年级期末）如图，在直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．
(1)请画出与关于x轴对称的．
(2)以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，请在y轴的右侧画出．
(3)在y轴上存在点P，使得的面积为6，请直接写出满足条件的点P的坐标．
14．（2022秋·黑龙江黑河·九年级期末）如图，△ABC的顶点都在网格点上，点M的坐标为（0，1）．
(1)以点M为位似中心，把△ABC按2：1放大，在y轴的左侧，画出放大后的△DEF；
(2)点A的对应点D的坐标是 ；
(3)S△ABM：S四边形ABED= ．
15．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级统考期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点在格点（网格线的交点）上，以点为原点建立平面直角坐标系，点的坐标为（1，0）．
（1）将向左平移5个单位长度，得到，画出；
（2）以点为位似中心，将放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到，在所给的方格纸中画出；
（3）若点是的中点，经过（1）、（2）两次变换，的对应点的坐标是______．
16．（2022秋·黑龙江绥化·九年级统考期末）如图，已知△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)、B(3，4)、C(2，2)（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是 ．
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2∶1．
17．（2022秋·黑龙江绥化·九年级统考期末）如图，在网格图中，每格是边长为1的正方形，四边形的顶点均为格点．
（1）请以点O为位似中心，在网格中作出四边形，使四边形与四边形位似，且．
（2）线段的长为______．
（3）求出的面积．
参考答案：
1．B
【分析】根据位似变换的概念和性质判断即可．
【详解】解：∵以点为位似中心，把放大2倍得到，
∴，，直线经过点，，
∴，
∴A、C、D选项说法正确，不符合题意；B选项说法错误，符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质．掌握位似三角形的性质是解题的关键．
2．C
【分析】直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．
【详解】∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，
∴，点C、点O、点C′三点在同一直线上，，
，
∴C选项错误，符合题意．
故选C．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键．
3．A
【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．
【详解】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，
∴端点C的坐标为：（3，3）．
故选A．
4．A
【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是，根据已知数据可以求出点C的坐标．
【详解】由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是，
∴，
又∵点A(6，3)、B(6，0)．
∴OB=6，AB=3，
∴OD=2，CD=1，
∴点C的坐标为：（2，1），
故选A．
【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．
5．
【分析】根据题意求出与的位似比，再根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：∵将以原点O为位似中心放大后得到，，，
∴与的位似比为，
∵点B的坐标为，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是位似变换，求出与的位似比是解题的关键．
6．
【分析】根据，，可知各点的横坐标、纵坐标都乘以，通过计算可求点E的坐标．
【详解】解：∵，，，
∴各点的横坐标、纵坐标都乘以，得到，
∵B点坐标为，
∴点E的坐标为，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了点的坐标变化规律，解题关键是读懂题意，求出各点的横坐标、纵坐标都乘以的数．
7．1：9
【分析】根据信息，找到OB与OD的比值即为相似比，然后由两个相似三角形的面积比等于相似比的平方求得答案．
【详解】解答：解：∵B（0，1），D（0，3），
∴OB＝1，OD＝3，
∵△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，
∴△OAB与△OCD的相似比是OB：OD＝1：3，
∴△OAB与△OCD的面积的比是1：9．
故答案是：1：9．
【点睛】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，解题的关键在于找到相似比就是对应边的比．
8．
【分析】利用点B和点D的坐标之间的关系得到线段AB缩小2.5倍得到线段CD，然后确定C点坐标．
【详解】解：∵将线段AB缩小得到线段CD，点B（5，0）的对应点D的坐标为（2.0），
∴线段AB缩小2.5倍得到线段CD，
∴点C的坐标为（1，2）．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
9．（-8，4）或（8，-4）
【分析】由在平面直角坐标系中，已知点E（-4，2），F（-2，-2），以原点O为位似中心，相似比为2，把△EFO放大，根据位似图形的性质，即可求得点E的对应点E′的坐标．
【详解】∵点E（-4，2），以原点O为位似中心，相似比为2，把△EFO放大，
∴点E的对应点E′的坐标是：（-8，4）或（8，-4）．
故答案为（-8，4）或（8，-4）．
【点睛】此题考查了位似图形的性质．此题比较简单，注意位似图形有两个．
10．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）原平行四边形底为2高为2，根据比例得到底为4高为4的四边形，即可得到答案；
（2）根据原三角形底为9高为6的三角形，根据比例得到底为3高为2的三角形，即可得到答案；
（3）根据（1）（2）计算出面积进行比较即可得到答案；
【详解】（1）解：由图像可得，原平行四边形底为2高为2，
∵按照比例画图，
∴新四边形是底为4高为4的四边形，如图所示，
；
（2）解：根据图形可得，原三角形底为9高为6的三角形，
∵按照比例画图，
∴新图形是底为3高为2的三角形，如图所示，
（3）解：由（1）（2）可得，
，，
．
【点睛】本题考查图形的放大与缩小，解题的关键是正确理解比例判断放大与缩小．
11．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点的位置，画出图形即可；
（2）直接利用位似图形的性质得出对应点的位置，画出图形即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
；
（2）解：如图，即为所求．
【点睛】本题考查了位似变换与旋转变换，正确得出对应点的位置是解题的关键．
12．(1)见解析
(2)
【分析】（1）把A、B、C点的横纵坐标都乘以得到的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点B的对应点，从而得到，然后利用弧长公式计算点B旋转到点所经过的路径长．
【详解】（1）解：∵在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，
与位似，且位似比为：；
∴,
如图所示，即为所求，
（2）如图，即为所求，
∵，
∴点旋转到点所经过的路径长为
【点睛】本题考查了求弧长，旋转的性质，位似变换作图，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，掌握以上知识是解题的关键
13．(1)图见解析
(2)图见解析
(3)P（0，4）或（0，-4）
【分析】（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点坐标进而得出答案；
（2）直接利用关于位似图形的性质得出对应点坐标进而得出答案；
（3）直接利用三角形面积公式求出OP的长，故可得出答案．
【详解】（1）如图，为所求；
（2）如图，为所求；
（3）如图，∵y轴上存在点P，使得的面积为6，
∴
∴
解得
∴P（0，4）或（0，-4）．
【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．
14．(1)画图见解析
(2)（-2，5）
(3)1:3．
【分析】（1）根据位似变换的定义找到三个顶点的对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）根据图形即可得出答案；
（2）根据三角形的面积公式计算即可得出答案．
【详解】（1）解：如图所示，△DEF即为所求．
；
（2）解：观察图形，点A的对应点D的坐标是（-2，5）；
（3）解：∵S△ABM=，S四边形ABED= S△ABM=6
∴S△ABM：S四边形ABED=2:6=1:3．
【点睛】本题主要考查作图—位似变换，解题的关键是掌握位似变换的定义与性质．
15．（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）根据位似变换的性质分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可．
（3）根据点M2的位置，写出坐标即可．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1；即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
（3）若点M是AB的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点M2的坐标为（6，-2），
故答案为：（6，-2）．
【点睛】本题考查作图-位似变换，平移变换等知识，解题的关键是正确寻找图形，属于中考常考题型．
16．（1）见解析，(2，－2)；（2）见解析
【分析】（1）分别作出点A、B、C向下平移4个单位后的点A1、B1、C1，顺次连接即可得到图形，看图找出所求点坐标即可；
（2）延长BA至A2，使A2B=2BA，延长BC至C2，使C2B=2BC，B2与B重合，顺次连接A2、B2、C2，即可得到△A2B2C2．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
点C1的坐标是(2，－2) ．
故答案是: (2，－2) ．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
【点睛】此题考查了作图-位似变换与平移变换，熟练掌握位似变换与平移变换的性质是解本题的关键．
17．（1）画图见解析；（2）；（3）10．
【分析】（1）依据点O为位似中心，以及，即可得到四边形A'B'C'D'；
（2）依据勾股定理进行计算，即可得到线段C'D'的长；
（3）利用勾股定理的逆定理证得为等腰直角三角形，即可得到的面积．
【详解】（1）如图所示，四边形A'B'C'D'即为所求：
（2）．
（3），
，
，
∴，．
∴为等腰直角三角形，
∴．
即的面积为10．
【点睛】本题主要考查了利用位似变换作图，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质．
