28.1 锐角三角函数 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·黑龙江大庆·九年级统考期末）已知中，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·黑龙江绥化·九年级统考期末）的值等于（ ）
A． B． C． D．1
3．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）的倒数是（ ）
A． B． C．2 D．
4．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）如图，A，B，C，三点在正方形网格线的交点处，若将 绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·黑龙江绥化·九年级统考期末）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠CDB＝30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则sinE的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝3，则BC的长为（ ）
A．3sin35° B． C．3cos35° D．3tan35°
7．（2022秋·黑龙江大庆·九年级统考期末）如图，⊙O是ΔABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC=2，则sinB的值是
A． B． C． D．
8．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级鸡西市第一中学校期末）如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为( )
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）若，则 ．
10．（2022秋·黑龙江绥化·九年级统考期末）如图，在2×6的网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，网格中小正方形的顶点叫格点，点A，B，C在格点上，连接AB，BC，则 ．
11．（2022秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期末）在△ABC中，∠A，∠C都是锐角，cosA＝，sinC＝，则∠B＝ ．
12．（2022秋·黑龙江绥化·九年级统考期末）若点在反比例函数的图象上，则的值为 ．
13．（2022秋·黑龙江七台河·九年级统考期末）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则图中阴影部分面积为 ．
14．（2022秋·黑龙江大庆·九年级统考期末）计算： ．
三、解答题
15．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）化简，再求值：，其中．
16．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限内，点在x轴上，连接、，，，反比例函数的图象经过A点．
(1)求k的值；
(2)以为直角边作等腰直角，过点C作轴交反比例函数的图象于点E，求E点坐标．
17．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）如图，在中，，点是边上一点，以为直径的与交于点，连接并延长交的延长线于点，且．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的半径的长．
18．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）（1）计算：
（2）解方程：
19．（2022秋·黑龙江绥化·九年级期末）如图，△ABC内接于⊙O，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，∠DCB＝∠OAC．过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半径及tan∠OCB的值．
20．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图1，抛物线交轴于、两点（左右），交轴于，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，P为第一象限抛物线上一点，连接PA交y轴于点D，设点P的横坐标为m，△PCD的面积为S，求S与m的函数关系式；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接BC交PA于点E，过点O作//，交BC于点F，若PE＝PF，求点P的坐标．
21．（2022秋·黑龙江绥化·九年级统考期末）已知，，，．求∠A的余弦值和正切值
22．（2022秋·黑龙江大庆·九年级期末）计算：
23．（2022秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，经过点A的直线（不与BD垂直）与对角线BD所在直线交于点E，过点B，D分别作直线BD的垂线交直线AE于点F，H．
（1）当点E在如图①位置时，求证：BF﹣DH＝BD；（提示：延长DA交BF于G）
（2）当点E在图②、图③的位置时，直接写出线段BF，DH，BD之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）、（2）的条件下，若DH＝1，BD＝4，则tan∠DHE＝ ．
24．（2022秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期末）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝2tan60°．
25．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级期末）化简求值：，其中a，b满足
26．（2022秋·黑龙江绥化·九年级统考期末）如图，内接于是的直径的延长线上一点，．过圆心作的平行线交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径及的值；
27．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）先化简，再求值：÷（x+2﹣），其中x＝2cos45°﹣tan60°．
参考答案：
1．B
【分析】根据锐角三角函数的定义求解即可．
【详解】解：∵Rt△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，
∴sinB=．
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定定理及锐角三角函数的定义，由勾股定理得到直角三角形是解题关键．
2．B
【分析】利用特殊角锐角三角函数值，即可求解．
【详解】解：．
故选：B
【点睛】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键．
3．C
【分析】根据cos60°＝进行结合倒数回答即可．
【详解】解：由特殊角的三角函数值可知，cos60°＝，
的倒数是，
故：的倒数是2．
故选C．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值和倒数，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答此类问题的关键.
4．B
【分析】过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．
【详解】过C点作，垂足为D
则根据旋转性质可知，
在中，
所以
故选B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．
5．B
【分析】首先连接OC，由CE是切线，可得，由圆周角定理，可得，继而求得的度数，则可求得的值．
【详解】解：连接OC，
是切线，
，
即，
，、分别是所对的圆心角、圆周角,
，
，
．
故选：B.
【点睛】此题考查了切线的性质、圆周角定理以及特殊角的三角函数值．根据切线的性质连半径是解题的关键．
6．C
【分析】根据余弦定义求解即可．
【详解】解：如图，∵∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝3，cos35°＝，∴BC＝3cos35°．
故选：C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数，属于基础题型，熟练掌握余弦的定义是解此题的关键．
7．D
【详解】如图，连接DC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∵⊙O的半径为，
∴AD=3，
∴sin∠ADC=，
又∵∠B=∠ADC，
∴sinB=.
故选D.
8．C
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，
由题意得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，
∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°
∴∠DCF=∠AFE
∴在Rt△DCF中，CF=5，CD=4
∴DF=3
∴tan∠AFE=tan∠DCF=
故选：C.
【点睛】考点：1.翻折变换；2.矩形的性质；3.锐角三角函数的定义.
9．/30度
【分析】由，，可得，即可解得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】此题考查了特殊角的锐角三角函数，熟知是解题的关键．
10．
【分析】连接格点E与A，求出∠FAB=∠EAH=45°，，得到∠BAE=90°，根据公式求出结果．
【详解】解：如图，连接格点E与A，
∵AF=BF=2，AH=EH=1，∠AFB=∠AHE=90°，
∴∠FAB=∠EAH=45°，，
∴∠BAE=90°，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了求角的正切值，求网格中线段的长度，正确引出辅助线得到直角三角形是解题的关键．
11．60°/60度
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值先求解再利用三角形的内角和定理可得答案.
【详解】解： ∠A，∠C都是锐角，cosA＝，sinC＝，
故答案为：
【点睛】本题考查的是已知锐角三角函数值求解锐角的大小，掌握“特殊角的锐角三角函数值”是解本题的关键.
12．
【分析】由点P在反比例函数曲线上可知，，故P点坐标为（12，5），故OH=12，PH=5，有勾股定理可求得OP=13，则=．
【详解】∵点P在反比例函数的图象上
∴
故P点坐标为（12，5）
故OH=12，PH=5
在中满足勾股定理
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数及其性质以及求角的余弦值，由反比例函数性质求得P点坐标，进而求得OH，PH的长度是解题的关键．
13．
【分析】设B′C′与CD的交点为E，连接AE，利用“HL”证明Rt△AB′E和Rt△ADE全等，根据全等三角形对应角相等∠DAE=∠B′AE，再根据旋转角求出∠DAB′=60°，然后求出∠DAE=30°，再解直角三角形求出DE，然后根据阴影部分的面积=正方形ABCD的面积-四边形ADEB′的面积，列式计算即可得解．
【详解】解：如图，设与的交点为，连接，
在和中，
，
，
，
∵旋转角为30°，
，
，
，
∴阴影部分的面积=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形，利用全等三角形求出∠DAE=∠B′AE，从而求出∠DAE=30°是解题的关键，也是本题的难点．
14．2
【分析】将特殊角三角函数值代入，并化简零指数幂，然后进行计算．
【详解】解：
故答案为：2．
【点睛】本题考查特殊角三角函数值的运算，熟记特殊角三角函数值正确计算是解题关键．
15．，
【分析】先将分式的分子、分母因式分解，再进行约分，然后进行分式的加减运算，再代值计算．
【详解】解：
，
当时，
原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值．解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．
16．(1)
(2)
【分析】（1）过点A作于H点，根据等腰三角形三线合一的性质求出，利用三角函数求出，再根据勾股定理求出，得到点A的坐标，即可求出k；
（2）过点A作轴，延长交于点G，得到，求出，证明，得到，求出，将代入函数解析式即可得到点E的坐标．
【详解】（1）解：过点A作于H点，
∵点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过A点．
∴；
（2）解：过点A作轴，延长交于点G，
则，
∴四边形是矩形，
∴，
∵等腰直角中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴．
【点睛】此题考查了锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，反比例函数的性质，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，证明，根据，即可证明，即为的切线；
（2）连接，，证明，根据相似三角形的性质得出，进而即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为半径，
∴为的切线；
（2）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的半径．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，已知正切求边长，综合运用以上知识是解题的关键．
18．（1）；（2），
【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入，然后去绝对值符号并进行计算即可；
（2）将方程变形为一般形式，然后用因式分解法求解方程即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）
或
，．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值有关计算，因式分解法解一元二次方程；熟记特殊角三角函数值，正确求解一元二次方程是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)3；2
【分析】（1）由等腰三角形的性质与已知条件得出，∠OCA=∠DCB，由圆周角定理可得∠ACB=90°，进而得到∠OCD=90°，即可得出结论；（2）根据平行线分线段成比例定理得到，设BD=2x,则OB=OC=3x,OD=OB+BD=5x,在Rt△OCD中，根据勾股定理求出x=1，即⊙O的半径为3，由平行线的性质得到∠OCB=∠EOC，在Rt△OCE中，可求得tan∠EOC=2，即tan∠OCB=2．
【详解】（1）证明：∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠DCB＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠DCB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OCA+∠OCB＝90°，
∴∠DCB+∠OCB＝90°，
即∠OCD＝90°，
∴OC⊥DC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵OEBC，
∴，
∵CD＝4，CE＝6，
∴，
设BD＝2x，则OB＝OC＝3x，OD＝OB+BD＝5x，
∵OC⊥DC，
∴△OCD是直角三角形，
在Rt△OCD中，，
∴，解得，x＝1，
∴OC＝3x＝3，即⊙O的半径为3 ，
∵BCOE，
∴∠OCB＝∠EOC，
在Rt△OCE中，tan∠EOC＝＝＝2，
∴tan∠OCB＝tan∠EOC＝2．
【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、三角函数、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握切线的判定与平行线分线段成比例定理是解题的关键．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）令a（x+2）（x-5）=0，解得x=-2或x=5，得到A（-2，0），B（5，0），即OA=2，OB=5，再根据5OA=2OC，解得a=-，从而得出抛物线的解析式；
（2）点的横坐标为，则，过点作轴，垂足为，根据求得，根据即可求解；
（3）设PH交BC于点G，连接GD交OF点N，先推出四边形OHGD为矩形，再证明四边形AOND为平行四边形，从而DN=OA=2，设∠APF=2α，∠PEF=∠PFE=90°-α，再证明△PGF≌△NGF，求得，根据建立方程，求得的值，进而即可求解．
【详解】（1）在中，
当时，，
∴，
∴，
此时，
∵，
∴，
∴或，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为：；
（2）∵点的横坐标为，则．
如图，过点作轴，垂足为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）∵，∴，
如图，设交于点，连接交点，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍），
∴．
【点睛】本题考查二次函数综合题、待定系数法、全等三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会用方程的思想思考问题．
21．cosA， tanA；
【分析】根据勾股定理求出AB，根据锐角三角函数的定义解答即可．
【详解】解：∵，，，
∴AB，
则cosA，tanA．
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦、锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦、锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切．
22．7
【分析】根据，立方根的求法，特殊三角函数的值，积的乘方，计算即可得答案．
【详解】解：
=
=1-2+6-（-2）
=7
【点睛】本题考查了二次根式、零指数幂、特殊三角函数的值、积的乘方的相关计算，做题的关键是掌握相关法则，特别积的乘方的逆运算，认真计算．
23．（1）见解析；（2）或；（3）或
【分析】（1）延长DA交BF于G，先证明△ABG是等边三角形，得到AG=AB=AD，然后证明△AGF≌△ADH得到DH=GF，再求出即可得到答案；
（2）如图②所示，延长BA交DH于G，同理可证△ABF≌△AGH，，得到，则；延长DA交BF延长线于G，同理可证，AG=AD，然后证明△GAF≌△DAH，得到，则；
（3）如图①所示，先根据结论求出，然后证明△FBE∽△HDE，得到，即，则，；然后对于图②和图③利用类似的方法求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，延长DA交BF于G，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴∠ADC=∠ABC=60°，AD=AB，
∴，
∵BF⊥BD，DH⊥BD，
∴∠FBD=∠HDB=90°，
∴∠BGD=60°，∠ADH=120°，DG=2BG，
∴∠FGA=120°，
∵∠BAG=∠ABD+∠ADB=60°，
∴△ABG是等边三角形，
∴AG=AB=AD，
在△AGF和△ADH中，
，
∴△AGF≌△ADH（ASA），
∴DH=GF，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）如图②所示，延长BA交DH于G，
同理可证△ABF≌△AGH，，
∴，
∴；
如图③所示，延长DA交BF延长线于G，
同理可证，AG=AD，
∵BF⊥BD，DH⊥BD，
∴BG∥DH，
∴∠FGA=∠HAD，
又∵∠GAF=∠DAH，AG=AD，
∴△GAF≌△DAH（AAS），
∴，
∴；
（3）如图①所示，
∵，，，
∴，
∵BF⊥BD，DH⊥BD，
∴BF//DH，
∴△FBE∽△HDE，
∴，即，
∴，
∴；
如图②所示，∵，，，
∴此时不符合题意；
如图③所示，
同理可得，△EHD∽△EFB，
∴，即，
∴，
∴；
故答案为：或
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，求正切值，等边三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够准确作出辅助线构造全等三角形．
24．，
【分析】根据分式的运算法则化简，利用特殊角的三角函数值求出x代入即可求解．
【详解】÷（1﹣）
=
=
=
∵x＝2tan60°=2×=6
∴原式=．
【点睛】此题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟知分式的运算法则及特殊角的三角函数值．
25．，2
【分析】先化简分式，在根据特殊角的三角函数值以及绝对值和算术平方根的非负性求得的值，代入化简结果计算即可
【详解】解：
，
原式
【点睛】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值以及绝对值和算术平方根的非负性，掌握以上知识是解题的关键．
26．（1）见解析；（2）半径为3，
【分析】（1）证明是的半径，即证明，结合直径所对圆周角是、等腰△OAC和已知即可求解；
（2）由（1）中结论和可知，，再由CD、CE和平行线分线段成比例，即可找到BD、OB、BC、OE的关系，最后利用三边的勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：如图，
，
，
，
是的直径，
，
，
，即，
，
又是的半径，
是的切线．
（2）
，即，
∴设，则，
，解得，，
．即的半径为3，
，
在中，，
．
【点睛】本题考查圆切线的证明、平行线分线段成比例、勾股定理和锐角三角函数，属于中档几何综合题，解题的关键在于直径所对圆周角是直角和方程思想．
27．化简得；求值得．
【分析】先化简分式，再求出x的值代入进行计算即可．
【详解】解：原式＝÷
＝
＝，
∵x＝2cos45°﹣tan60°，
∴x＝2×﹣，
当时，原式＝＝．
【点睛】本题是对分式化简求值的考查，熟练掌握分式的化简求值和特殊的三角函数值是解决本题的关键.28.2 解直角三角形及其应用 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·黑龙江绥化·九年级期末）正三角形的边长为，那么该正三角形的内切圆半径为（ ）
A．2 B．1 C． D．3
2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级期末）如图，某人沿坡角为的山坡前进了100米，那么他此时与地面的垂直距离BC为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期末）如图，延长等腰斜边到，使，连接，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
4．（2022秋·黑龙江大庆·九年级期末）在Rt△ABC中，有下列情况，则直角三角形可解的是（ ）
A．已知BC＝6，∠C＝90°
B．已知∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝5
C．已知∠C＝90°，∠A＝∠B
D．已知∠C＝∠B＝45°
5．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转，使点B落在点的位置，连接B，过点D作DE⊥，交的延长线于点E，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·黑龙江绥化·九年级统考期末）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
7．（2022秋·黑龙江大庆·九年级统考期末）如图，小明利用一个锐角是的三角板测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离为，为（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期末）在中，，则边长为（ ）
A．7 B．8 C．7或17 D．8或17
9．（2022秋·黑龙江鹤岗·九年级统考期末）已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是（ ）．
A． B． C． D．
10．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与x轴夹角为30°，将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线（k≠0）上，则k的值为（ ）
A．4 B．﹣2 C． D．
二、填空题
11．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图，在矩形中，点E在边上，点F在边上，且，连接交对角线于点O，，，连接，若，则长为 ．
12．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使…按此规律进行下去，则点的坐标为 ．
13．（2022秋·黑龙江绥化·九年级统考期末）等腰三角形的一个角是，腰长为，则它的底角的正切值为 ．
14．（2022秋·黑龙江七台河·九年级统考期末）如图,是半圆的直径，弦与成30 的角，，若，则的长是 ．
15．（2022秋·黑龙江大庆·九年级期末）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算tan15°时，如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，连接AD，得∠D＝15°，＝＝＝2﹣．类比这种方法得tan22.5°= ．
16．（2022秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点O是AC的中点，AC与BE交于点F，AG⊥BE，CH⊥BE，垂足分别为G，H，连接OH，OG，CG．下列结论：①CH﹣AG＝HG；②AG＝HG；③BH＝OG；④AF∶OF∶OC＝2∶1∶3；⑤5S△AFG＝S△GHC；⑥OG AC＝BH CD．其中结论正确的序号是 ．
17．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）矩形纸片，长，宽，折叠纸片，使折痕经过点，交边于点，点落在点处，展平后得到折痕，同时得到线段，，不再添加其它线段，当图中存在角时，的长为 厘米．
三、解答题
18．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）已知：四边形内接于，为的直径，为中点，连接、．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，为中点，弦与交于点，若为中点，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接、，交于，点为上的点，若，，，求线段的长．
19．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级期末）如图，一艘游轮在A处测得北偏东的方向上有一灯塔B，游轮以海里时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东的方向上．
(1)求点C到线段AB的距离；
(2)求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：，
20．（2022秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点A、B，直线与轴、轴分别交于点，与相交于点，线段的长是一元二次方程的两根(OA＞OC)，，．
(1)求点的坐标
(2)若反比例函数的图象经过点E，求的值
(3)若点在坐标轴上，在平面内是否存在一点，使以点C、E、P、Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点的个数，并直接写出其中两个点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（2022秋·黑龙江绥化·九年级统考期末）如图所示，我区某中学课外活动小组的同学，利用所学知识去测某段诺敏河的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得，小英同学在A处50米远的B处测得，请你根据这些数据算出河宽．（结果保留根号）
22．（2022秋·黑龙江大庆·九年级统考期末）如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截．红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方．求红蓝双方最初相距多远（结果不取近似值）．
23．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）等腰直角三角形中，，为的角平分线，交于点，点为的中点，连结交于点，过点作，垂足为点，交于点．
（1）如图1，与的数量关系为__________；的值为__________；
（2）如图2，以点为位似中心，将做位似变换，得到，使与的相似比为，与、的交点分别为，，隐去线段，试求的值；
（3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形改为等腰三角形，，且其他条件不变，
①的值为__________；
②若，直接写出的面积．
24．（2022秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，直线BC的解析式为y＝kx＋12（k≠0），AC⊥BC，线段OA的长是方程x2﹣15x﹣16＝0的根．请解答下列问题：
（1）求点A、点B的坐标．
（2）若直线l经过点A与线段BC交于点D，且tan∠CAD＝，双曲线y＝（m≠0）的一个分支经过点D，求m的值．
（3）在第一象限内，直线CB下方是否存在点P，使以C、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴相交于A，B两点，OA，OB的长分别是方程x2﹣14x+48=0的两根，且OA＜OB．
（1）求点A，B的坐标．
（2）过点A作直线AC交y轴于点C，∠1是直线AC与x轴相交所成的锐角，sin∠1=，点D在线段CA的延长线上，且AD=AB，若反比例函数的图象经过点D，求k的值．
（3）在（2）的条件下，点M在射线AD上，平面内是否存在点N，使以A，B，M，N为顶点的四边形是邻边之比为1：2的矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．B
【分析】根据题意画出图形，利用等边三角形的性质和三角形的内切圆性质求解即可．
【详解】解：如图，是等边三角形，，，
由题意，平分，平分，
∴，，，
∴为内切圆的半径，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形的内切圆性质、锐角三角函数，熟练掌握等边三角形的性质和三角形内切圆性质，利用数形结合思想求解是解答的关键．
2．C
【分析】根据，代入数值即可求得答案．
【详解】，
，
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．
3．A
【分析】过点D作DE垂直于CB的延长线于点E，设AC=BC=a，根据勾股定理得，由等腰直角三角形的性质得∠ABC=∠BAC=45°，从而得，在Rt△BDE中，解直角三角形得DE=2a，BE=2a，进而求得CE=BC+BE=3a即可求得．
【详解】解：过点D作DE垂直于CB的延长线于点E，如下图，
设AC=BC=a，
∵AC⊥BC，AC=BC=a，
∴，∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC=∠BAC，
∴∠ABC=∠BAC=45°，，
∴∠DBE=∠ABC=45°，
∵DE⊥CE，
∴DE=，BE=，
∴CE=BC+BE=3a，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，熟练解直角三角形是解题的关键．
4．B
【分析】根据解直角三角形需要满足的条件，逐一判断即可得出结论．
【详解】解：∵选项C、D缺少边的条件，A缺少锐角的条件，
∴不能解直角三角形，
选项B中，由∠A的正弦可求出AB，再根据直角三角形的性质可求出∠B，然后由勾股定理或∠A的正切函数可求出AC．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握求解直角三角形的条件是解决本题的关键．
5．A
【分析】利用已知条件求得,设，将都表示出含有的代数式，利用的函数值求得，继而求得的值
【详解】
设交于点,
由题意：
是等边三角形
四边形为正方形
∴∠CBF=90°-60°=30°，
DE⊥
又
设
则
解得：
故选A
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，特殊角的锐角三角函数值，灵活运用锐角三角函数的定义及特殊三角函数值是解题的关键．
6．A
【分析】在Rt△ABC中，已知∠BAC和斜边AB，求∠BAC的对边，选择∠BAC的正弦，列出等式即可表示出来．
【详解】在Rt△ABC中，
,
即，
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题关键是根据解三角函数的定义，列出方程．
7．D
【分析】先根据题意得出AD的长，在Rt△AED中利用锐角三角函数的定义求出ED的长，由CE＝CD＋DE即可得出结论．
【详解】解：∵AB⊥BC，DE⊥BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是矩形，
∵BC＝15m，AB＝1.5m，
∴AD＝BC＝15m，DC＝AB＝1.5m，
在Rt△AED中，
∵∠EAD＝30°，AD＝15m，
∴ED＝AD tan30°＝15×＝5，
∴CE＝CD＋DE＝．
故选：D．
【点睛】本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键，属于基本知识的考查．
8．C
【分析】由的余弦值得到它的度数，再分情况讨论，画出图象，利用锐角三角函数求出BC的长．
【详解】解：∵，
∴，
如图，当是钝角三角形时，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图，当是锐角三角形时，
．
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是掌握解直角三角形的方法，需要注意进行分类讨论．
9．D
【分析】利用正方形的性质以及平行线的性质可分别得出D1E1、B2E2、B2C2的长，进而得出B3C3、WQ的长，最后根据30°的余弦函数求解即可.
【详解】解：过小正方形的一个顶点W作FQ⊥x轴于点Q，过点A3F⊥FQ于点F，
∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，
∴∠B3C3E4=60°，∠D1C1E1=30°，∠E2B2C2=30°，
∴D1E1=D1C1=，
∴D1E1=B2E2=，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据题意得出：∠WC3Q=30°，∠C3WQ=60°，∠A3WF=30°，
∴，
，
∴点A3到x轴的距离是：．
故选D．
【点睛】本题综合性强，难度较大，是中考常见题，利用直角构造一线三垂直是解决问题的关键．
10．D
【详解】解：根据翻折图形可得：AC=AO=2，∠CAO=60°，
过点C作x轴于
点C的坐标为，
则k的值为.
故选D
11．
【分析】连接，，先证明四边形是菱形，得，从而求得，，在中，由勾股定理得，进行利用菱形的面积公式即可求解．
【详解】解：如下图，连接，，
∵四边形是矩形，，
∴，，，，
∵，
∴即，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是菱形，
∴，
在中，由设，，
∵，即，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∴，即，
解得，
∵是菱形，，
∴即，
解得，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定及性质，矩形的性质，勾股定理以及三角函数，熟练掌握菱形的判定及性质是解题的关键．
12．（，）．
【分析】通过解直角三角形，依次求…各点的坐标，再从其中找出规律，便可得结论．
【详解】解：由题意得，
的坐标为（1，0），的坐标为（1，），的坐标为（ 2，2），的坐标为（ 8，0），的坐标为（ 8， 8），的坐标为（16， 16），
的坐标为（64，0），
…
由上可知，A点的方位是每6个循环，
与第一点方位相同的点在x轴正半轴上，其横坐标为，其纵坐标为0，
与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为，纵坐标为，
与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为，纵坐标为，
与第四点方位相同的点在x轴负半轴上，其横坐标为，纵坐标为0，
与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为，纵坐标为，
与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为，纵坐标为，
∵2021÷6＝336…5，
∴点的方位与点的方位相同，在第三象限内，其横坐标为，纵坐标为，
故答案为：（，）．
【点睛】本题是点的坐标的规律探索，主要考查了解直角三角形的知识，关键是求出前面7个点的坐标，找出其存在的规律．
13．或
【分析】分角是底角和顶角两种情况，分别求出正切值即可．
【详解】解：当角是底角时，它的正切值为，
当角是顶角时，如图所示，，作于D，
∵，
∴，，
∴，
，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和解直角三角形，解题关键是恰当构造直角三角形解题．
14．
【分析】如图，连接BC，再利用的余弦可得答案.
【详解】解：如图，连接BC，
是的直径，
故答案为：
【点睛】本题考查的是圆周角定理的含义，锐角的余弦的含义，掌握“直径所对的圆周角是直角”是解本题的关键.
15．﹣1/
【分析】在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，延长CB至点D，使得AB＝BD，则∠BAD＝∠D．设AC＝1，求出CD，可得结论．
【详解】解：如图，在等腰直角△ABC中，延长CB至点D，则∠BAD＝∠D．
∵∠ABC＝45°，
∴45°＝∠BAD+∠D＝2∠D，
∵∠BAD＝∠D，
∴∠D＝∠BAD＝22.5°，
∴AB=BD，
设AC＝1，则BC＝1，AB= BD= ，
∴CD＝CB+BD＝CB+AB＝1+，
∴tan22.5°＝tanD＝＝＝＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查解直角三角形，分母有理化，特殊直角三角形的性质，三角函数等知识，解题的关键是学会利用特殊直角三角形解决问题．
16．①②③④⑥
【分析】根据四边形ABCD为正方形性质，和点E是AD的中点得出AE=，根据三角函数定义得出tan∠ABE=，得出BG=2AG，证明△BAG≌△CBH（AAS），得出AG=BH，BG=CH，可判断①正确；根据BG=2AG，利用线段差得出HG=BG-AG=2AG-AG=AG，可判断②正确；取CH中点J，连结OJ，先证△AGO≌△CJO（SAS），得出∠AOG=∠COJ，GO=JO，再证△HGO≌△HJO（SSS），得出∠HOG=∠HOJ，说明点G，O，J三点共线，得出△GHJ为等腰直角三角形，利用勾股定理HG=可判断③正确；四边形ABCD为正方形，可证△AEF∽△CBF，得出，求出，可判断④正确；先证△AGF∽△CHF，得出GF=，求出S△AFG＝，S△GHC=，可判断⑤不正确；利用sin∠DAC=sin∠OGH=，OG AC＝BH CD，可判断⑥正确．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=AD，∠EAB=∠ABC=90°，
∵点E是AD的中点，
∴AE=
∴tan∠ABE=，
∴BG=2AG，
∵AG⊥BE，CH⊥BE，
∴∠AGB=∠BHC=90°，
∴∠ABG+∠BAG=90°，∠ABG+∠CBH=90°，
∴∠BAG=∠CBH，
在△BAG和△CBH中，
，
∴△BAG≌△CBH（AAS），
∴AG=BH，BG=CH，
∴CH﹣AG＝BG-BH=HG，故①正确；
∵BG=2AG，
∴HG=BG-AG=2AG-AG=AG，故②正确；
取CH中点J，连结OJ，
∵CJ=，AG⊥BE，CH⊥BE，
∴AG∥CH，
∴∠GAO=∠JCO，
∵点O是AC的中点，
∴AO=CO，
在△AGO和△CJO中，
，
∴△AGO≌△CJO（SAS），
∴∠AOG=∠COJ，GO=JO，
在△HGO和△HJO中，
，
∴△HGO≌△HJO（SSS），
∴∠HOG=∠HOJ，
∵∠GOH+∠HOJ=∠AOG+∠FOH+∠HOJ=∠COJ+∠FOH+∠HOJ=∠AOC=180°，
∴点G，O，J三点共线，
∴∠HOG+∠HOJ=2∠HOG=180°，
∴∠HOG=90°，
∵∠GHJ=90°，HG=HJ，
∴△GHJ为等腰直角三角形，
点O为JG中点，
∴OH=OG=OJ，
∴HG=，
∴BH=HG=OG，故③正确；
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，即AF∥BC，
∴∠AEF=∠CBF，∠EAF=∠BCF，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∴，
∴OC-OF=，
∴，
∴，
∴AF∶OF∶OC＝=2∶1∶3；故④正确；
∵∠AFG=∠CFH，∠AGF=∠CHF=90°，
∴△AGF∽△CHF，
∴,
∴，
∵GF+FH=GH，
∴GF=
∴S△AFG＝，S△GHC=
∴S△AFG＝S△GHC，故⑤不正确；
∵AC为正方形对角线，
∴∠DAC=45°，
∵∠HOG=90°，OH=OG，
∴∠OGH=45°，
∴sin∠DAC=sin∠OGH=，
∴OG AC＝BH CD，故⑥正确．
其中结论正确的序号是①②③④⑥．
故答案为：①②③④⑥．
【点睛】本题考查正方形性质，锐角三角函数值，三角形全等判定与性质，三点共线，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，三角形相似判定与性质，三角形面积，本题难度大，涉及知识多，图形复杂，掌握多方面知识是解题关键．
17．或或
【分析】分∠ABE=30°或∠AEB=30°或∠ABA′=30°时三种情况，利用锐角三角函数进行求解即可．
【详解】解：当∠ABE=30°时，
∵AB=4cm，∠A=90°，
∴AE=AB·tan30°=cm；
当∠AEB=30°时，则∠ABE=60°，
∵AB=4cm，∠A=90°，
∴AE=AB·tan60°=cm；
当∠ABE=15°时，∠ABA′=30°，延长BA′交AD于F，如下图所示，
设AE=x，则EA′=x，，
∵AF=AE+EF=ABtan30°=，
∴，
∴，
∴ cm．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了矩形与折叠，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由圆中弧的性质和三角形内角和定理可得结论；
（2）由圆中弧的性质和余角的性质、以及等腰三角形的判定可得结论；
（3）连接，通过证明和，可得到四边形是矩形．再通过过作，构造直角三角形可求出的长．再连接，可利用圆中弧的性质可得的长，从而可得的长度．
【详解】（1）证明：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
（2）∵，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
∴.
（3）连接，过作于，于，
∵，∴，
∵，，∴
∵，，∴，∴，
∵，，∴
∵，∴四边形是矩形
∵，∴，∴
过作交于，
∵，∴
∵，∴，，
∴，∴，
∵，∴
∵，∴，∴，
设，得到，，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴勾股定理得，
∵，，∴
连接交于，∵为弧中点，∴，∴
∵为弧中点，∴，∴，
∵，∴
∵，∴
【点睛】本题为圆的综合题，主要考查图形的全等、等腰三角形与直角三角形、矩形菱形正方形、图的有关概念及性质、推理能力，掌握以上知识点并且能够熟练运用、同时还要保持思路清晰，是解决此题的关键．
19．(1)40海里；
(2)109海里．
【分析】（1）作辅助线，构建直角三角形，证明是等腰直角三角形，可得的长，从而得结论；
（2）解，求出的长，然后在中利用含角的性质可得的长即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，过点C作，垂足为M，
由题意可得，，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
由题意得：，
∴，
即点C到线段的距离为40海里；
（2）（2）∵，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵（海里），
答：A处与灯塔B相距109海里．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用 方向角问题，三角形内角和定理，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20．(1)
(2)-36
(3)满足条件的点的个数有6个，点坐标是（6，12）或或或或或（-10，-12）
【分析】（1）求出一元二次方程的根，即可求解；
（2）过点E作EH⊥AC于点H，可得OB=16，从而得到AB=20，再证得△AEH∽△AOB，可得，从而得到点E（-3，12），即可求解；
（3）分两类情况讨论，当以CE为对角线时；当CE为边时，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
解得：，
∵线段的长是一元二次方程的两根(OA＞OC)，
∴OA=12，OC=6，
∴点A（-12，0），点C（6，0）；
（2）解：过点E作EH⊥AC于点H，
∵，
∴，解得：OB=16，
∴，
∵BE=5，
∴AE=15，
∵EH⊥AC，OB⊥AC，
∴EH∥OB，
∴△AEH∽△AOB，
∴，即，
解得：，
∴OH=3，
∴点E（-3，12），
∵反比例函数的图象经过点E，
∴，解得：k=-36；
（3）：满足条件的点的个数有6个，
∵点E（-3，12），C（6，0），
∴，
设点Q（m，n），当点P在x轴上时，设点P（b，0）；当点P在y轴上时，设点P（0，a），
当以CE为对角线时，PQ=CE=15，
若点P在x轴上，此时EQ2∥x轴，CQ2⊥x轴，
∴点Q2（6，12）；
若点P在y轴上，根据题意得：点E向点P1（或点Q3）平移的方向与距离和点Q1（或点P3）向点C平移的方向与距离相同，
∴解得： 或（舍去）
，解得：（舍去）或，
∴点Q1，点Q3；
当CE为边时，
当点P在x轴上时，PC= EQ，且点E向P移动的距离与方向和点C向Q移动的距离与方向相同，
∴，解得：
∴点Q6（-10，-12）；
当点P在y轴上时，且点E向P移动的距离与方向和点C向Q移动的距离与方向相同，且PC= EQ（或CQ=EP），
或
解得：或，
∴点，
综上所述，点Q的坐标为（6，12）或或或或或（-10，-12）
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，矩形的性质，反比函数的图象和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．
21．河宽为（2525）米．
【分析】设CE＝x米，那么可利用三角函数用河宽表示出AE、EB，然后根据BE﹣AE＝50就能求得河宽．
【详解】解：设CE＝x米，
在Rt△AEC中：∠CAE＝45°，AE＝CE＝x，
在Rt△BCE中：∠CBD＝30°，BECEx，
∴x＝x+50，
解得：x＝2525，
答：河宽为（2525）米．
【点睛】此题主要考查了三角函数的概念和应用，解题关键是把实际问题转化为数学问题，抽象到直角三角形中，利用三角函数进行解答．
22．红蓝双方最初相距（）米．
【分析】过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则∠E=∠F=90°，红蓝双方相距AB=DF+CE．在Rt△BCE中，根据锐角三角函数的定义求出CE的长，同理，求出DF的长，进而可得出结论．
【详解】解：过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则∠E=∠F=90°，红蓝双方相距AB=DF+CE．
在Rt△BCE中，
∵BC=1000米，∠EBC=60°，
∴CE=BC sin60°=1000×=500米．
在Rt△CDF中，
∵∠F=90°，CD=1000米，∠DCF=45°，
∴DF=CD sin45°=1000×=500米，
∴AB=DF+CE=（500+500）米．
答：红蓝双方最初相距（）米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数的定义，正确理解方向角的定义，进而作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23．（1）=；；（2）的值为；（3）①；②
【分析】（1）由已知条件ASA推论出，得出=；再推论出，得出，因为，所以；
（2）过点作，同（1）理得： 所以 ；
（3）①由已知条件推论出，得出，因为，推出，由可转化得，；
②由，得，由面积公式得到．
【详解】解：（1） 点为的中点
在和中
为的角平分线
在和中
（2）过点作，交CD于，CH于，CB于
在中
为的角平分线
同（1）理得：
的值为；
（3）过点作，交CD于，CH于，CB于
① 点为的中点
由题意知为的角平分线
在和中
②
【点睛】本题是相似形的综合题目，考察了等腰三角形、直角三角形以及全等三角形的判定和性质、和相似三角形判定和性质等知识；本题难度较大，综合性强．
24．（1）A（16，0），B（-9，0）；（2）-24；（3）存在，（16，12）或（25，12）或（32，）或（）
【分析】
【详解】解：（1）x2﹣15x﹣16＝0，
因式分解得，
解得，
点A在x轴的正半轴上，OA=16，
∴点A（16，0），
∵直线BC的解析式为y＝kx＋12，
与y轴交点C为（0，12），
∴tan∠OAC=，∠OCA+∠OAC=90°，
∵AC⊥BC，
∴∠BCO+∠OCA=90°，
∴∠BCO=∠OAC，
∴tan∠BCO= tan∠OAC=，
∴OB=，
∴点B（-9，0）；
（2）过点D作DE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，
在Rt△AOC中，AC=，
在Rt△BOC中BC=，
∵tan∠CAD＝，
∴，
∵sin∠BCO=，
∴DE= CDsin∠BCO=，
∴CE=，OE=OC-EC=12-4=8，
∴点D（-3，8），
∵双曲线y＝（m≠0）的一个分支经过点D，
∴;
（3）过点A作AP1与过点C与x轴平行的直线交于P1，
则∠CP1A=∠P1CO=∠COA=90°，
∴四边形COAP1为矩形，
∴点P1（16，12），
当点P1（16,12）时，CP1∥OA，
∠P1CA=∠CAB，∠ACB=∠CP1A，
∴△P1CA∽△CAB，
作P2A⊥AC交CP1延长线于P2，
∵∠CAP2=∠BCA=90°，∠P2CA=∠CAB，
∴△CAP2∽△ACB，
∴cos∠CAO=，
∴cos∠P2CA= cos∠CAO=，
∴，
∴点P2的横坐标绝对值=，纵坐标的绝对值=OC=12，
∴点P2（），
作∠P3CA=∠OCA，在射线CP3截取CP3=CO=12，连结AP3，
在△CP3A和△COA中，
，
∴△CP3A≌△COA（SAS），
∴AP3=OA=16，
∴，
∴
∴△P3CA∽△CAB，
设P3（x，y）
，
整理得，
解得：，
∴点P3（），
延长CP3与延长线交P4，过P4作PH⊥x轴于H，
∵∠P4CA=∠CAB，∠P4AC=∠BAC=90°，
∴△CAP4∽△ACB，
∵∠BAC+∠HAP4=∠CAP3+∠P3AP4=90°，∠CAP3=∠BAC，
∴∠HAP4=∠P3AP4，
∠P4P3A=180°-∠CP3A=180°-90°=90°=∠P4HA，
在△P4P3A和△P4HA中，
，
△P4P3A≌△P4HA（ASA），
∴AP3=AH=16，P3P4=P4H，
∵cos∠P3CA=，
∴，
∴，OH=OA+AH=OA+AP3=16+16=32，
∴点，
综合直线CB下方，使以C、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．点P的坐标（16，12）或（）或或()．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，直线与y轴的交点，反比例函数解析式，锐角三角形函数，勾股定理，三角形全等判定与性质，矩形判定与性质，三角形相似，图形与坐标，解方程组，本题难度大，综合性强，涉及知识多，利用动点作出准确图形是解题关键．
25．（1）A（6，0），B（0，8）；（2）k=84；（3）存在．点N的坐标为（4，11）或（16，20）．
【分析】（1）解一元二次方程，求得OA、OB的长度，得到点A、B的坐标．
（2）作辅助线，构造全等三角形△AOB≌△DEA，求得点D的坐标；进而由题意，求出k的值．
（3）可能存在两种情形
【详解】（1）解方程x2﹣14x+48=0，得：x1=6，x2=8．
∵OA，OB的长分别是方程x2﹣14x+48=0的两根，且OA＜OB，∴OA=6，OB=8．
∴A（6，0），B（0，8）．
（2）如图所示，过点D作DE⊥x轴于点E．
在Rt△AOB中，OA=6，OB=8，
由勾股定理得：AB=10．
∴．
∵sin∠1=，∴∠OBA=∠1．
∵∠OBA+∠OAB=90°，∠1+∠ADE=90°，
∴∠OAB=∠ADE．
在△AOB与△DEA中，∵∠OBA=∠1，AB=AD，∠OAB=∠ADE，
∴△AOB≌△DEA（ASA）．∴AE=OB=8，DE=OA=6．∴OE=OA+AE=6+8=14．
∴D（14，6）．
∵反比例函数的图象经过点D，∴k=14×6=84．
（3）如答图所示，可能存在两种情形：
如图所示，若以A，B，M，N为顶点的四边形是邻边之比为1：2的矩形，
①当AB：AM1=2：1时，
过点M1作M1E⊥x轴于点E，
易证Rt△AEM1∽Rt△BOA，
∴ ，即
∴AE=4，M1E=3．
过点N1作N1F⊥y轴于点F，易证Rt△N1FB≌Rt△AEM1，
∴N1F=AE=4，BF=M1E=3，∴OF=OB+BF=8+3=11．
∴N1（4，11）．
②当AB：AM2=1：2时，同理可求得：N2（16，20）．
综上所述，存在满足条件的点N，点N的坐标为（4，11）或（16，20）．
