广东省揭阳市登岗中学2015届高三第一学期第一次模拟考试数学(文)试题

登岗中学2014届高三第一学期第一次模拟考试
数 学 (文科）
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）
1. 已知集合，集合，则（　　）
A. B. C. D.
2．为虚数单位，则复数的虚部为（　　）
A． B． C． D．
3．若，则“”是“”的（　　）条件
A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分又不必要
4．若是真命题，是假命题，则（　　）
A．是真命题 B．是假命题 C．是真命题 D．是真命题
5．数列中，，公比,则的值为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．16
6．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（　　）
A． B．
C． D．
7．阅读右图1所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（　　　）．
A． B．　 　C． 　D．
8．已知平面向量的夹角为，且，，则
（　　）
A． B． C． 　D．
9.设图2是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A． B．
C． D．
10．对实数和，定义运算“”：。设函数，．若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是( )．
A．　　B． C．　　D．
二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.）
（一）必做题（第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答。）
11．在中，若，则_____________．
12．已知函数则= ．
13．设、满足条件，则的最小值是 .
（二）选做题（14 ～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第14题的分。）
14.（坐标系与参数方程选做题）已知圆的极坐标方程为，则圆上点到直线的最短距离为 。
15. (几何证明选讲选做题)如图3，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若 PA=5，AB=7，CD=11，，则BD等于 .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.（本小题满分12分）
已知函数为偶函数，周期为．
（1）求的解析式；??
（2）若??，求 的值．
17．（本小题满分12分）
为调查乘客的候车情况,公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如下表所示
组别
候车时间
人数
一
2
二
6
三
4
四
2
五
1
（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；
（2）若从上表的第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率。
18．（本小题满分14分）
如图4,在三棱柱中，侧棱底面,
为的中点,,.
(1)求证：平面；
(2) 求四棱锥的体积.
19.（本小题满分14分）
设等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求的值；
（3）设数列的前项和为，求的值．
20．（本小题满分14分）
已知椭圆的离心率为，且经过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆于，两点，求为原点）面积的最大值．
21．（本小题满分14分）
已知函数，且其导函数的图像过原点.
(1)当时，求函数的图像在处的切线方程;
(2)若存在，使得，求的最大值；
(3)当时，求函数的零点个数。
登岗中学2015届高三第一学期第一次模拟考试
文科数学参考答案与评分标准
一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
A
D
B
D
B
C
D
B
10．【解析】由题设
画出函数的图象，函数图象的四个端点（如图）为， ，，． 从图象中可以看出，直线穿过点，点之间时，直线与图象有且只有两个公共点，同时，直线穿过点，点时，直线与图象有且只有两个公共点，所以实数的取值范围是．故选Ｂ
二.填空题（本大题每小题5分，共20分，把答案填在题后的横线上）
11. ； 12. ； 13. 1； 14. .； 15. 6
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16． 解：（1）, 则.. ………2分
是偶函数, , 又，．
则　． ………5分
（2）由已知得，．
则． ………8分
． ………12分
17．解：（1）由频率分布表可知：这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8，
所以，这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约等于人.……4分
（2）设第三组的乘客为，第四组的乘客为1，2；
“抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件.………………………………………5分
所得基本事件共有15种，即：
……………………………8分
其中事件包含基本事件，共8种，………………10分
由古典概型可得 ……………………………………………………12分
18. （1）证明:连接,设与相交于点,连接,
∵ 四边形是平行四边形, ∴点为的中点.
∵为的中点，∴为△的中位线,
∴ . ……………………… 3分
∵平面,平面,
∴平面. … 6分
(2)解: ∵平面,平面,
∴ 平面平面，且平面平面.
作，垂足为，则平面， …………… 8分
∵，，
在Rt△中，，，… 10分
∴四棱锥的体积
.∴四棱锥的体积为. …… 14分
19. 解：(1)设等差数列的公差为， ∵, ∴ …2分
数列的通项公式 …………………………………………………5分
（2）∵ …………………7分
解得或（舍去） …………………………………………………………………9分
（3）∵，∴ ………………………11分
∴
……14分
20．解：（1） 由得 ① ……………2分
由椭圆经过点，
得 ② ………3分
联立① ②，解得 …………4分
所以椭圆的方程是…………5分
（2）易知直线的斜率存在，设其方程为．
将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得．……7分
令，得．
设，，则，．…………9分
所以 ………………10分
因为
设
则 ……………13分
当且仅当，即时等号成立，此时面积取得最大值．…………14分
21．解: ,
由得 ,. ---------------------2分
(1) 当时, ,，,
所以函数的图像在处的切线方程为,即------------4分
(2) 存在,使得,
，，
当且仅当时，所以的最大值为. --------------- -----------------9分
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
(3) 当时，的变化情况如下表：
的极大值，
的极小值
又，.
所以函数在区间内各有一个零点，
故函数共有三个零点。--------------------14分