第4章锐角三角函数单元检测题（有答案）湘教版数学九年级上册

第4章　单元检测题（后附答案）
(时间：100分钟　　满分：120分)
一、选择题(本题共12小题，每题3分，共36分)
1．计算：sin60°·tan30°＝( )
A．1 B． C． D．2
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝4，BC＝3，那么∠A的正切值为( )
A． B． C． D．
3．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，cos A＝，那么AB的长是( )
A．5 B．6 C．8 D．9
4．如图，为测量河两岸相对两电线杆A，B间的距离，在距A点16 m的C处(AC⊥AB)，测得∠ACB＝52°，则A，B之间的距离应为( )
A．16sin52° m B．16cos52° m C．16tan52° m D． m
eq \o(\s\up7(),\s\do5(第4题图)) 　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第5题图)) 　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第6题图)) 　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第7题图))
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则sin B＝( )
A． B． C． D．
6．如图所示，△ABC在正方形网格中的位置如图示(A，B，C均在格点上)，AD⊥BC于点D.下列四个选项中正确的是( )
A．sin α＝cos α B．sin α＝tan α
C．sin β＝cos β D．sin β＝tan β
7．如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为( )
A．4cos α米 B．4sin α米 C．4tan α米 D．α米
8．若锐角三角函数tan55°＝a，则a的范围是( )
A．0＜a＜1 B．1＜a＜2 C．2＜a＜3 D．3＜a＜4
9．如果sin2α＋cos230°＝1，那么锐角α的度数是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
10．如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A，B，C，D，E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1∶2.4.根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为(参考数据：≈1.732)( )
A．136.6米 B．86.7米
C．186.7米 D．86.6米
eq \o(\s\up7(),\s\do5(第10题图)) 　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第11题图)) 　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第12题图))
11．某限高曲臂道路闸口如图所示，AB垂直地面l1于点A，BE与水平线l2的夹角为α(0°≤α≤90°)，EF∥l1∥l2，若AB＝1.4米，BE＝2米，车辆的高度为h(单位：米)，不考虑闸口与车辆的宽度：
①当α＝90°时，h小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；
②当α＝45°时，h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；
③当α＝60°时，h等于3.1米的车辆不可以通过该闸口．
则上述说法正确的个数为( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD＋BD的最小值是( )
A．2 B．4
C．5 D．10
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
13．计算：4cos60°＝__ __．
14．(怀化中考)已知∠α为锐角，且sin α＝，则∠α＝__ __．
15．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则sin B的值是__ __．
eq \o(\s\up7(),\s\do5(第15题图)) 　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第16题图)) 　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第17题图))
16．如图，建筑物BC上有一高为8 m的旗杆AB，从D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则建筑物BC的高约为 __ __m(结果保留小数点后一位).(参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53≈1.33)
17．高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行．如图，用平行四边形ABCD表示一个“鱼骨”，AB平行于车辆前行方向，BE⊥AB，∠CBE＝α，过B作AD的垂线，垂足为A′(A点的视觉错觉点)，若sin α＝0.05，AB＝300 mm，则AA′＝__ __mm.
18．已知，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝5，则△ABC的面积为 __ __．
三、解答题(本大题共8个小题，第19，20题每题6分，第21，22题每题8分，第23，24题每题9分，第25，26题每题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤)
19．计算：2cos60°＋4sin60°·tan30°－6cos245°.
20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝，b＝，解这个直角三角形．
21．在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值，这就引发我们产生这样一个疑问；当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究：任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝α，那么与有什么关系，你能解释一下吗？
22．如图，一艘轮船离开A港沿着东北方向直线航行60海里到达B处，然后改变航向，向正东方向航行20海里到达C处，求AC的距离．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，BC＝1，AC＝.
(1)求sin A的值；
(2)你能通过sin A的值求sin ∠CBD的值吗？若能，请求出sin ∠CBD的值；若不能，请说明理由．
24．政府将要在某学校大楼前修一座大桥．如图，宋老师测得大楼的高是20米，大楼的底部D处与将要修的大桥BC位于同一水平线上，宋老师又上到楼顶A处测得B和C的俯角∠EAB，∠EAC分别为67°和22°，宋老师说现在我能算出将要修的大桥BC的长了．同学们：你知道宋老师是怎么算的吗？请写出计算过程．(结果精确到0.1米．其中sin 67°≈，cos 67°≈，tan 67°≈，sin 22°≈，cos 22°≈，tan 22°≈)
25．如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos ∠ABC＝，BF为AD边上的中线．
(1)求AC的长；
(2)求tan ∠FBD的值．
26．图①是新冠肺炎疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图②是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28 cm，MB＝42 cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3 cm(即MP的长度)，枪身BA＝8.5 cm.
(1)求∠ABC的度数；
(2)测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3～5 cm.在图②中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50 cm.问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．(结果保留小数点后一位)
(参考数据：sin 66.4°≈0.92，cos 66.4°≈0.40，sin 23.6°≈0.40，≈1.414)
答案：
第4章　单元检测题
(时间：100分钟　　满分：120分)　
1．( B )
2．( A )
3．( B )
4．( C )
5．( A )
6．( C )
7．( A )
8．( B )
9．(A )
10．( A )
11．( C )
12．( B )
13．计算：4cos60°＝__2__．
14．已知∠α为锐角，且sin α＝，则∠α＝__30°__．
15．则sin B的值是____．
16 __24.2__m
17．__15__mm.
18．__2或14__．
19．计算：2cos60°＋4sin60°·tan30°－6cos245°.
解：原式＝2×＋4××－6×()2＝1＋2－3＝0
20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝，b＝，解这个直角三角形．
解：在Rt△ABC中，∵a2＋b2＝c2，a＝，b＝，∴c＝＝2，∵tan A＝＝＝，∴∠A＝30°，∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°
21．
解：＝，理由：在Rt△ABC中，sin A＝＝sin α，在Rt△A′B′C′中，sin A′＝＝sin α，∴＝
22．
解：延长CB交AD于点D，则∠ADB＝90°，由题意可知∠DAB＝45°，∴∠ABD＝90°－∠DAB＝45°，∴∠ABD＝∠DAB，∴AD＝BD，在Rt△ABD中，∵AB＝60海里，sin ∠DAB＝，∴AD＝BD＝AB·sin 45°＝60×＝60(海里)，∵BC＝20海里，
∴DC＝60＋20＝80(海里)，在Rt△ADC中，由勾股定理得，AC＝＝＝100(海里)，答：AC的距离为100海里
23．
解：(1)在Rt△ABC中，sin A＝＝＝
(2)能．∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∵∠CBD＋∠C＝90°，∠A＋∠C＝90°，∴∠A＝∠CBD，∴sin ∠CBD＝sin A＝
24．(2021·怀化)政府将要在某学校大楼前修一座大桥．如图，宋老师测得大楼的高是20米，大楼的底部D处与将要修的大桥BC位于同一水平线上，宋老师又上到楼顶A处测得B和C的俯角∠EAB，∠EAC分别为67°和22°，宋老师说现在我能算出将要修的大桥BC的长了．同学们：你知道宋老师是怎么算的吗？请写出计算过程．(结果精确到0.1米．其中sin 67°≈，cos 67°≈，tan 67°≈，sin 22°≈，cos 22°≈，tan 22°≈)
解：过点C作CF⊥AE于点F，如图所示，则FC＝AD＝20米，AF＝DC，在Rt△ACF中，∵∠EAC＝22°，tan ∠EAC＝＝tan 22°≈，∴DC＝AF≈FC＝50(米)，在Rt△ABD中，∵∠ABD＝∠EAB＝67°，tan ∠ABD＝＝tan 67°≈，∴BD≈AD＝(米)，
∴BC＝DC－BD＝50－≈41.7(米)，即大桥BC的长约为41.7米
25．
解：(1)∵cos ∠ABC＝＝，BC＝8，∴AB＝10，∵AC⊥BD，在Rt△ACB中，由勾股定理得，AC＝＝＝6，即AC的长为6　(2)如图，连接CF，过F点作BD的垂线，垂足为E，∵BF为AD边上的中线，即F为AD的中点，
∴CF＝AD＝FD，在Rt△ACD中，由勾股定理得，AD＝＝＝2，∴CF＝，∵△CFD为等腰三角形，FE⊥CD，∴CE＝CD＝2，在Rt△EFC中，EF＝＝＝3，∴tan ∠FBD＝＝＝
26．
解：(1)过点B作BH⊥MP，垂足为H，过点M作MI⊥FG，垂足为I，过点P作PK⊥DE，垂足为K，∵MP＝25.3 cm，BA＝HP＝8.5 cm，∴MH＝MP－HP＝25.3－8.5＝16.8 (cm)，在Rt△BMH中，cos ∠BMH＝＝＝0.4，∴∠BMH＝66.4°，∵AB∥MP，∴∠BMH＋∠ABC＝180°，∴∠ABC＝180°－66.4°＝113.6°　(2)
∵∠BMN＝68.6°，∠BMH＝66.4°，∴∠NMI＝180°－∠BMN－∠BMH＝180°－68.6°－66.4°＝45°，∵MN＝28 cm，∴cos 45°＝＝，∴MI≈19.80 cm，∵KI＝50 cm，∴PK＝KI－MI－MP＝50－19.80－25.3≈4.9 (cm)，∵3<4.9<5，∴此时枪身端点A与小红额头的距离是在规定范围内