数系扩充与复数概念
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文档简介
《数系的扩充与复数的概念》教学设计
广州市真光中学数学科
课题名称 《数系的扩充与复数的概念》
科 目 数学 年级 高二
教学时间 1课时
学情分析 学生已经学习了实数以及实数有关的运算，知道方程没有实数解，但实际需要要求此方程的解，所以有必要引出复数的概念以及复数的有关运算，建立新的数系。
教学目标 一、情感态度与价值观在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）；在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．
二、过程与方法经历了数系的扩充过程，体验了复数引入的必要，探究了复数相等的概念，领悟了转化的思想方法．
三、知识与技能1． 了解数系发展原因，数集的扩展过程以及复数的分类表；2．理解复数的有关概念以及符号表示；3．掌握复数的代数表示形式及其有关概念4．理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件
教学重点 对引入复数的必要性的认识，理解复数的基本概念
教学难点 由于学生对数系扩充的知识不熟悉，对了解实数系扩充到复数系的过程有困难。由于理解复数是一对有序实数不习惯，对于复数概念理解也有一定困难。
教学资源 多媒体课件，实物投影
教学策略与学法指导 教学策略：本节课采用创设问题情景——学生自主探究——师生共同辨析研讨——归纳总结组成的“四环节”探究式学习方式，并在教学过程中根据实际情况及时地调整教学方案。学法指导：通过创设问题情景、学生自主探究、展示学生的研究过程来激励学生的探索勇气。根据学生的认知情况和学生的情感发展来调整整个学习活动的梯度与层次，逐步形成敢于发现、敢于质疑的科学态度。
教学过程
教学活动1设计意图：辨析过程中重视学生的思维起点，通过彼此交流，发现问题，共同探讨，得到统一的认识 （一）导入新课提出问题：已知，则 。1．对于数集因生产的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生进行简明扼要的概括和总结）自然数 分数 有理数 无理数 实数2．提出问题 我们知道，对于实系数一元二次方程，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？ 3．组织讨论，研究问题 我们说，实系数一元二次方程没有实数根．实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数．解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？ 组织学生讨论，引导学生研究，最后得出结论：最根本的问题就是要解决－1的开平方问题．即一个什么样的数，它的平方会等于－1．4．引入新数，并给出它的两条性质 根据前面讨论的结果，我们引入一个新数，叫做虚数单位，并规定： （1）； （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立． 有了前面的讨论，引入新数，可以说是水到渠成的事．这样，就可以解决前面提出的问题（－1可以开平方，而且－1的平方根是）．
教学活动2设计意图：体现知识的连贯性，系统性；数学类比思想的渗透 (二)复数的定义提出复数的概念复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示* 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式问题:复数集C和实数集R之间有什么关系？复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.巩固练习：1.下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？2+,0.618,,0,,,5+8,3-92、判断下列命题是否正确：（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数（3）若a为实数，则Z= a一定不是虚
教学活动3设计意图：学生之间交流、合作探究，提高认识而不是教师讲解，能够使学生感悟知识的的发生、发展的过程 (三) 应用例1 实数m分别取什么值时，复数z＝m+1＋(m-1)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 分析：因为m∈R，所以m+1，m-1都是实数，由复数z＝a＋bi是实、虚数、纯虚数与零的条件可以确定实数x的值．练习：实数m分别取什么值时，复数z＝m2+m-2＋(m2-1)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？变式练习1、若（x2－1）＋（x2＋3x＋2）i是纯虚数，则实数x的值是（ ）A．1 B．±1 C．－1 D．－22、以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是（ ）A． B． C． D．3、“复数为纯虚数”是“a＝0”的（ ）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要条件 D．既不充分也不必要
教学活动4设计意图：感悟知识的应用 (四)复数相等我们知道：思考：如何定义两个复数相等？如果两个复数的实部与虚部对应相等，那么我们就说这两个复数相等。若注意：一般对两个复数只说相等或者不相等例2 已知,其中，x,yR，求x与y．分析：因为x，y∈R，所以由两个复数相等的定义，可列出关于x，y的方程组，解这个方程组，可求出x，y的值．变式练习：（1）若x,y为实数，且，求x与y.（2）若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0，求x的值.巩固练习：1、若，其中，i是虚数单位，则（ ）A．0 B．2 C． D．52、若复数，且，则实数a和λ的值分别为（ ）A．3，－1 B． C． D．－3，23、已知，则复数a＝ 。4、已知x是实数，y是纯虚数，且满足，求x与y。5、已知关于x的方程有实根，求这个实根以及实数k的值。
教学活动5设计意图：课后作业的设置体现了本节课研究方法的延伸，是对学生学习效果的一种检验 归纳总结（1）、虚数单位i的引入；（2）、复数的代数形式：；（2）、复数的有关概念：虚数，纯虚数，实部、虚部、复数相等。布置作业：习题3.1A组 第1、2题课后思考：1、计算：＝ ，＝ ，＝ ，＝ ，推广＝ 。2、复数是否可以比较大小？
[板书设计]
复数的扩充与复数的概念
一、复数的定义 二、复数的分类三、复数相等 例1例2例3 练习1练习2练习3
《数系的扩充与复数的概念》学案
1、提出问题：已知，则 。
巩固练习：1.下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？
2+,0.618,,0,,,5+8,3-9
2、判断下列命题是否正确：
（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数
（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数
（3）若a为实数，则Z= a一定不是虚
例1 实数m分别取什么值时，复数z＝m+1＋(m-1)i是
(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
变式练习
1、若（x2－1）＋（x2＋3x＋2）i是纯虚数，则实数x的值是（ ）
A．1 B．±1 C．－1 D．－2
2、以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是（ ）
A． B． C． D．
3、“复数为纯虚数”是“a＝0”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要条件 D．既不充分也不必要
例2 已知,其中，x,yR，求x与y．
变式练习：
（1）若x,y为实数，且，求x与y.
（2）若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0，求x的值.
巩固练习：
1、若，其中，i是虚数单位，则（ ）
A．0 B．2 C． D．5
2、若复数，且，则实数a和λ的值分别为（ ）
A．3，－1 B． C． D．－3，2
3、已知，则复数a＝ 。
4、已知x是实数，y是纯虚数，且满足，求x与y。
5、已知关于x的方程有实根，求这个实根以及实数k的值。
归纳总结:
布置作业：习题3.1A组 第1、2题
课后思考：
1、计算：＝ ，＝ ，＝ ，＝ ，推广＝ 。
2、复数是否可以比较大小？
广州市真光中学数学科
课题名称 《数系的扩充与复数的概念》
科 目 数学 年级 高二
教学时间 1课时
学情分析 学生已经学习了实数以及实数有关的运算，知道方程没有实数解，但实际需要要求此方程的解，所以有必要引出复数的概念以及复数的有关运算，建立新的数系。
教学目标 一、情感态度与价值观在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）；在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．
二、过程与方法经历了数系的扩充过程，体验了复数引入的必要，探究了复数相等的概念，领悟了转化的思想方法．
三、知识与技能1． 了解数系发展原因，数集的扩展过程以及复数的分类表；2．理解复数的有关概念以及符号表示；3．掌握复数的代数表示形式及其有关概念4．理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件
教学重点 对引入复数的必要性的认识，理解复数的基本概念
教学难点 由于学生对数系扩充的知识不熟悉，对了解实数系扩充到复数系的过程有困难。由于理解复数是一对有序实数不习惯，对于复数概念理解也有一定困难。
教学资源 多媒体课件，实物投影
教学策略与学法指导 教学策略：本节课采用创设问题情景——学生自主探究——师生共同辨析研讨——归纳总结组成的“四环节”探究式学习方式，并在教学过程中根据实际情况及时地调整教学方案。学法指导：通过创设问题情景、学生自主探究、展示学生的研究过程来激励学生的探索勇气。根据学生的认知情况和学生的情感发展来调整整个学习活动的梯度与层次，逐步形成敢于发现、敢于质疑的科学态度。
教学过程
教学活动1设计意图：辨析过程中重视学生的思维起点，通过彼此交流，发现问题，共同探讨，得到统一的认识 （一）导入新课提出问题：已知，则 。1．对于数集因生产的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生进行简明扼要的概括和总结）自然数 分数 有理数 无理数 实数2．提出问题 我们知道，对于实系数一元二次方程，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？ 3．组织讨论，研究问题 我们说，实系数一元二次方程没有实数根．实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数．解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？ 组织学生讨论，引导学生研究，最后得出结论：最根本的问题就是要解决－1的开平方问题．即一个什么样的数，它的平方会等于－1．4．引入新数，并给出它的两条性质 根据前面讨论的结果，我们引入一个新数，叫做虚数单位，并规定： （1）； （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立． 有了前面的讨论，引入新数，可以说是水到渠成的事．这样，就可以解决前面提出的问题（－1可以开平方，而且－1的平方根是）．
教学活动2设计意图：体现知识的连贯性，系统性；数学类比思想的渗透 (二)复数的定义提出复数的概念复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示* 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式问题:复数集C和实数集R之间有什么关系？复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.巩固练习：1.下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？2+,0.618,,0,,,5+8,3-92、判断下列命题是否正确：（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数（3）若a为实数，则Z= a一定不是虚
教学活动3设计意图：学生之间交流、合作探究，提高认识而不是教师讲解，能够使学生感悟知识的的发生、发展的过程 (三) 应用例1 实数m分别取什么值时，复数z＝m+1＋(m-1)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 分析：因为m∈R，所以m+1，m-1都是实数，由复数z＝a＋bi是实、虚数、纯虚数与零的条件可以确定实数x的值．练习：实数m分别取什么值时，复数z＝m2+m-2＋(m2-1)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？变式练习1、若（x2－1）＋（x2＋3x＋2）i是纯虚数，则实数x的值是（ ）A．1 B．±1 C．－1 D．－22、以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是（ ）A． B． C． D．3、“复数为纯虚数”是“a＝0”的（ ）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要条件 D．既不充分也不必要
教学活动4设计意图：感悟知识的应用 (四)复数相等我们知道：思考：如何定义两个复数相等？如果两个复数的实部与虚部对应相等，那么我们就说这两个复数相等。若注意：一般对两个复数只说相等或者不相等例2 已知,其中，x,yR，求x与y．分析：因为x，y∈R，所以由两个复数相等的定义，可列出关于x，y的方程组，解这个方程组，可求出x，y的值．变式练习：（1）若x,y为实数，且，求x与y.（2）若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0，求x的值.巩固练习：1、若，其中，i是虚数单位，则（ ）A．0 B．2 C． D．52、若复数，且，则实数a和λ的值分别为（ ）A．3，－1 B． C． D．－3，23、已知，则复数a＝ 。4、已知x是实数，y是纯虚数，且满足，求x与y。5、已知关于x的方程有实根，求这个实根以及实数k的值。
教学活动5设计意图：课后作业的设置体现了本节课研究方法的延伸，是对学生学习效果的一种检验 归纳总结（1）、虚数单位i的引入；（2）、复数的代数形式：；（2）、复数的有关概念：虚数，纯虚数，实部、虚部、复数相等。布置作业：习题3.1A组 第1、2题课后思考：1、计算：＝ ，＝ ，＝ ，＝ ，推广＝ 。2、复数是否可以比较大小？
[板书设计]
复数的扩充与复数的概念
一、复数的定义 二、复数的分类三、复数相等 例1例2例3 练习1练习2练习3
《数系的扩充与复数的概念》学案
1、提出问题：已知，则 。
巩固练习：1.下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？
2+,0.618,,0,,,5+8,3-9
2、判断下列命题是否正确：
（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数
（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数
（3）若a为实数，则Z= a一定不是虚
例1 实数m分别取什么值时，复数z＝m+1＋(m-1)i是
(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
变式练习
1、若（x2－1）＋（x2＋3x＋2）i是纯虚数，则实数x的值是（ ）
A．1 B．±1 C．－1 D．－2
2、以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是（ ）
A． B． C． D．
3、“复数为纯虚数”是“a＝0”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要条件 D．既不充分也不必要
例2 已知,其中，x,yR，求x与y．
变式练习：
（1）若x,y为实数，且，求x与y.
（2）若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0，求x的值.
巩固练习：
1、若，其中，i是虚数单位，则（ ）
A．0 B．2 C． D．5
2、若复数，且，则实数a和λ的值分别为（ ）
A．3，－1 B． C． D．－3，2
3、已知，则复数a＝ 。
4、已知x是实数，y是纯虚数，且满足，求x与y。
5、已知关于x的方程有实根，求这个实根以及实数k的值。
归纳总结:
布置作业：习题3.1A组 第1、2题
课后思考：
1、计算：＝ ，＝ ，＝ ，＝ ，推广＝ 。
2、复数是否可以比较大小？