2.4解直角三角形 学案（无答案） 2023--2024学年鲁教版九年级数学上册
文档属性
| 名称 | 2.4解直角三角形 学案（无答案） 2023--2024学年鲁教版九年级数学上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 162.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-03 19:55:16 | ||
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文档简介
鲁教版九年级上册数学
《解直角三角形》
【知识点巩固】
在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比，邻边与斜边之比也就确定．
正弦定义：∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即：sinA=
余弦定义：∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即：cosA=
正切定义：∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即：tanA=
锐角∠A的正弦、余斜、正切，统称为锐角∠A的三角函数，这些函数值都是正实数，而且0定义拓展：sin2A+cos2A=1；
tanA·cotA=1．
值 角 函 数 0° 30° 45° 60° 90°
sin
cos
tan 0 不存在
cot 不存在 0
①有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜＜90°时，
则0＜sin＜1； 0＜cos＜1 ； tan＞0 ； cot＞0.
②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；
余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A＜B＜90°时，则sinA＜sinB； tanA＜tanB；cosA＞cosB；cotA＞cotB；
特别地：若0°＜＜45°，则sinA＜cosA；tanA＜cotA；若45°＜A＜90°，则sinA＞cosA；tanA＞cotA.
1. 解直角三角形四类基本问题的方法是：
（1）已知斜边和一直角边（如斜边c，直角边a）：由sinA＝，求A, B＝90°－A， b＝
（2）已知斜边和一锐角（如斜边c，锐角A）： B＝90°－A，
a＝c·sinA， b＝c·cosA
（3）已知一直角边和一锐角（如a，A）：B＝90°－A，b＝a·cotA， c＝
（4）已知两直角边（如a，b）：c＝，由tanA＝，求A, B＝90°－A
2. 解直角三角形的思路是：
（1）解直角三角形的方法可以概括为“有弦（斜边）用弦（正弦，余弦），无弦用切（正切，余切），取原避中”其意指：
当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；
既可由已知数据又可由中间数据求解时，取原始数据，忌用中间数据.
（2）解含有非基本元素的直角三角形（即直角三角形的中线，高，角平分线，周长，面积等）一般将非基本元素转化为基本元素，或转化为基本元素间的关系式，再通过解方程组求解.
3. 解直角三角形在实际应用中的解题步骤如下：
（1）审题：要弄清仰角，俯角，坡度，坡角，水平距离，垂直距离，水平等概念的意义，要审清题意.
（2）画图并构造要求解的直角三角形，对于非直角三角形的图形可添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）.
（3）选择合适的边角关系式，使运算尽可能简便，不易出错.
（4）按照题中已知数的精确度进行近似计算，并按照题目要求的精确度确定答案及注明单位.
专题一 锐角三角函数
例1.三角形在正方形网格纸中的位置如图1所示，则sin的值是（ ）．
A． B． C． D．
例2 如图2，△ABC中，∠C=90°，AC+BC=7（AC>BC），AB=5，则tanB=______．
例3 在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=2AC，则cosA的值等于（ ）．
A． B． C． D．
专题训练：
1．在△ABC中，∠C=90°，AB=2，AC=1，则sinB的值是（ ）．
A． B． C． D．2
2．在△ABC中，∠C=90°，，则边AC的长是（ ）．
A． B．3 C． D．
3．如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．已知AC=，BC=2，那么sin∠ACD＝ （ ）．
A． B． C． D．
专题二 特殊角的三角函数值
例1 tan30°的值等于（ ）．
A． B． C． D．
例2 计算tan60°+2sin45°-2cos30°的结果是（ ）．
A．2 B． C． D．1
专题训练：
1．计算：｜－4sin45°｜+（cos60°－tan30°）=_____．
2．计算：sin30°+sin245°tan260°=______．
3．锐角A满足2sin（A－15°）=，则A=______．
4．如果，那么锐角的度数是（ ）．
A．15° B．30° C．45° D．60°
5．在△ABC中，∠C=90°，若∠B=2∠A，则cosB的值等于（ ）．
A． B． C． D．
专题三 直角三角形边角关系的应用
例1 如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，∠C=120°，AB=8，则CD的长为（ ）．
A． B． C． D．
例2 如图2，已知AD为等腰三角形ABC底边上的高，且，AC上有一点E，满足AE∶EC=2∶3．那么，tan∠ADE是（ ）．
A． B． C． D．
专题训练：
1．如图3，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD=_____．
2．如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，AC=，tan∠DAC=，则AB=（ ）．
A．5 B． C． D．
3．如图5，在△ABC中，∠B=60°，BC=2，中线CD⊥BC，求AB，tanA的值．
专题四 用锐角三角函数计算高度
例 小刘同学为了测量雷州市三元塔的高度，如图1，她先在A处测得塔顶C的仰角为32°，再向塔的方向直行35米到达B处，又测得塔顶C的仰角为60°，请你帮助小刘计算出三元塔的高度（小刘的身高忽略不计，结果精确到1米）．
专题训练：
1．如图2，在把易拉罐中水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为（ ）．
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
2． “平阳府有座大鼓楼，半截子插在天里头”．如图3，为测量临汾市区鼓楼的高AB，在距B点50m的C处安装测倾器，测得鼓楼顶端A的仰角为40°12′，测倾器的高CD为1.3m，则鼓楼高AB约为________m（tan40°12′≈0.85）．
专题五 用锐角三角函数解航海问题
例1 如图1，灯塔A周围1 000米水域内有礁石，一舰艇由西向东航行，在O处测得灯塔A在北偏东74°方向线上，这时O，A相距4 200米，如果不改变航向，此舰艇是否有触礁的危险？
例2 如图2，某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．
（1）试说明点B是否在暗礁区域外？
（2）若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．
专题训练：
1．如图3，一艘船向正东方向航行，在B处测得有一灯塔在它的北偏东30°，距离为72海里的A处．当行至C处测得灯塔恰好在它的正北方向，求此时它与灯塔的距离AC（计算结果精确到0.1海里）．
2．如图4，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁．一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行，行至A点处测得P在它的北偏东60°的方向，继续行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向． 问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险？
专题六 用三角函数设计测量方案问题
例 如图1，河边有一条笔直的公路L，公路两侧是平坦的草地．在数学活动课上，老师要求测量河对岸点B到公路的距离，请你设计一个测量方案．要求：
（1）列出你测量所使用的测量工具；
（2）画出测量的示意图，写出测量的步骤；
（3）用字母表示测得的数据，求出B到公路的距离．
专题训练：
在一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图3所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点 C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行20米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈，sin31°≈）
【达标检测】
一、选择题
1、如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那么tan∠BAD′等于（ ）
（A）1 （B）（C） （D）
2、如果是锐角，且，那么的值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
3、等腰三角形底边长为10cm，周长为36cm，那么底角的余弦等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
4、以下不能构成三角形三边长的数组是（ ）
（A）（1，，2） （B）（，，）
（C）（3，4，5） （D）（32，42，52）
5、在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子中正确的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
6、在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE=，且,AB = 4, 则AD的长为（ ）
（A）3 （B） （C） （D）
7、某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（ ）
（A）450a元 （B）225a元 （C）150a元 （D）300a元
8、已知α为锐角，tan（90°－α）=，则α的度数为（ ）
（A）30° （B）45° （C）60° （D）75°
9、在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，则sinA的值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
10、如果∠a是等边三角形的一个内角，那么cosa的值等于（ ）
（A） （B） （C） （D）1
二、填空题
11、如图，在△ABC中，若∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，则BC＝ .
12、如图，沿倾斜角为30的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB为 m.（精确到0.1m）
13、离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为，如果测角仪高为1.5米.那么旗杆的高为 米 （用含的三角函数表示）.
14、校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米.一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞__________米.
15、某校自行车棚的人字架棚顶为等腰三角形，D是AB的中点，中柱CD = 1米，∠A=27°，则跨度AB的长为 （精确到0.01米）.
三、解答题
(
C
A
D
B
)16、已知：如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若∠B＝30°，CD＝6，求AB的长.
17、如图，某公路路基横断面为等腰梯形.按工程设计要求路面宽度为10米，坡角为，路基高度为5.8米，求路基下底宽（精确到0.1米）.
《解直角三角形》
【知识点巩固】
在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比，邻边与斜边之比也就确定．
正弦定义：∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即：sinA=
余弦定义：∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即：cosA=
正切定义：∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即：tanA=
锐角∠A的正弦、余斜、正切，统称为锐角∠A的三角函数，这些函数值都是正实数，而且0
tanA·cotA=1．
值 角 函 数 0° 30° 45° 60° 90°
sin
cos
tan 0 不存在
cot 不存在 0
①有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜＜90°时，
则0＜sin＜1； 0＜cos＜1 ； tan＞0 ； cot＞0.
②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；
余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A＜B＜90°时，则sinA＜sinB； tanA＜tanB；cosA＞cosB；cotA＞cotB；
特别地：若0°＜＜45°，则sinA＜cosA；tanA＜cotA；若45°＜A＜90°，则sinA＞cosA；tanA＞cotA.
1. 解直角三角形四类基本问题的方法是：
（1）已知斜边和一直角边（如斜边c，直角边a）：由sinA＝，求A, B＝90°－A， b＝
（2）已知斜边和一锐角（如斜边c，锐角A）： B＝90°－A，
a＝c·sinA， b＝c·cosA
（3）已知一直角边和一锐角（如a，A）：B＝90°－A，b＝a·cotA， c＝
（4）已知两直角边（如a，b）：c＝，由tanA＝，求A, B＝90°－A
2. 解直角三角形的思路是：
（1）解直角三角形的方法可以概括为“有弦（斜边）用弦（正弦，余弦），无弦用切（正切，余切），取原避中”其意指：
当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；
既可由已知数据又可由中间数据求解时，取原始数据，忌用中间数据.
（2）解含有非基本元素的直角三角形（即直角三角形的中线，高，角平分线，周长，面积等）一般将非基本元素转化为基本元素，或转化为基本元素间的关系式，再通过解方程组求解.
3. 解直角三角形在实际应用中的解题步骤如下：
（1）审题：要弄清仰角，俯角，坡度，坡角，水平距离，垂直距离，水平等概念的意义，要审清题意.
（2）画图并构造要求解的直角三角形，对于非直角三角形的图形可添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）.
（3）选择合适的边角关系式，使运算尽可能简便，不易出错.
（4）按照题中已知数的精确度进行近似计算，并按照题目要求的精确度确定答案及注明单位.
专题一 锐角三角函数
例1.三角形在正方形网格纸中的位置如图1所示，则sin的值是（ ）．
A． B． C． D．
例2 如图2，△ABC中，∠C=90°，AC+BC=7（AC>BC），AB=5，则tanB=______．
例3 在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=2AC，则cosA的值等于（ ）．
A． B． C． D．
专题训练：
1．在△ABC中，∠C=90°，AB=2，AC=1，则sinB的值是（ ）．
A． B． C． D．2
2．在△ABC中，∠C=90°，，则边AC的长是（ ）．
A． B．3 C． D．
3．如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．已知AC=，BC=2，那么sin∠ACD＝ （ ）．
A． B． C． D．
专题二 特殊角的三角函数值
例1 tan30°的值等于（ ）．
A． B． C． D．
例2 计算tan60°+2sin45°-2cos30°的结果是（ ）．
A．2 B． C． D．1
专题训练：
1．计算：｜－4sin45°｜+（cos60°－tan30°）=_____．
2．计算：sin30°+sin245°tan260°=______．
3．锐角A满足2sin（A－15°）=，则A=______．
4．如果，那么锐角的度数是（ ）．
A．15° B．30° C．45° D．60°
5．在△ABC中，∠C=90°，若∠B=2∠A，则cosB的值等于（ ）．
A． B． C． D．
专题三 直角三角形边角关系的应用
例1 如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，∠C=120°，AB=8，则CD的长为（ ）．
A． B． C． D．
例2 如图2，已知AD为等腰三角形ABC底边上的高，且，AC上有一点E，满足AE∶EC=2∶3．那么，tan∠ADE是（ ）．
A． B． C． D．
专题训练：
1．如图3，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD=_____．
2．如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，AC=，tan∠DAC=，则AB=（ ）．
A．5 B． C． D．
3．如图5，在△ABC中，∠B=60°，BC=2，中线CD⊥BC，求AB，tanA的值．
专题四 用锐角三角函数计算高度
例 小刘同学为了测量雷州市三元塔的高度，如图1，她先在A处测得塔顶C的仰角为32°，再向塔的方向直行35米到达B处，又测得塔顶C的仰角为60°，请你帮助小刘计算出三元塔的高度（小刘的身高忽略不计，结果精确到1米）．
专题训练：
1．如图2，在把易拉罐中水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为（ ）．
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
2． “平阳府有座大鼓楼，半截子插在天里头”．如图3，为测量临汾市区鼓楼的高AB，在距B点50m的C处安装测倾器，测得鼓楼顶端A的仰角为40°12′，测倾器的高CD为1.3m，则鼓楼高AB约为________m（tan40°12′≈0.85）．
专题五 用锐角三角函数解航海问题
例1 如图1，灯塔A周围1 000米水域内有礁石，一舰艇由西向东航行，在O处测得灯塔A在北偏东74°方向线上，这时O，A相距4 200米，如果不改变航向，此舰艇是否有触礁的危险？
例2 如图2，某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．
（1）试说明点B是否在暗礁区域外？
（2）若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．
专题训练：
1．如图3，一艘船向正东方向航行，在B处测得有一灯塔在它的北偏东30°，距离为72海里的A处．当行至C处测得灯塔恰好在它的正北方向，求此时它与灯塔的距离AC（计算结果精确到0.1海里）．
2．如图4，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁．一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行，行至A点处测得P在它的北偏东60°的方向，继续行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向． 问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险？
专题六 用三角函数设计测量方案问题
例 如图1，河边有一条笔直的公路L，公路两侧是平坦的草地．在数学活动课上，老师要求测量河对岸点B到公路的距离，请你设计一个测量方案．要求：
（1）列出你测量所使用的测量工具；
（2）画出测量的示意图，写出测量的步骤；
（3）用字母表示测得的数据，求出B到公路的距离．
专题训练：
在一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图3所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点 C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行20米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈，sin31°≈）
【达标检测】
一、选择题
1、如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那么tan∠BAD′等于（ ）
（A）1 （B）（C） （D）
2、如果是锐角，且，那么的值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
3、等腰三角形底边长为10cm，周长为36cm，那么底角的余弦等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
4、以下不能构成三角形三边长的数组是（ ）
（A）（1，，2） （B）（，，）
（C）（3，4，5） （D）（32，42，52）
5、在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子中正确的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
6、在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE=，且,AB = 4, 则AD的长为（ ）
（A）3 （B） （C） （D）
7、某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（ ）
（A）450a元 （B）225a元 （C）150a元 （D）300a元
8、已知α为锐角，tan（90°－α）=，则α的度数为（ ）
（A）30° （B）45° （C）60° （D）75°
9、在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，则sinA的值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
10、如果∠a是等边三角形的一个内角，那么cosa的值等于（ ）
（A） （B） （C） （D）1
二、填空题
11、如图，在△ABC中，若∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，则BC＝ .
12、如图，沿倾斜角为30的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB为 m.（精确到0.1m）
13、离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为，如果测角仪高为1.5米.那么旗杆的高为 米 （用含的三角函数表示）.
14、校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米.一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞__________米.
15、某校自行车棚的人字架棚顶为等腰三角形，D是AB的中点，中柱CD = 1米，∠A=27°，则跨度AB的长为 （精确到0.01米）.
三、解答题
(
C
A
D
B
)16、已知：如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若∠B＝30°，CD＝6，求AB的长.
17、如图，某公路路基横断面为等腰梯形.按工程设计要求路面宽度为10米，坡角为，路基高度为5.8米，求路基下底宽（精确到0.1米）.