2023-2024学年苏科版数学八年级上册3.1勾股定理提高练习 学案（无答案）

3.1勾股定理提高练习
【学习目标】
1．掌握勾股定理证明模型的应用
2．掌握常见的勾股数及拓展
3. 掌握勾股树问题
4. 掌握勾股定理在网格中的运用
【典型例题】
类型一、勾股定理模型的运用
【例1】素有“千古第一定理”之称的勾股定理，它是人类第一次将数与形结合在一起的伟大发现，也是人类最早发现并用于生产、观天、测地的第一个定理，它导致了无理数的发现，引发了第一次数学危机，它使数学由测量计算转变为推理论证．在中国，也被称为“商高定理”，西方则称其为“毕达哥拉斯定理”，几千年来，太多的溢美之词给了这一定理，由于它迷人的魅力，人们冥思苦索给出了数百种证明方法，成为了证明方法最多的定理，其中，利用等面积法证明勾股定理最为常见，现有四名网友为证明勾股定理而提供的图形，其中提供的图形（可以作辅助线）能证明勾股定理的网友是________（填写数字序号即可）．
举一反三：
【变式1】我国是最早了解勾股定理的国家之一、据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式2】国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦.如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为______.
【变式3】如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式c2＝，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题
（1）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的长度．
（2）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．
【变式4】【方法探究】我们知道，通过不同的方法表示同一图形的面积可以探求相应的数量关系．
如图1，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，直角三角形的两条直角边长分别为a、b（a＜b），斜边长为c，大正方形的面积用两种方法可分别表示为 　 　、　 　，由此可发现a，b，c之间的数量关系为 　 　．
【方法迁移】将图1中的四个形状大小完全相同的直角三角形拼成图2，a，b，c之间仍然具有以上数量关系吗？请在图2中添加适当的辅助线，并加以说明．
类型二、常见的勾股数
【例2】我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数： ；
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为 ．
举一反三：
【变式1】在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．古希腊哲学家柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17…若此类勾股数的勾为（，m为正整数），则其弦（结果用含的式子表示）是（　　）
A． B． C． D．
【变式2】直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且，所以3，4，5是勾股数．观察下列各勾股数有哪些规律；
3，4，5； 9，40，41；
5，12，13； ……；
7，24，25； a，b，c．
(1)当a=11时，求b，c的值
(2)判断10，24，26是否为一组勾股数？若是，请说明理由．
【变式3】读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务．
若直角三角形的三边的长都是正整数，则三边的长为“勾股数”．构造勾股数，就是要寻找3个正整数，使它们满足“其中两个数的平方和（或平方差）等于第三个数的平方”．通过观察常见勾股数“3，4，5”；“5，12，13”；“7，24，25”……猜想当一组勾股数中（），最小数为奇数时，另两个正整数和满足比且，解得，．任务：
(1)请证明猜想成立，即证明，，构成勾股数．
(2)若一组勾股数中，最小数为9，则另两个数分别是________和________．
【变式4】若直角三角形的三边的长都是正整数，则三边的长为“勾股数”．构造勾股数，就是要寻找3个正整数，使它们满足“其中两个数的平方和（或平方差）等于第三个数的平方”，即满足以下关系：
（ ）2+（ ）2＝（ ）2；①
或
（ ）2﹣（ ）2＝（ ）2；②
要满足以上①、②的关系，可以从乘法公式入手，我们知道：
（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy．③
如果等式③的右边也能写成“（ ）2”的形式，那么它就符合②的关系．
因此，只要设x＝m2，y＝n2，③式就可化成：（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2＝（2mn）2．
于是，当m，n为任意正整数，且m＞n时，“m2+n2，m2﹣n2和2mn”就是勾股数，根据勾股数的这种关系式，就可以找出勾股数．
（1）当m＝2，n＝1时，该组勾股数是 　 　；
（2）若一组勾股数中最大的数与最小的数的和为72，且m﹣n＝1，求m，n的值；
（3）若一组勾股数中最大的数是2p2+6p+5（p是任意正整数），则另外两个数分别为 　 　，　 　（分别用含p的代数式表示）．
类型三、勾股树问题
【例3】勾股定理是我国古代的伟大数学发明之一．如图，以Rt△ABC（∠ABC=90°）的各边向外作正方形，得到三块正方形纸片，再把较小的两张正方形纸片放入最大的正方形中，重叠部分的面积记作，左下不重叠部分的面积记作，若=3，则的值是（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
举一反三：
【变式1】“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2023代勾股树中所有正方形的面积为 ．
【变式2】正方形ABCD的边长为1，其面积记为，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，···按此规律继续下去，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作两个正方形，计为②．依此类推…若正方形①的面积为16，则正方形③的面积是 ．
【变式4】如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4．若S1＝48，S2+S3＝135，则S4＝（　　）
A．183 B．87 C．119 D．81
类型三、勾股定理在网格中运用
【例4】如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，△ABC的顶点在格点上．
（1）直接写出AB＝　 　，BC＝　 　，AC＝　 　；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）直接写出AC边上的高＝　 　．
举一反三：
【变式1】如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则BC边长的高为（　　）
A． B． C． D．
【变式2】如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（　　）
A． B． C． D．
【变式3】如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点为格点，点，，为格点，点为与网格线的交点，则__________．
【变式4】如图，在的小正方形网格中，小正方形的边长均为，点A，B，C，D，E均在格点上，连接，．
（1）的大小为 （度）；
（2） （度）．