《勾股定理》教学设计
课题：§19.2-1勾股定理
授课教师： 陈宽
[教材所处的地位与作用]：
“勾股定理”是义务教育课程标准实验教科书（华师大版）八年级第十九章第二节内容。勾股定理是几何中几个重要的定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，由勾股定理及逆定理，能够把图形的特征（三角形中一个角是直角）转化成数量关系（三边之间满足c2=a2+b2），所以它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，不仅在生产、生活中用途很大，而且在其他自然科学中也被广泛地应用。
[教学目标]：
①知识目标：知道勾股定理的由来，掌握勾股定理，能够熟练地运用勾股定理由直角三角形的任意两边求得第三边．
②能力目标：在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法，培养学生的观察力、抽象概况能力、创造想象能力以及科学探究问题的能力。
③情感与态度目标：通过实践、猜想等操作使学生深刻感受数学知识的发生发展过程；介绍中国古代在勾股定理研究方面取得的伟大成就，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感，同时教育学生发奋图强，努力学习，为将来担负起振兴中华的重任打下基础。
[教学重难点]：
①教学重点：对勾股定理的探索及其简单应用；
②教学难点：运算技巧的获得。
[主要教学理念]：
①重视情景创设，注重知识从现实中来到现实中去的原则；
②突出数学学习内容的现实性、有价值性和富有挑战性；
③关注学生学习的过程，进行多元评价。
[学法指导]：
在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流方式，让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动口、动脑的能力，使学生真正成为学习的主体。
[教学方法]：
本节课选择引导探索法，由浅入深，由特殊到一般地提出问题。引导学生自主探索，合作交流。并利用教具与多媒体进行教学。
[创新教学设计]：
（一）情境创设：
出示希腊邮票
这张邮票是希腊政府1955年发行的，它是由三个棋盘排列而成。这张邮票是用来纪念希腊历史上一位对数学做出了杰出贡献的数学家——毕达哥拉斯。这张邮票的图案就是根据他发现的定理而设计的。
他究竟发现了什么？和这张邮票又有什么关系呢？
（二）新课探究：
1、探究活动一：
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°,分别以AC、BC、AB为边向三角形外作正方形。设小正方形格的面积为1，则三边之间有什么关系？
根据三角形的面积关系得出AC2+BC2=AB2
2、探究活动二：
如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°,分别以AC、BC、AB为边向三角形外作正方形。设小正方形格的面积为1，则三边之间有什么关系？
根据三角形的面积关系得出AC2+BC2=AB2
初步猜得结论：只要是直角三角形，都有AC2+BC2=AB2（AB为斜边）
3、探究活动三（学生自己动手做）：
在方格图中，用三角尺画出两条直角边分别为5，12的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立？
通过验证，结论依然成立。
4、探究活动四（教师演示几何画板课件）
利用几何画板对于一般情况下的直角三角形再进行演示，从而得到更一般的情况下也成立（说明即可，不要求学生知道为什么）
5、得出结论：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有：a2+b2=c2
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系：即在直角三角形中，已知其中任意两边，就可以计算出第三边的长。
6、介绍直角三角形各边名称：在古汉语里，人们将手臂弯曲成直角，上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。在直角三角形中，一般的,我们把较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
7、讲解例1：将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为2.16米，求梯子上端A到墙的底端B的距离AB.（精确到0.01米）。
8、练习1：在Rt△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b, ∠B=90°
（1）已知a=3，c=4，求b；
（2）已知a=6，c=8，求b；
（3）已知a=5，c=12，求b；
（4）已知a=7，c=24，求b；
（5）已知a=40，b=41，求c。
9、练习2：如果一个直角三角形的两条边长分别是3cm和4cm，那么这个直角三角形的周长是多少cm？
10、相关勾股知识介绍：加深学生对勾股定理的印象，介绍中国古代在勾股定理研究方面取得的伟大成就，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感，同时教育学生发奋图强，努力学习，为将来担负起振兴中华的重任打下基础。
（三）小结：畅谈所得，感悟提升；
（四）作业：1、动手画一棵漂亮的勾股数；2、作业本（二）19、2、1
[相关阅读材料]：
毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着是正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言；但这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下那些排列规则、美丽的方形磁砖，但毕达哥拉斯不只是欣赏磁砖的美丽，而是想到它们和数之间的关系，于是拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块磁砖以它的对角线 AB为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块磁砖的面积和．他很好奇， 于是再以3×4（12）块磁砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于25块磁砖的面积，也就是以两直角边为边作正方形面积之和．至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和．那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面．就这样毕达哥拉斯发现了勾股定理．
他发现勾股定理后高兴异常，命令他的学生宰了一百头牛来庆祝这个伟大的发现，因此勾股定理又叫做＂百牛定理＂．勾股定理流传最广的证明载于欧几里得（Euclid，是公元前三百年左右的人）的《几何原本》中，欧几里德在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为"毕达哥拉斯定理"，以后就流传开了．
图2
图1
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3(共20张PPT)
崧 厦 镇 中 欢 迎 您
一九五五年希腊发行的邮票
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勾 股 定 理（一）
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大正方形R的面积刚好等于两个小正方形P、Q的面积之和，即
AC2＋BC2＝AB2
毕达哥拉斯
地面上的磁转和数有没有关系呢……
A
B
R
P
Q
C
勾 股 定 理（一）
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正方形P的面积＝________平方厘米；
正方形Q的面积＝________平方厘米.
正方形R的面积＝________平方厘米.
AB2=BC2+AC2
9
16
25
如果把对角线AB画得长一点又会如何呢？
即：在Rt△ABC中
P
A
B
Q
R
C
是否所有的直角三角形的三条边都有这样的关系呢？
勾 股 定 理（一）
5
12
13
在方格图中，
用三角尺画
出两条直角
边分别为5，
12的直角三
角形，然后
用刻度尺量
出斜边的长，
并验证上述
关系对这个
直角三角形
是否成立？
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勾 股 定 理（一）
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a2+b2=c2
勾股定理
直角三角形两直角边的
平方和等于斜边的平方.
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
即在直角三角形中，任意已知其中的两边，就
可以计算出第三边的长。
这可以说明：对于任意的直角三
角形，如果它的两条直角边分别
为a、b，斜边为c，那么一定有：
a
c
b
A
B
C
勾 股 定 理（一）
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勾 股 定 理（一）
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
勾
股
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解 在Rt△ABC中,∠ABC=90゜,
BC=2.16, CA=5.41,
根据勾股定理得
≈4.96（米）
例1 、 如图，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为2.16米，求梯子上端A到墙的底端B的距离AB.（精确到0.01米）
A
B
C
答：梯子上端A到墙的底端B的距离
AB约为4.96米。
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1 . 在Rt△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b, ∠B=90°
（1）已知a=3，c=4，求b；
（2）已知a=6，c=8，求b；
（3）已知a=5，c=12，求b；
（4）已知a=7，c=24，求b；
（5）已知a=40，b=41，求c。
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2.如果一个直角三角形的两条边长分别是3cm和4cm，那么这个直角三角形的周长是多少cm？
勾 股 定 理（一）
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勾 股 定 理（一）
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勾股史话
我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角三角形，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五。即“勾三、股四、弦五”。它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中。在这本书中的另一处，还记载了勾股定理的一般形式。
1945年，人们在研究古巴比伦人遗留下的一块数学泥板时，惊讶地发现上面竟然刻有15组能构成直角三角形三边的数，其年代远在商高之后。
相传二千多年前，希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。
勾 股 定 理（一）
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勾股定理是一条古老而又应用十分广泛的定理。例如从勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方；用勾股定理求圆周率。据说4000多年前，中国的大禹曾在治理洪水的过程中利用勾股定理来测量两地的地势差。勾股定理以其简单、优美的形式，丰富、深刻的内容，充分反映了自然界的和谐关系。人们对勾股定理一直保持着极高的热情，仅定理的证明就多达四百多种，甚至著名的大物理学家爱因斯坦也给出了一个证明。中国著名数学家华罗庚在谈论到一旦人类遇到了“外星人”，该怎样与他们交谈时，曾建议用一幅反映勾股定理的数形关系图来作为与“外星人”交谈的语言。这充分说明了勾股定理是自然界最本质、最基本的规律之一，而在对这样一个重要规律的发现和应用上，中国人走在了前面。
勾 股 定 理（一）
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美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话
人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，
就把这一证法称为“总统”证法。
有趣的
“总统”‘证法
勾 股 定 理（一）
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古埃及人得到直角的方法
古埃及人曾用下面的方法得到直角:
用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结,两个助手分别握住第4个结和第8个结,拉紧绳子就得到一个直角三角形, 其直角在第4个结处.
勾 股 定 理（一）
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