从平面向量到空间向量 同步练习
【选择题】
1、下列说法中正确说法的个数是( )
①空间向量不在任一个平面内
②空间向量可用有向线段来表示
③空间向量与起点无关
④两个空间向量一定共面
A、1 B、2 C、3 D、4
2、两空间向量形成的夹角的范围是 ( )
A、 B、 C、 D、
3、下列说法中正确说法的个数是( )
①单位向量都相等
②相反向量有相同的模
③直线l的方向向量必然在直线l上
④一组共面向量最终可以平移到同一个平面内
A、1 B、2 C、3 D、4
【填空题】
4、空间向量是在空间中既有____________又有______________的量.
5、长度相等且方向相同的向量叫______________
6、空间向量的大小也叫作_________________
7、__________，__________
【解答题】
(注：从已标出的实线与虚线来找这些向量.)
参考答案
1、C 2、D 3、B
4、大小 方向
5、相等向量
6、空间向量的模或长度
7、
8、(1)
(2)
9、(1)
(2)
平面间的夹角 同步练习
【选择题】
1、矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为 （ ）
A． B． C． D．
2、如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：
①；
②；
③三棱锥D—ABC是正三棱锥；
④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直．
其中正确的是 （ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
3、若正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成的角为α，则下列各等式中成立的是 （ ）
A．0＜α＜ B．＜α＜ C．＜α＜ D．＜α＜
【填空题】
4、两个平面的夹角的范围是___________________________
5、设是直线，是平面，，向量在上，向量在上，，则所成二面角中较小的一个的大小为 ．
6、(ABC中(ACB=90(，PA(平面ABC，PA=2，AC=2，则平面PBC与平面PAC，平面ABC所成的二角的大小分别是______、______．
【解答题】
7、如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1，已知AB=，BB1=2，BC=1，
∠BCC1=，求：
二面角A—EB1—A1的平面角的正切值.
8、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上
一点，PE⊥EC.
已知
求二面角E—PC—D的大小.
9、如图，已知长方体
直线与平面所成的角为，垂直于
，为的中点.
求平面与平面所成的二面角；
参考答案
1、 C 2、 B 3、 D
4、[0o,90 o ]
5、
6、90 o，30 o
7、以B为原点，、分别为y、z轴建立空间直角坐标系.
由于BC=1，BB1=2，AB=，∠BCC1=，
在三棱柱ABC—A1B1C1中有
B（0，0，0），A（0，0，），B1（0，2，0），
，E
由已知有故二面角A—EB1—A1的平面角的大小为向量
的夹角.
8、以D为原点，、、分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系.
由已知可得D（0，0，0），P（0，0，，C（0，2，0）
作DG⊥PC，可设G（0，y，z）.由得
即作EF⊥PC于F，设F（0，m，n），
则
由，
又由F在PC上得
因故平面E—PC—D的平面角的大小为向量的夹角.
故 即二面角E—PC—D的大小为
9、解：在长方体中，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立如图示空间直角坐标系
由已知可得，
又平面，从而与平面所成的角为，又，，从而易得
易知平面的一个法向量设是平面的一个法向量，由
即所以即平面与平面所成的二面角的大小（锐角）为.
用向量讨论垂直与平行 同步练习
【填空题】
1、已知两条不同直线l1，l2的方向向量分别为，判断两直线的平行与垂直:
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)____________ (2) ____________ (3) ____________ (4) ____________
2、已知两个不同平面的法向量分别为，判断两平面的平行与垂直:
(1)
(2)
(1)____________ (2) ____________
3、已知直线l的方向向量为,平面的法向量为，且l,判断直线与平面是否平行与垂直：
(1) =(1,-4,-3), =(2,0,3)
(2) =(3,2,1), =(-1,2,-1)
(1)____________ (2) ____________
【解答题】
4、已知点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),求平面ABC的一个法向量.
5、已知平面经过三点A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),试求平面的一个法向量.
6、在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C,B1C1的中点,求证:MN//平面A1BD.
7、已知分别是空间四边形边的中点，
（1）用向量法证明：四点共面；
（2）用向量法证明：平面．
8、已知：如下图，PO、PA分别是平面α的垂线和斜线，OA是PA在α内的射影，aα，求证：a⊥PAa⊥OA.
参考答案
1、(1)垂直 (2)平行 (3) 垂直 (4) 平行
2、(1)垂直 (2) 平行
3、(1)既不平行也不垂直 (2) 平行
4、由已知得=(0,b,0)-(a,0,0)=(-a,b,0),
=(0,0,c)-(a,0,0)=(-a,0,c),
设平面ABC的一个法向量为=(x,y,z),则
=(x,y,z) ((-a,b,0)= -ax+by=0,
=(x,y,z) ((-a,0,c)= -ax+cz=0,
于是得
不妨设x=bc,则y=ac,z=ab.
因此，可取=(bc,ac,ab)为平面ABC的一个法向量.
5、平面的一个法向量=(2,1,0)
（注：如果设=(x,y,z),则可得x=2y,z=0 方法同上一题）
6、以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则可求得,D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0)于是
设平面A1BD的法向量是=(x,y,z).
则=0,且=0得
取x=1,得y= -1,z= -1,
又
平面A1BD.
7、略。
8、证明：设直线a上非零向量a，要证a⊥PAa⊥OA，即证a· =0a· =0.
∵aα，a· =0，∴a·=a·（+）=a·+a·=a·.
∴a·=0a·=0，即a⊥PAa⊥OA.
直线与平面的夹角 同步练习
【选择题】
1、若直线l的方向向量平面的一个法向量则( )
A、l//( B、l⊥( C、l?( D、l与(斜交
2、异面直线a、b所成的角为(，a、b与平面(都平行，b(平面(，则直线a与平面(所成的角 （ ）
A．与(相等 B．与(互余 C．与(互补 D．与(不能相等．
3、在正方体ABCD—A(B(C(D(中，BC(与截面BB(D(D所成的角为 （ ）
A． B． C． D．arctan2
【填空题】
4、直线与平面的夹角的范围为_________________________.
5、若直线l的方向向量平面的一个法向量则直线l与平面
所成角的正弦值等于________________________.
6、如图，在三棱锥P—ABC中，PA=PB=PC=BC，
且，则PA与底面ABC所成角为
.
【解答题】
7、正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为,
求AC1与侧面ABB1A1所成的角.
8、已知三棱柱ABC—A1B1C1中底面边长和侧棱长均为a，
侧面A1ACC1⊥底面ABC，A1B= a.
求证：A1B⊥面AB1C.
参考答案
1、B 2、 B 3、 C
4、[0o,90o]
5、
6、60 o
7、建立直角坐标系，则A(0,0,0),B(0,a,0),A1(0,0, ),
C1()
则有,,
设侧面A1B的法向量,
且
故
8、如图，建立坐标系，原点为BO⊥AC的垂足O.由题设条件可得B（ a，0，0），C1（0，a，a），A（0，－a，0），C（0，a，0），
（2）A1（0，0，a），B（a，0，0），∴ =（a，0，－a），
=（0，a，0），·=0.
∴A1B⊥AC.
∵ABB1A1为菱形，∴A1B⊥AB1.
又∵AB1与AC为平面AB1C内两条相交直线，∴A1B⊥平面AB1C.
直线间的夹角 同步练习
【选择题】
1、已知=(1,-1,2), =(0,1,2), 则与的夹角的余弦是( )
A、 B、 C、 D、
2、已知=(1,-1,), =(-1,1,), 则与的夹角是( )
A、30o B、60o C、90o D、0o
3、已知=(1,-1,2), =(-2,2,-4), 则与的夹角是( )
A、30o B、60o C、90o D、180o
4、在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是 （ ）
A． B． C． D．
【填空题】
5、两直线的夹角的范围是_______________________;
6、两向量的夹角的范围是______________________;
7、已知=(3,5,-4), =(2,1,8), 若(1+(2与z轴垂直，则(1，(2 满足的关系式为
________________________________.
8、已知是空间二向量，若的夹角为 .
【解答题】
9、已知空间四点A(0,1,0),,C(0,0,1) ,,求直线AB与CD所成的角的余弦.
10、已知四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，∠DAB=90°，PA⊥底面 ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点.
求AC与PB所成的角；
11、如图：已知正三棱柱ABC－A'B'C'的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点。 求异面直线AB'与BC'的夹角；
参考答案
1、 D 2、 C 3、 D 4、 B
5、[0o,90o]
6、[0o,180o]
7、(1-2(2 = 0
8、60o
9、解：
===.
10、因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为
A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），P（0，0，1），
因
11、异面直线AB'与BC'的夹角为arccos
空间向量基本定理 同步练习
【选择题】
1.下列命题正确的是 ( )
如果向量，与任何向量不能构成空间的基底，那么，不共线
B、如果，，是三个基向量，那么+，+，+，不能构成空间的一个基底
C、若，，不构成空间的一个基底，那么O，A，B，C四点共面
D、空间中的基底只有有限个
2．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若（ ）
A． B． C． D．
3.设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足
则△BCD是 （ ）
A. 钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定
4．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是 （ ）
A． B．
C． D．
5．若向量、（ ）
A． B．
C． D．以上三种情况都可能
【填空题】
6．已知点G是△ABC的重心，O是空间任一点，若为 .
7.若{}构成空间的一个基底，实数x,y,z满足，则x= ,y= ,z= .
8.已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若＝，
则x＋y＋z＝ ．
【解答题】
9.平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，，，，P，M，N分别是CA1，CD1，C1D1的中点，点Q在CA1上，CQ∶QA1=4∶1，试用基底{，，}表示以下向量：，，，。
10.已知空间四边形OABC，OA=OB，CA=CB，E，F，G，H分别是OA，OB，CB，CA的中点，求证：EFGH是矩形。
11.如图：已知正三棱柱ABC－A'B'C'的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点。 求异面直线AB'与BC'的夹角；
参考答案
1—5、CDCDB
6、3.
7、0，0，0.
8、 1.
9、=++
=++
=++
=++
10、略.
11、异面直线AB'与BC'的夹角为arccos
空间向量的运算 同步练习
【选择题】
1.对空间任意两个向量，（≠），∥的充要条件是 ( )
A、=λ B、=λ C、= D、=-
2.在空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则(+)等于( )
A、 B、 C、 D、
3.直三棱柱ABC—A1B1C1中，若，，， 则 （ ）
（A）（B）（C）（D）
4.设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足
则△BCD是 （ ）
（A）钝角三角形 （B）直角三角形 （C）锐角三角形 （D）不确定
5.若向量、（ ）
A． B．
C． D．以上三种情况都可能
6.若a、b均为非零向量，则是a与b共线的 （ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分又不必要条件
【填空题】
7.平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，+=____________ 。
8.如果两个向量，不共线，则与，共面的充要条件是____________。
9.已知G为△ABC的重心，O为空间任意一点，则用，，表示为____________。
10.空间四边形OABC，点M，N分别是OA，OB的中点，设=，，，则用，，表示的结果是____________。
11．已知是空间二向量，若的夹角为 .
【解答题】
12．已知两个非零向量不共线，如果，，，求证：共面
13．已知，，若，求实数的值
参考答案
1—6、 BCDCB A
7、.
8. =m+n，m、n∈R.
9. =(++).
10. (+-).
11、
12.证明：∵，，，
∴
∴共面
13. 解：∵ ∴
∴
∴.
空间向量运算的坐标表示 同步练习
【选择题】
1.正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是AA1和BB1的中点，则DM与D1N所成角的余弦值是 ( )
A、 B、 C、 D、
2．已知 （ ）
A．-15 B．-5 C．-3 D．-1
3.下列命题错误的是； ( )
A点（x，y，z）关于xoy平面的对称点是（x，y，-z）
B点（x，y，z）关于yoz平面的对称点是（-x，y，z）
C点（x，y，z）关于zox平面的对称点是（x，-y，z）
D点（x，y，z）关于原点的对称点是（-x，-y，z）
4. 已知向量=（2，-3，5）与向量=（3，）平行，则λ等于（ ）
A B C D
5.与向量a=(1,2,3),b=(3,1,2)都垂直的向量为（ ）
A (1,7,5) B (1,-7,5) C(-1,-7,5) D (1,-7,-6)
6.已知向量，，则a与b的夹角为 （ ）
（A）0° （B）45° （C）90° （D）180°
7.已知a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，5，λ），若a、b、c三向量共面，则实数λ等于 （ ）
（A） （B） （C） （D）
8.已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为 （ ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
9．已知（ ）
A． B．5，2 C． D．-5，-2
【填空题】
10.已知点A（3，-5，7），点B（1，-4，2），则的坐标是__________，AB中点坐标是__________。
11.已知A（3，2，1），B（1，0，4），则到A、B两点距离相等的点（x，y，z）的坐标所满足的条件是__________。
12．若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3,9)三点共线，则m+n= 。
13．已知A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5），++的坐标为 。
14.已知=（3，-3，-1），=（2，0，3），=（0，0，2），求·（+）=__________。
15.与xoy平面的距离为1的点（x，y，z）所满足的条件是_______________。
【解答题】
16.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是D1D，DB的中点，G在棱CD上，CG=CD，H是C1G的中点.(1)求证：EF⊥B1C;(2)求EF与C1G所成角的余弦值;(3)求FH的长.
17.长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2AA1=2BC，E为C1D1中点，求证：DE⊥平面EBC。
18.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为CD的中点
（1）求证：EB1⊥AD1；（2）求D1E与A1C所成角的余弦值.
参考答案
1-9、BADCC CDBA
10、（-2，1，-5），（2，）
11、4x+4y-6z+3=0.
12、0.
13、(2,-6,4)
14、1.
15、 z=±1
16. (1)略 (2) (3)
17．提示：可证明向量DE与向量CE和向量BC都垂直。
18. D1E与A1C所成角的余弦值为
距离的计算 同步练习
【选择题】
1、如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面
A1B1C1D1的中心，则O到平面AB C1D1的距离为 （ ）
A、 B、 C、 D、
2、正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，E是CC1的中点，则E到A1B的距离是（ ）
A. a B. a C. a D. a
3、在(ABC中，AB=AC=5，BC=6，PA⊥平面ABC，PA=8，则P到BC的距离是( )
A、 B、4 C、3 D、2
【填空题】
4、如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，
A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是 .
5、与xoy平面的距离为1的点（x，y，z）所满足的条件是_______________
6、如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，
A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是 .
【解答题】
7、如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.
（Ⅰ）求BF的长；
（Ⅱ）求点C到平面AEC1F的距离.
8、如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AD上移动.
（1）证明：D1E⊥A1D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为.
参考答案
1、B 2、D 3、B
4、
5、z=±1
6、
7、（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），
C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.设F（0，0，z）.
∵AEC1F为平行四边形，
（II）设为平面AEC1F的法向量，
的夹角为a，则
∴C到平面AEC1F的距离为
8、以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）
因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，
，设平面ACD1的法向量为，则
也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离为
