综合学习与测试(一)
说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共30分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1．下列语句中是命题的是（ ）
（A）语文和数学 （B）sin45°=1
(C)x2+2x-1 （D）集合与元素
2．下列语句中的简单命题是（ ）
（A）不是有理数 （B）ABC是等腰直角三角形
（C）3X+2<0 （D）负数的平方是正数
3．已知下列三个命题
方程x2-x+2=0的判别式小于或等于零；②矩形的对角线互相垂直且平分；③2是质数，其中真命题是（ ）
（A）①和② （B）①和③ （C）②和③ （D）只有①
4．命题：“方程X2-2=0的解是X=”中使用逻辑联系词的情况是（ ）
（A）没有使用逻辑联结词 （B）使用了逻辑联结词“且”
（C）使用了逻辑联结词“或” （D）使用了逻辑联结词“非”
5．语句或的否定是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
6．使四边形为菱形的充分条件是（ ）
（A）对角线相等 （B）对角线互相垂直
（C）对角线互相平分 （D）对角线垂直平分
7．若b>0,则（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件
8．一个整数的末位数字是2，是这个数能被2整除的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
9．已知 （ ）
A．-15 B．-5 C．-3 D．-1
10.与向量a=(1,2,3),b=(3,1,2)都垂直的向量为（ ）
A (1,7,5) B (1,-7,5) C(-1,-7,5) D (1,-7,-6)
第Ⅱ卷(非选择题 共70分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
11．命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是____________________________.
12．命题“a,b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是 。
13．若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3,9)三点共线，则m+n= .
14．A：x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a0)的两实数根；B：x1+x2=-,
则A是B的 条件。
三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分10分)将下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出其逆命题、否命题、逆否命题。
正数a的平方根不等于0；
(2)两条对角线不相等的平行四边形不是矩形。
16. (本小题满分10分)求证：关于x的一元二次不等式ax2-ax+1>0对于一切实数x都成立的充要条件是0
17．(本小题满分10分)已知，，若，求实数的值
18.(本小题满分12分)设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a<0;q:实数x满足x2-x-6≤0或x2+2x-8>0,且p是q的必要不充分条件,求a的取值范围.
19.(本小题满分12分)已知关于x的方程(1-a)x2+(a+2)x-4=0,a∈R,求：
(1)方程有两个正根的充要条件；
(2)方程至少有一正根的充要条件.
参考答案
第Ⅰ卷(选择题 共30分)
1、B 2、D 3、B 4、C 5、D 6、D 7、B 8、A 9、A 10、C
第Ⅱ卷(非选择题 共70分)
11. 所有的三角形都有外接圆
12. a+b不是偶数，则a、b不都是奇数
13. 0
14. 充分而不必要条件
15．（1）“若a是正数，则a的平方根不等于0”逆命题是：“若a的平方根不等于0，则a是正数”，否命题是“若a不是正数，则它的平方根等于0，”逆否命题：“若a的平方根等于0，则a不是正数”。
（2）“若平行四边形的两条对角线不相等，则它不是矩形”，逆命题是：“若平行四边形不是矩形，则它的两条对角线不相等”，否命题是“若平行四边形的两条对角线相等，则它是矩形逆否命题是：“若平行四边形是矩形，则它的两条对角线相等。”
16.(1)必要性：若ax2-ax+1>0对x恒成立，由二次函数性质有：
即 ∴0(2)充分性：若00 ∴ax2-ax+1>0(XR)恒成立。
由（1）（2）命题得证。
17. 解：∵ ∴
∴
∴
18.分析:将必要不充分条件转化为集合之间的包含关系,从而列出a所满足的不等式去求解.
解法一:设A={x|x2-4ax+3a2<0,a<0}={x|3aB={x|x2-x-6≤0或x2+2x-8>0}={x|-2≤x≤3}∪{x|x<-4或x>2}={x|x<-4或x≥-2}.
∵p是q的必要不充分条件,
∴qp,且pq,
即{x|q}{x|p}.
而{x|q}=RB={x|-4≤x＜-2},{x|p}=RA={x|x≤3a或x≥a,a<0},
∴{x|-4≤x＜-2}{x|x≤3a或x≥a,a<0}.
则或
即-≤a＜0或a≤-4.
解法二:本题也可依据四种命题间的关系进行等价转化.
由p是q的必要不充分条件,转化成它的逆否命题q是p的必要不充分条件,即p是q的充分不必要条件,也就是pq且qp.
化简条件p得,A={x|3a由AB,得或
解得a≤-4或-≤a＜0.
19.解:方程有两个实根的充要条件是
即
即a≥10或a≤2且a≠1.
(1)设此方程的两个实数根为x1、x2,则方程有两个正根
解得1＜a≤2或a≥10.
∴1＜a≤2或a≥10是方程有两个正根的充要条件.
(2)①由(1)可知,当a≥10或1＜a≤2时，方程有两个正根；
②方程有一正根一负根的充要条件是
x1x2<0<0,即a<1.
③当a=1时，方程可化为3x-4=0,有一正根x=.
综上①②③,可知方程(1-a)x2+(a+2)x-4=0至少有一正根的充要条件是a≤2或a≥10.
(后注：期中测试的考察范围：第一章和第二章前三节。)
综合学习与测试(二)
说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共30分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1、已知命题p:“一次函数的图象是一条直线”，命题q：“函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数)的图象是一条抛物线”.则下列四种形式的复合命题中真命题是 （ ）
①非p ②非q ③p或q ④p且q
A.①② B.①③ C.②③ D.③④
2、下列命题是假命题的是 （ ）
命题“若则全为0”的逆命题；
命题“全等三角形是相似三角形”的否命题；
命题“若则有实数根”的逆否命题；
命题“中，如果，那么” 的逆否命题；
3、下列命题是真命题的是 （ ）
A，“”是“”的充分条件；B，“”是“”的必要条件；
C，“”是“” 的充分条件；D，“”是“”的充要条件。
4、已知条件p:x+y≠-2，条件q:x≠-1且y≠-1，则p是q的 （ ）
A.充要条件
B.既不充分也不必要条件
C.充分不必要条件
D.必要不充分条件
5、如果不等式|x-a|＜1成立的充分不必要条件是＜x＜，则实数a的取值范围是( )
A. ＜a＜ B. ≤a≤
C.a＞或a＜ D.a≥或a≤
6、在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是 （ ）
A． B． C． D．
7、已知=（2，-1，3），=（-4，2，x），若与夹角是钝角，则x取值范围是 ( )
A、（-∞，） B、（-∞，2） C、（，+∞） D、（-∞，）
8、抛物线y=－2x2的准线方程 ( )
（A）y= （B）x= （C）y= （D）y=
9、过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于P(x1, y1), Q(x2, y2)两点，若x1+x2=6，则|PQ|的值为 ( )
（A）10 （B）8 （C）6 （D）5
10、 P是长轴在x轴上的椭圆+＝1上的点，F1、F2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c，则｜PF1｜·｜PF2｜的最大值与最小值之差一定是( )
（A） 1 （B） a2 （C）b2 （D）c2
第Ⅱ卷(非选择题 共70分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
11、命题：“a,b是整数”是命题：“有且仅有整数解”的 条件。
12、=（2，-3，），=（1，0，0），则与夹角为__________
13、若实数x, y满足(x－2)2+y2=1，则的取值范围是 ．
14、点P是双曲线x2－y2=2上的动点，F是它的右焦点，则线段PF的中点M的轨迹方程_________________________。
三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15、(本小题满分10分)已知方程ax2+bx+c=0，且a、b、c都是奇数，求证：方程没有整数根.
16、(本小题满分10分)平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，，，，P，M，N分别是CA1，CD1，C1D1的中点，点Q在CA1上，CQ∶QA1=4∶1，试用基底{，，}表示以下向量：，，，。
17、(本小题满分10分)已知椭圆的方程为，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点 .
（1）求弦AB的长
（2）求左焦点F1到AB中点M的距离.
18、（本小题满分12分）
已知四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，∠DAB=90°，PA⊥底面 ABCD，且PA=AD=DB=AB=1，M是PB的中点.
（1）证明：面PAD⊥面PCD；
（2）求AC与PB所成的角；
（3）求面AMC与面BMC所成二面角的大小.
19、（本小题满分12分）双曲线的焦点距为2c，直线过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线的距离与点（－1，0）到直线的距离之和求双曲线的离心率e的取值范围.
参考答案
第Ⅰ卷(选择题 共30分)
1、C 2、B 3、D 4、B 5、B 6、B 7、A 8、C 9、B 10、D
第Ⅱ卷(非选择题 共70分)
11. 必要不充分条件
12. 60o
13. [－, ] .
14. 2(x－1)2－y2=1 .
15、证明:设x0是方程的整数根，则ax02+bx0+c=0.※
若x0是奇数，则ax02、bx0、c均为奇数,
∴ax02+bx0+c为奇数，这和※式矛盾.
若x0是偶数，则ax02、bx0是偶数.
∵c为奇数，
∴ax02+bx0+c仍为奇数，这和※式矛盾.
∴x0不是整数，即方程没有整数根.
16、=++
=++
=++
=++
17、解： a=3,b=1,c=2,：y=(x＋2)即x=y－2. （2）
将其代入x2＋9y2－9=0.得12y2－4y－1=0,y1＋y2=,∴.
∴|AB|=. （6）
|F1M|==×=. （10）
18、方法一：
（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，
∴由三垂线定理得：CD⊥PD.
因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，
∴CD⊥面PAD.
又CD面PCD，∴面PAD⊥面PCD.
（Ⅱ）解：过点B作BE//CA，且BE=CA，
则∠PBE是AC与PB所成的角.
连结AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，
所以四边形ACBE为正方形. 由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°
在Rt△PEB中BE=，PB=，
（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足为N，连结BN.
在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，
∴△AMC≌△BMC,
∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角.
∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，
在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM.
在等腰三角形AMC中，AN·MC=，
. ∴AB=2，
故所求的二面角为
方法二：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为
A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，.
（Ⅰ）证明：因
由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD.
又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD.
（Ⅱ）解：因
（Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在使
要使
为所求二面角的平面角.
19、 解：直线的方程为，即 (3)
由点到直线的距离公式，且，得到点（1，0）到直线的距离
， (5)
同理得到点（－1，0）到直线的距离 (7)
(9)
由 即
于是得 (12)
解不等式，得 由于
所以的取值范围是 (14)
