变化的快慢与变化率 同步练习
1．在曲线的图象上取一点（1,2）及邻近一点（1+Δx,2+Δy）,则为（ ）
A． B．
C． D．
２．物体的运动规律是，物体在时间内的平均速度是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．当时，
３．一质点的运动方程是，则在一段时间内相应得平均速度为：（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
４．在求平均变化率中，自变量的增量（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
５．将半径为的球加热，若球半径增加，则球的体积增量等于（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
６．若物体的位移公式为，从到，这段时间内，下列说法错误的是（ ）
Ａ．叫做物体的位移
Ｂ．叫做位置增量
Ｃ．叫做这段时间内物体的平均速度
Ｄ． 一定与无关
７．求在到之间的平均变化率。
８．求在区间内的平均变化率。
９．求在到之间的平均变化率。
１０．国家环保总局对长期超标准排放污物，污染严重而又未进行治理的单位，规定出一定期限，强令再次期限内完成排污治理。下图是国家环保总局在规定的排污达标日期前，对甲乙两企业连续检测的结果（W表示排污量），哪个企业治理得比较好？为什么？
１１．高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度为
试估计在下列时刻运动员高度的瞬时变化率：
（1） t = 1 ； （2）t = 2.1 。
参考答案
１．答案：C
解析： ．
２．答案：Ｂ
３．答案：Ｄ
解析：
４．答案：Ｄ
解析：是自变量的改变量，他可以大于零也可以小于零，但不能等于零。
５．答案：Ｂ
解析：。
６．答案：Ｄ
７．解析：
８．解析：
９．答案：
１０．答案：甲企业的排污效果显著，因为同样的时间内它排污量降低的多（函数值减小的快）。
１１．答案：（１） ； （２） （过程略）。
导数的乘除法法则 同步练习
1. 函数的导数是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2. 函数的导数为（ ）
A. B. C. D.
3. 函数的导数为（ ）
A. B.
C. D.
4. 函数的导数为
A. B.
C. D.
5. 下列求导数运算正确的是
A.（x+)′=1+ B. (log2x)′=
C. (3x)′=3xlog3e D. (x2cosx)′= －2xsinx
6. 求下列函数的导数：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4）
7. 求下列函数的导数：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5）
8. 求下列函数的导数：
（1） ； （2） ；
（2） ； （4）
9. 质点运动方程是 ，求当时的瞬时速度。
10. 求函数在点处的切线斜率。
参考答案
1. 答案：C
2. 答案：D
3. 答案：B
4. 答案：A
5. 答案：B
6. 解析：（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
7. 解析：（1）原式；（2）原式；
（3）原式；（4）原式；
（5）原式
8. 解析：（1） ；
（2）；
（3）
（4）
9. 解析：，所以。
10. 解析：，。
导数的几何意义 同步练习
１．曲线在点处的切线方程为：（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
２．若 ，则过曲线上点处的切线斜率为：（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
３．在点处的切线倾斜角为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
４．曲线过点，则该曲线在该点的切线方程是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
５．抛物线在点处的切线与其平行直线的距离是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
６．函数在点处的切线方程为＿＿＿＿＿。
７．曲线与直线相切，则。
８．若曲线上某点切线的斜率为，求此点坐标。
９．曲线过点的切线与曲线相切，求点坐标。
１０．求曲线在点处切线的倾斜角。
１１．求与的交点和交点处抛物线的切线方程。
参考答案
Ｂ； 。
Ｂ； 根据导数定义。
Ｂ； 由可得。
Ｃ； 由得，再由可得。
Ｃ；抛物线过，所以；又，又由题意，得；
所以得切线方程；所以平行直线与的距离为。
解析：，所以，切线方程为。
解析：切点设为，则，得，切点，所以
。
解析：，所以，切点为。
解析：则切线方程为，此直线与相切（只有１个交点），所以联立方程组可求得，所以。
解析：，又，所以
。
，；，。
解析：在交点处，，切线方程为；同理可求得另一交点处切线为。
导数的加减法法则 同步练习
1. （ ）
A. B. C. D.
2. （ ）
A. B. C. D.
3. （ ）
A. B. C. D.
4. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 曲线上点M处的切线与直线垂直，则切线方程为（ ）
A. B.
C. 或
D. 或
6. 求导数：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4）
7. 求过曲线上点，且与过这点的切线垂直的直线方程。
8. 已知函数在处的函数值为90，导数值为63，求a、b。
9. 已知两曲线都与直线相切，求的方程。
参考答案
答案：C 。
答案：B 。
答案：C 。
答案：B 。
答案：D 。切线斜率，设，得；所以切点，故切线方程为：或。
解析：（1） ；（2） ∴；
（3） ； （4） 。
解析：，则，故过点P且与切线垂直的直线斜率为，故所求方程为：。
解析：，所以，解得或
解析：设，
设与的切点分别为，由两点式得①，又因为②，
所以联立①②，可求得或，
当时，，切线方程为；当时，，切线方程为。
导数的概念 同步练习
1．设,若,则的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．设函数在处有导数，则 （ ）
A．与都有关
B．仅与有关而与无关
C．仅与有关而与无关
D．与均无关
３．下列各式中正确的是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
４．设，若，则（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．不确定
５．设，则（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．不存在
６．（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
７．，则_________。
８．在处的瞬时变化率为______。
９．某质点运动方程是，求质点在时的瞬时速度。
１０．一正方形铁板在时，边长为，加热后会膨胀，当温度为时，边长变为，为常数，试求铁板面积对温度的膨胀率。
参考答案
１．解析：,，所以。
答案：D
答案：B
答案：Ｃ，注意灵活运用导数的定义式。
４．答案：Ａ
５．答案：Ｃ
６．答案：Ｃ
解析：根据极限的性质可知：
。
７．解析：
∵ ∴原式。
８．解析：，∴应填。
９．解析：。
１０．解析：。
第二章 变化率与导数 同步练习(一)
1. 某地某天上午9：20的气温为23.40℃，下午1：30的气温为15.90℃，则在这段时间内气温变化率为（℃/min） （ ）
A. B. C. D.
2. （ ）
A. B. C. D.
3. 若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为
A． B．
C． D．
4. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 曲线过点的切线方程是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知，则( )
A. B.
C. D.
7. 设分别表示正弦函数在附近的平均变化率，则（ ）
A. B. C. D.
8. 函数的导数是（ ）
A. B.
C. D.
9. 过点（－1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为( )
A. B.
C. D.
10. 函数的导数为（ ）
A. B.
C. D.
11. 曲线过点的切线方程是_____________。
12. 曲线与在交点处切线的夹角是_____________。
13. 求导：（1），则；
（2），则。
14. 函数的导数是__________。
15. 设是二次函数，方程有两个相等的实根，且，求的表达式。
16. 已知函数的图像都过点，且在点处有公共切线，求的表达式。
17. 设曲线在点的切线为，在点的切线为
，求。
18. 设函数，已知是奇函数，求、的值。
19. 已知曲线，求上斜率最小的切线方程。
参考答案
1. B
2. B
3. A
4. C
5. D
6. B
7. C
8. D
9. D
解析：，设切点坐标为，则切线的斜率为，且，
于是切线方程为，因为点在切线上，可解得
或，代入可验证D正确。
10. C
11. ；
12. 。
联立方程得，得交点，而
，
由夹角公式得。
13.（1） ；（2） 。
14. 。
15. 。
解析：设，则 解得，所以。
16. 。
解析：由题意知，得。
17.
解析：由列式求得。
18. ∵，∴。从而＝是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得。
19. ，所以最小切线斜率为，当时取到。
进而可得切点，得切线方程为：。
第二章 变化率与导数 同步练习(二)
1. 曲线y=x3－3x2+1在点（1，－1）处的切线方程为（ ）
A．y=3x－4 B．y=－3x+2 C．y=－4x+3 D．y=4x－5
2. 函数在处的导数为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，已知质点在半径为的圆上做匀角速度运动（逆时针），角速度，设为起点，则在时刻时，点在轴上的摄影点的速度是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知函数的图像上一点（-1，-2）及邻近一点（则（ ）
A．3 B. C. D.
5. 汽车在笔直公路上行驶，如果表示时刻的速度，则的意义是（ ）
A. 表示当时汽车的加速度
B. 表示当时汽车的瞬时速度
C. 表示当时汽车的路程变化率
D. 表示当时汽车与起点的距离
6. 若曲线 与在处的切线互相垂直，则的值为
A． B. C. D. 或
7. 如图，当点沿着曲线趋近于点时，函数从点到点的平均变化率的大小关系是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
8. 已知命题的导函数是常数函数，且命题是的必要不充分条件，则不可能是（ ）
A. B. C. D.
9. 函数的导数为（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 函数的导数为，则。
11. 已知曲线y=x3+，则过点P（2，4）的切线方程是_____________。
12. 过点P（－1，2）且与曲线y=3x2－4x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是______。
13. 函数y=x2的曲线上点A处的切线与直线3x－y+1=0的夹角为45°，则点A的坐标为___________。
14. 半径为r的圆的面积S(r)＝r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，
则(r2)′＝2r ①， ①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：
②，
②式可以用语言叙述为： 。
15. 已知曲线,求
⑴曲线上与平行的切线的方程；
⑵过点P（0，5）且与曲线相切的切线方程。
16. 曲线y=x3在点（3，27）处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是多少?
17. 已知曲线C：y=x3－3x2+2x，直线l：y= kx，且直线l与曲线C相切于点（x0，y0）（x0≠0），求直线l的方程及切点坐标。
18. 点P在曲线y=x3－x+上移动，设点P处切线的倾斜角为，求的范围。
19. 曲线y=x3+3x2+6x－10的切线中，求斜率最小的切线方程。
20. 已知，又，且，
，求。
参考答案
1. B
2. C
3. C
4. D
5. A
6. B
7. A
由直线的倾斜角与斜率的大小关系可得A。
8. B
9. D
10. 3
析：由于 ，
则 解得
11. 4x－y－4=0
12. 2x－y+4=0
13.（，）或（－1，1）
解析：设点A的坐标为（x0,y0），
则，又直线3x－y+1=0的斜率k2=3，
∴tan45°= 1 ==
解得 x0= 或 x0=－1
即A点坐标为（，）或（－1，1）。
14. 由于，又。 所以填，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。”
15. （1）得，代入函数方程得切点，
切线方程为，即
（2）设切点，则切线方程为，所以有，
又因为，联立得切点坐标，切线方程为。
16. 解析：曲线在点（3，27）处切线的方程为y=27x－54，
此直线与x轴、y轴交点分别为（2，0）和（0，－54），
∴切线与坐标轴围成的三角形面积是S=×2×54=54。
17. 解析：∵直线过原点，则k=（x0≠1），
由点（x0，y0）在曲线C上，则y0=x03－3x02+2x0，又点（x0，y0）在直线y=kx上，
∴k==x02－3x0+2
又y′=3x2－6x+2，
∴在（x0，y0）处曲线C的切线斜率应为k=（x0）=3x02－6x0+2
∴x02－3x0+2=3x02－6x0+2
整理得2x02－3x0=0
解得x0=（∵x0≠0）
这时，y0=－，k=－
因此，直线l的方程为y=－x，切点坐标是（，－）。
18. 解：∵tan=3x2－1，
∴tan∈［－1，+∞）
当tan∈［0，+∞）时，∈［0，）
当tan∈［－1，0）时，∈［，）
∴ ∈［0，）∪［，）
19. 解：=3x2+6x+6=，
∴ 当x =－1时 切线最小斜率为3,
此时 y=（－1）3+3×（－1）2+6（－1）－10=－14
∴切线方程为y+14=3（x+1），即3x－y－11=0。
20. 解：由题意知
解得
所以。
简单复合函数的求导法则 同步练习
1. 函数的导数为（ ）
A. B.
C. D.
2. 函数的导数是（ ）
A. B. C. D.
3. 函数的导数为 （ ）
A. B.
C. D.
4. 函数的导数为 （ ）
A. B.
C. D.
5. 曲线y=sin3x在点P（,0）处切线的斜率为___________。
6. 函数的导数是 。
7. 函数y=的导数为 。
8. 求下列函数的导数：（1） （2）
9. 求曲线在点处的切线方程。
10. 已知，且，求的值。
参考答案
1. 答案：A
2. 答案：C
3. 答案：B
4. 答案：A
5. 解析：。
6. 解析：。
7. 解析：
8. 解析：（1） ；（2） 。
9. 解析：，所以，切线方程为：
。
10. 解析：，所以，即……①；
又，所以，即……②；
由知……③；
联立①②③，可得。
计算导数 同步练习
1. 函数在处和处的导数之间的关系是（ ）
A. B.
C. D. 以上都不对
2. 两车在十字路口相遇后，又沿不同方向继续前进，已知A车向北行驶，速率为30 km/h，B车向东行驶，速率为40 km/h，那么A、B两车间直线距离的增加速率为
A. 50 km/h B. 60 km/h C. 80 km/h D. 65 km/h
3. 与直线平行且与抛物线相切的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
4. 函数在处的导数是（ ）
A. B. C. D.
5. （ ）
A. B. C. D.
6. 已知，求。
7. 若曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标。
8. 已知曲线在点处的切线方程。
9. 求与曲线相切且与垂直的切线方程。
10. 曲线在处的导数是，求。
11. 求曲线在点处的切线方程。
12. 路灯距地平面为8 m,一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速率在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C，沿某直线离开路灯，求人影长度的变化速率v。
答案：B；计算得，将数值和代入即可得到。
2. 答案：A；
3. 答案：D；可求得，则，得切点为，故所求方程为。
4. 答案：D；
5. 答案：D；
，所以，而，所以选D。
6. 解析：
或求，将代入。
7. 解析：切线与直线平行，所以斜率为，而曲线的导函数为，所以，得。所以，切点是。
8. 解析：，所以切线方程为
9. 解析：所求切线斜率为，由于，故，切点，所求切线方程为。
10. 解析：由导数公式，所以，所以。
11. 解析：由于，所以，
切线方程为。
12. 解析：如图，路灯距地平面的距离为DC，人的身高为EB。
设人从C点运动到B处路程为x米，时间为t(单位：秒)，AB为人影长度，设为y，则，
∴
又84 m/min=1.4 m/s
∴y=x=t(x=1.4t)
∵y′=
∴人影长度的变化速率为 m/s。
