函数的极值 同步练习
1. 已知函数的极值情况是（ ）
A. 有极小值 B. 有极大值 C. 既有极大值又有极小值 D. 无极值
2. 函数的极值情况是（ ）
A. 有极大值，无极小值
B. 有极小值，无极大值
C. 既无极大值也无极小值
D. 既有极大值又有极小值
3. 三次函数当时有极大值，当时有极小值，且函数过原点，则此函数是（ ）
A. B.
C. D.
4. 函数在时有极值，则的值分别为（ ）
A. 或 B. 或
C. D. 以上都不对
5. 下列函数存在极值的是（ ）
A. B. C. D.
6. 函数的极大值点为（ ）
A. B. C. D.
7. 求函数的极值。
8. 函数既有极大值又有极小值，求实数的取值范围。
9. 函数的单调区间，并求极值。
10. 函数在处取得极值，求函数解析式和极值。
参考答案
1. 答案：B
2. 答案：D
3. 答案：B ；验证即可。
4. 答案：A ；由可得。
5. 答案：D
6. 答案：D
7. 解析：得，可求得得极大值为，极小值为。
8. 解析：由题意知有两个不等实根，既，解得或。
9. 解析：由得，又当时导数不存在，列表如下
↗
↗
↘
↗
由表知单调增区间为与；单调减区间为。
极大值为，极小值为。
10. 解析：（1），由解得。
故。
（2），可得当时单调增，当时单调减。
故极大值为，极小值为。
实际问题中导数的意义 同步练习
1. 已知成本（元）与产量的函数关系是，求当产量时的边际成本。
2. 雨滴在空气中下落，当速率在不太大的范围内时，雨滴所受的阻力大小与其速率成正比，该速率v随时间t做怎样的运动？从图1所示的4 幅图中选取一个最恰当的答案。
3. 加工原油时，原油的温度与时间的函数关系为
，
求，并说明它们的意义。
4. 吹气球时，气球的体积与半径之间的函数关系是，求当半径在时体积的瞬时变化率。
5. 某运动员做高台跳水运动，他相对于水面的高度与起跳后的时间的关系为：
求，并说明其意义。
参考答案：
边际成本为90001元；
本题即求的极限值：。
B ；解析：瞬时加速度， 某时刻图线v=f（t）的切线的斜率就是该时刻
v=f（t）的导数，等于该时刻雨滴的瞬时加速度。
由牛顿第二定律：
随着雨滴阻力f=kv的逐渐增大，加速度逐渐减小，Δt→+∞时，a=0，曲线的斜率为零，即随着时间的推移，曲线切线的斜率越来越小，切线越来越接近平行于横轴的一条直线。所以正确的选项应为B。
3. ，说明在第2h附近，原油温度大约以的速率下降；，说明在第6h附近，原油温度大约以的速率上升。
4. 。
5. 说明运动员在第2s时的瞬时速度为0，，说明运动员在第3s时大约以的速度下降。
最值问题 同步练习
1. 函数（ ）
A. 最大值为，最小值为 B. 最大值为，无最小值
C. 最小值为，无最大值 D. 既无最大值，也无最小值
2. 函数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
3. 函数在上的最大值点是（ ）
A. B. C. D.
4. 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数在区间上最大值为，则（ ）
A. B. C. D. 或
6. 函数，当时的最大值为___________，最小值为_________。
7. 函数在上的最大值和最小值分别为___________________。
8. 求函数在区间上的最大值与最小值。
9. 函数在区间上的最大值是，求它在此区间上的最小值。
10. 求下列函数的最值。
（1） （2）
参考答案
答案：B
答案：A
答案：B
答案：C
答案：C
答案：。
答案：。
答案：最大值，最小值；
解析：由解得，。
答案：最小值为；
解析：由分析可知函数在上递减，在上递增，又
∴ 即 ，则最小值为。
10. 答案：（1） ；（2），无最大值。
解析：（1）令可得，
，
所以。
（2）令可得，当时，当时。所以。
第三章 导数的应用 同步练习(一)
1. 函数的递减区间是（ ）
A. B. C. D.
2. 函数f（x）= x3－3bx+3b在（0，1）内有极小值，则（ ）
A. 0C. b>0 D. b<
3. 已知f（x）= 2x3－6x2+m（m为常数）在［－2，2］上有最大值3 ，那么此函数在［－2，2］上的最小值是
A. －37 B. －29 C. －5 D. 以上都不对
4. 函数在下面哪个区间内是增函数（ ）
A. B.
C. D.
5. 在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
6. 函数，已知在时取得极值，则=（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7. 函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝( )
A. B. C. D. 1
8. 函数是减函数的区间为 ( )
A． B． C． D．（0，2）
9. 函数f (x)在[0， 1]上有f ′ ′( x) > 0， 则下列一定成立的是 ( )
A． f (0)< 0 B． f (1)>0 C． f (1)> f (0) D． f (1)< f (0)
10．已知，函数在区间上是单调函数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
11. 设 , 则 。
12. 函数在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 。
13. 函数在内有极小值，则实数的取值范围是__________。
14. 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20米长的墙壁，问应围成长为____米，宽为___米的长方形才能使小屋的面积最大。
15. 函数在上是减函数，则的取值范围__________。
16. 若函数f（x）=x3+x2+mx+1是R上的单调递增函数，则m的取值范围是______________。
17. 已知函数与在上都是减函数，试确定函数的单调区间。
18. 设函数，已知是奇函数，
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）求的单调区间。
19. 已知函数，讨论函数的单调性。
20. 已知函数f（x）=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值，
（1）讨论f（1）和f（－1）是函数f（x）的极大值还是极小值；
（2）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程。
21. 用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？
参考答案：
1. A
2. A
3. A
4. C
5. D
6. B
7. B
8. D
9. C
10. D
11.
12.
13.
14.
15.
16. m＞
17. 由在上都是减函数，得，因为，令
得或，所以函数在和上是减函数，在上是增函数。
18. （Ⅰ）∵，∴。
从而
=是一个奇函数，
所以得，由奇函数定义得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而，由此可知，
和是函数是单调递增区间；
是函数是单调递减区间。
19. 由题设知，
令得，
时，
若或时，，所以在区间和上是增函数；
若，则，所以在区间上是减函数。
时，
若，则，所以在区间上是减函数；
若，则，所以在区间上是增函数；
若，则，所以在区间上是减函数。
20. （1）分析x=±1处的极值情况，关键是分析x=±1左右（x）的符号；
（2）要分清点A（0，16）是否在曲线上。
解：（1）（x）=3ax2+2bx－3，依题意，（1）=（－1）=0，
即 解得a=1，b=0
∴f（x）=x3－3x，（x）=3x2－3=3（x+1）（x－1）
令（x）=0，得x=－1，x=1
若x∈（－∞，－1）∪（1，+∞），则（x）＞0，
故f（x）在（－∞，－1）上是增函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数；
若x∈（－1，1），则（x）＜0，故f（x）在（－1，1）上是减函数；
所以f（－1）=2是极大值，f（1）=－2是极小值。
（2）曲线y=x3－3x，点A（0，16）不在曲线上，设切点M（x0，y0），则y0=x03－3x
∵（x0）=3x02－3，
∴切线方程为y－y0=3（x02－1）（x－x0）
代入A（0，16）得16－x03+3x0=3（x02－1）（0－x0）
解得x0=－2，
∴M（－2，－2），切线方程为9x－y+16=0。
21. 解：设容器的高为x，容器的体积为V，
则V=（90-2x）（48-2x）x (0 即V=4x3-276x2+4320x (0∵V′=12 x2-552x+4320
由V′=12 x2-552x+4320=0
得x1=10，x2=36
∵x<10 时，V′>0
10x>36时，V′>0
所以当x=10，V有极大值V(10)=1960
又V(0)=0，V(24)=0
所以当x=10，V有最大值V(10)=1960
第三章 导数的应用 同步练习(二)
1. 若为增函数，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知函数则（ ）
A. 有极小值但无极大值 B. 有极小值0 但无极大值
C. 有极小值0 ，极大值 D. 有极大值但无极小值
3. 已知，则（ ）
A. 在（-2，0）上递增 B. 在（0，2）上递增
C. 在 上递增 D. 在上递增
4. 函数在处有极值 ，则的值分别为（ ）
A. B. C. D.
5. 函数的极值情况是（ ）
A. 有极大值，没有极小值 B. 有极小值，没有极大值
C. 既无极大值又无极小值 D. 既有极大值又有极小值
6. 若在区间（ ）
A. B. C. D. 的正负不确定
7. 函数在处有最值，则（ ）
A. 2 B. 1 C. D. 0
8. 内接于半径为的球且体积最大的圆柱体的高为（ ）
A. B. C. D.
9. 函数取得极大值或极小值时的值分别为0和， 则 （ ）
A. ＝0 B. 0 C. 0 D. 符号不定
10. 用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，要使铁盒容积最大时，截去的小正方形的边长为（ ）
A. 5 B. 8 C. 10 D. 12
11. 函数的递减区间为___________________。
12. 函数的极大值为________，极小值为_______。
13. 函数的最大值和最小值分别为________________。
14. 要做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积为，且用料最省，则圆柱的底面半径是_____。
15. 求函数在区间上的最大值与最小值。
16. 若函数在上极大值和极小值，如图所示，求常数的取值范围。
17. 确定函数的单调区间，并求此函数的极值。
18. 已知函数的图像过点，且过该点的切线与直线平行，
（1）求的值；
（2）设在上的最大值与最小值分别为，令，求的表达式。
19. 如图，有甲乙两个生活社区，甲区位于一条直线主干道上P处，乙区位于离主干道40千米的Q处，乙区在主干道上的射影R与P相距50千米。现要在主干道上建一个煤气减压站H，向甲乙两个社区供应煤气，已知输气管道从H←→P和从H←→Q的费用每千米分别为和元，问供气站建在何处，才能使管道建设费用最低？？
参考答案：
1. D
2. C
3. C ；，可得在和上单调递增。
4. A
5. D
6. A
7. B
8. A
9. A
10. B
11.
12.
13.
14. 3
15.
16. 由于，且在上极大值和极小值，
即在区间上有两个相异的实根，所以
解得
17. 单调增区间为与，单调减区间为；
极大值为，极小值为。
18. （1）过点，则，又，过点A的切线与平行，
故；
（2），对称轴为，，则，所以
则
19. 设，则，所以，设是总的管道建设费用，则
所以，
令，得，
即当千米时，管道建设费用最低。
