分析法 同步练习
1. 设，则的关系是（ ）
A. B. C. D. 不确定
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
3. 若，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
4. 求证：
5. 求证：
6. 已知，求证：。
7. 设，求证：。
8. 若是不全相等的正数，
求证：
参考答案
1. B
2. A
3. C
4. 证：要证
即证： 即
即证
由于显然成立
所以原不等式成立。
5.证：若，不等式显然成立
若，要证原不等式成立，
只要证，
即证
即证，此式显然成立，故原不等式成立。
6. 证：因为，所以
要证
即证
即证
即证即
由于
所以成立，
故原不等式成立。
7. 证：因为
要证
只要证
即证
即证
即证
上式显然成立，所以原不等式成立。
8. 证：要证
只需证
即证
由于，
且不全相等，等号不全成立，
所以成立，
因此，原不等式成立。
反证法 同步练习
证明：不是方程的根。
2. 求证：中不可能有两个角是直角。
3. 证明：不能为同一等差数列的三项。
4. 若都是小于1的正数，求证：三个数不可能同时大于。
5. 已知，若，则中至少有一个不小于。
6. 方程至少有一个方程有实根，
求实数的取值范围。
7. 已知直线与不共面，面，
求证：A、B、C三点不共线。
已知： ，
求证：
9. 已知：，
求证：
10. 已知均为实数且，
求证：中至少有一个大于0 。
参考答案
证明：假设2 是方程的根，则，但是，产生矛盾，所以2不是次方程的根。
2. 证：假设中，，则，这与三角形内角和为相矛盾，所以假设错误，即三角形不可能有两个直角。
3. 证：假设是同一等差数列的三项，则，但是，所以假设错误，所以不能为同一等差数列的三项。
4. 证1：假设同时大于，由于都是小于1的正数，有
得出矛盾，故原命题成立。
证2：假设同时大于，，
则。
又
所以，得出矛盾，故原命题成立。
5. 证：假设都小于，即，则，这与矛盾，故原命题成立。
6. 解：假设三个方程都无实根，则
可得，
所以三个方程至少有一个方程有实根的的范围是。
7. 证：假设A、B、C三点共线于直线，
∵
∴
∵
∴ 与确定一平面
∵
∴ ，又
∴ 同理
∴ 共面，与不共面矛盾
∴ A、B、C三点不共线。
8. 证：假设不平行于，则，若，则与矛盾，若，则与是异面直线，这与矛盾，所以，。
9. 假设，由于，所以，同理，于是过面上点有两条直线与平行，这与平行公理矛盾，所以。
10. 假设都不大于0，即，则，而
这与假设矛盾，所以中至少有一个大于0 。
归纳推理 同步练习
从概括出第个式子为___________________。
2. 第一届漳州琯西蜜柚节上，展会主办方用蜜柚堆成一个正三棱锥“金字塔”，从上向下看，第一层放了1个柚子，第二层放了4个，第三层放了10个，第四层放了20个……若第层放了220个柚子，则第层放了______个柚子。
平面中，凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线……由此猜想，凸边形有_______条对角线。
4. 数列中，，则。
5. 已知数列，其中，则
（1）求； （2）求的通项公式。
6. 设数列中，，令，求数列的通项公式。
7. 用推理的形式表示等差数列的前项和的归纳过程。
参考答案
1. 。
2. 共个，由题意可归纳出。
3. 。
4. ；
由题意，当为奇数时，，故，
当为偶数时，是以为首项，公差为2的等差数列。
所以 。
5. （1）；（2）
6. ，故数列是公比为的等比数列，且故。
7. 此等差数列的前6项和分别为：
由此猜想。
数学归纳法 同步练习
1．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为二个)，经过3小时，这种细菌由1个可以繁殖成（ ）
A．511个 B．512个 C．1023个 D．1024个
2. 一个与正整数有关的命题，当时，命题成立，且由时命题成立可以推得时命题也成立，则（ ）
A. 该命题对于的自然数都成立
B. 该命题对于所有的正偶数都成立
C. 该命题何时成立与取值无关
D. 以上答案都不对
3. 某个命题与自然数有关，若时该命题成立，那么推得当时该命题也成立，现已知当时该命题不成立，那么可推得
A．当时该命题不成立 B．当时该命题成立
C．当时该命题不成立 D．当时该命题成立
4. 用数学归纳法证明，递推步从到时，右边应增乘的式子是（ ）
A. B. C. D.
5．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为
A．130 B．170 C．210 D．260
6. 凸边形有条对角线，则凸边形的对角线条数。
7. 用数学归纳法证明时，第一步应验证的不等式是___________________________。
8. 证明：
9. 求证：当为正整数时，能被6 整除。
10. 求证：
参考答案
1. B
2. B
3. C
4. B
5. C
6.
7.
8. 证：（1）当时，左，右，等式成立；
（2）假设当时，等式成立，则有
成立
当时，
所以当时，等式成立。
综上有等式对成立。
9. 证：（1）当时，，命题显然成立；
（2）假设当时，能被6整除，
当时，
其中两个自然数之积的三倍可被6 整除，即、和6都可被6整除，所以当时，命题也成立。
综上所述，对于任意正整数，命题都成立。
10. 证：（1）当时，左，右，不等式成立；
（2）假设当时，不等式成立，即
成立。
当时，
所以当时不等式成立。
综上所述，不等式对于任何正整数都成立。
第一章 推理与证明 同步练习(一)
1. 观察右图的规律，在其下面一行的空格内画上合适的图形，应是（ ）
☆
●
◇
▲
△
★
○
◆
◇
▲
☆
●
A. △★○◆ B. ○◆△★ C. ○★△◆ D. ◇●☆▲
2. 如图，把三角形数中三角形内的点去掉形成了下列数列，则第8个三角形点数是（ ）
A. 15 B. 21 C. 27 D. 28
3. 数列 5，13，25，x，61，… 中的x等于（ ）
A. 35 B. 39 C. 41 D. 53
4. 已知，若为异面直线，则（ ）
A. 都与相交
B. 至少有一条与相交
C. 至多有一条与相交
D. 都不与相交
5. 用数学归纳法证明命题“当n为正奇数时，x+1能整除”的第二步假设递推过程时，正确的证法是（ ）
A. 假设当时命题成立，证明当时命题也成立
B. 假设当（是正奇数）时命题成立，证明当时命题也成立
C. 假设当时命题成立，证明当时命题也成立
D. 假设当（是正奇数）时命题成立，证明当时命题也成立
6. 在否定结论“至少有三个解”的说法中，正确的是（ ）
A. 至多有两个解 B. 至多有三个解
C. 有一个或两个解 D. 有两个解
7. 类比边长为的正三角形内的一点到三边的距离之和为，对棱长为的正四面体，正确的结论是（ ）
A. 正四面体内部的一点到六条棱的距离的和为
B. 正四面体内部的一点到四面的距离的和为
C. 正四面体的中心到四面的距离的和为
D. 正四面体的中心到六条棱的距离的和为
8. 已知为各项都大于零的等比数列，公比，则（ ）
A．
B．
C．
D．与的大小关系不能由已知条件确定
9. 某个命题与自然数n有关，若n＝k ( k∈N ) 时该命题成立，那么推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n=5时该命题不成立，那么可推得（ ）
A．当n=6时该命题成立 B．当n＝6时该命题不成立
C．当n＝4时该命题成立 D．当n＝4时该命题不成立
10. 等差数列的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）
A．170 B．130 C．260 D．210
11. 用数学归纳法证明等式时，从“”到“”需要增添的因式是___________________。
12. 已知用类比方法写向量的“定比分点公式”。
13. 若数列为，则数列的通项公式为_____________。
14. 若函数，，是的小数点后第个数字，例如，则（共2005个f ）。
15. 已知：是全不相等的正实数，
求证：
16. 如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径，
求证：AB·AC=AE·AD
17. 由下列各式：
……
你能得出怎样的结论？并进行证明。
18. 证明：若，则。
19. 已知：为正角，且，
求证：
参考答案：
B
2. B ，从图中可观察出从第2个开始，点数都是3的倍数，且第n个三角形有3（n-1）个点。
3. C ，相邻的数字之差（后项减前项）形成的数列为：8，12，x-25，61-x ，而61-25=36，猜想这个新数列是4的倍数构成的，则x-25=16，61-x=20，刚好满足条件，所以选择C。
4. B
5. D
6. A
7. B
8. A ，可用具体的代入求解，如将和代入计算。
9. D
10. D
11. 12.
13. 14.
15. 由不全相等，得与，与，与全不相等，
所以
三式相加得
即
所以原不等式成立。
16. 连接，因为同圆中同弧所对的圆周角相等，是同弧的圆周角，所以，又因为，AE是圆的直径，所以，所以，故～，所以，即AB·AC=AE·AD 。
17. 归纳得一般结论： 。
证：当时，结论显然成立，
当时，
所以命题得证。
18. 分析法：
由于成立，所以命题成立。
综合法：
由于
所以
19. 用反证法：假设，
（1）时，由于都是锐角，则
与已知矛盾；
（2）时，不妨取，其中，则引用（1）的结论得
这与已知矛盾，
综上所述，原命题成立。
第一章 推理与证明 同步练习(二)
1. 根据下列图案中圆圈的排列规律，第2008个图案的组成情况是（ ）
●
◎
◎ ◎ ●
◎ ●◎● ● ● ● ◎ ● ◎ ● ◎ ●
◎ ●
● ◎
◎ ●
（1） （2） （3） （4）
A. 其中包括了个◎
B. 其中包括了个●
C. 其中包括了个◎
D. 其中包括了个●
2. 观察表中数据的规律，右下角应填入的数是（ ）
j
h
1
3
4
0
2
8
16
2
8
32
64
5
64
256
A. 128 B. 256 C. 512 D. 1024
3. 实数的乘积运算和向量的数量积运算类比中不成立的运算率是（ ）
A. 类比
B. 类比
C. 类比
D. 类比
4. 已知函数，则与的大小关系为（ ）
A. 没有一个小于1 B. 至多有一个不小于1
C. 都不小于1 D. 至少有一个不小于1
5. 数列中，，设，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 命题“若函数对于定义域R内任意实数都有，且对于任意，恒有
成立，则对于任意都有成立”，用反证法证明时，结论的否定是（ ）
A. 存在，有 B. 任意，有
C. 任意，有 D. 存在，有
7. 用数学归纳法证明不等式：时，从“”到“”需要增添的项是（ ）
Ａ.
B.
C.
D.
8. 命题“对于任意角”的证明过程：
“”
应用了 （ ）
Ａ. 分析法 B. 综合法 C. 综合法、分析法结合使用 D. 间接证法
9. （均为正数），则的大小为（ ）
A. B. C. D. 不确定
10. 已知函数，对任意的两个不相等的实数，都有成立，且，则的值是（ ）
A. 0 B. 1 C. D.
11. 设，且，则的最大值为_________。
12. 糖水中有糖（），若要添糖（），则糖水变甜了，是根据这一事实，提炼出一个不等式_______________。
13. 已知函数，则的大小关系为____________。
14. 用反证法证明命题“直线与双曲线至多有两个公共点”时，假设为__________________________。
15. 平面内有条，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，设这条直线将平面分成
个区域，试推导的表达式。
16. 已知，互不相等，且，
求证：
17. 用数学归纳法证明：
18. 如图，三棱锥的底面是锐角三角形，且面，H是A在平面的射影，求证：H不可能是的垂心。
参考答案：
1. A ；从图中可观察出，它们是以◎为中心，以n条边（n是大于0的自然数）向外扩散的，且每边的点数以◎●相邻，有每次每边增加1个点的变化特点。
C ；从每个格的数字进行猜想：
，
所以最后一个应为。
3. B
4. D
5. A
6. D
7. C
8. B
9. B
10. B
11. ；提示：。
12.
13. ，由于，且在R上单调减。
14. 直线与双曲线至少有三个公共点。
15. 条直线把平面分成个区域，那么新增加直线时，直线与原来的条直线都相交，设交点为，则这个点就把直线分成了条部分，这时，每个部分把原来区域分成里两个部分，则在的基础上增加了个区域，所以，可求得。
16. 由于，所以，
又因为互不相等，所以取不到等号，所以原不等式成立。
17. （1）当时，左边右边，等式成立。
（2）假设时，等式成立，即
则当时，
左
所以当时等式也成立，
综上所述，等式对于任意正整数都成立。
18. 假设H是的垂心，则，又，则，
所以，所以，又由于面，所以，
故，得，从而得是直角三角形，与条件矛盾。
所以假设错误，即H不可能是的垂心。
类比推理 同步练习
将下列平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立。
如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交。
如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线相互平行。
2. 根据三角形的性质，推测空间四面体的性质，
三角形的两边之和大于第三边；
三角形的三条内角平分线交于一点且该点是三角形内切圆圆心。
3. 类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是____________________。
（1）各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；
（2）各面都是全等的正三角形，相邻两个面所成二面角都相等；
（3）各面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等。
4. 在中，射影定理可以表示为，其中依次为角的对边，类比以上定理，给出空间四面体性质的猜想。
5. 在等差数列中，若，则有等式
成立，类比上述性质，在等比数列中，若，则有等式__________________________成立。
6. 若，则有不等式成立，请你类比推广此性质。
参考答案
（1）如果一个平面和两个平面中的一个相交，则必和另一个相交。结论是正确的。
（2）如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行。结论错误。
2. （1）四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；
（2）四面体的六个二面角的平分面交于一点，且该点是四面体内切球的球心。
3 （1）（2）（3）。
4. 四面体中，分别表示面的面积，依次表示面、面、面与底面面所成的二面角大小，则空间中的射影定理可表示为：。
5. 。
6. 或
或 或
答案不唯一，可取任何的正整数。
综合法 同步练习
1. ，若，则（ ）
A. B. C. D.
2. （ ）
A. B. C. D.
3. 已知是奇函数，那么实数（ ）
4. 已知，则中最大的是___________________。
5. 若，求证：。
6. 已知：是正数，且，求证：。
7. 已知，求证：
8. 设，若，求证：。
9. 已知，求的范围。
参考答案
1. B ；由可得。
2. C ；原式。
3. 由可得。
4. 最大。
5. ∵
∴
6. ∵
∴
∴
∴
7. ∵
∴
∴
∴
即
∴
8. ∵
∴
又∵
∴
∴
9. ∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
