人教a版（2019）选择性必修第一册《第一章 空间向量与立体几何》2024年单元测试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教a版（2019）选择性必修第一册《第一章 空间向量与立体几何》2024年单元测试卷（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 631.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-03 08:14:37 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第一册《第一章 空间向量与立体几何》2023年单元测试卷（9）
一、选择题
1．（5分）在空间直角坐标系中，为直线l的一个方向向量，为平面α的一个法向量，且l∥α，则t＝（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
2．（5分）两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A（2，1，1），且两平面的一个法向量＝（﹣1，0，1），则两平面间的距离是（ ）
A． B． C． D．3
3．（5分）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝4，AB＝BC＝2，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3，点E在棱PA上，且PE＝2EA，则平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱上到直线A1B与CC1的距离相等的点有4个，其中3个点分别为E，F，D1，如图所示，则直线AC1与平面EFG所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
（多选）6．（5分）已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝（2，﹣1，﹣4），＝（4，2，0），＝（﹣1，2，﹣1）．下列结论正确的有（ ）
A．AP⊥AB
B．AP⊥AD
C．是平面ABCD的一个法向量
D．∥
（多选）7．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为线段B1D1，BC1上的动点，则下列结论错误的是（ ）
A．DB1⊥平面ACD1
B．直线AE与平面BB1D1D所成角的正弦值为定值
C．平面A1C1B∥平面ACD1
D．点F到平面ACD1的距离为定值
三、填空题
8．（5分）已知，，若，，且BP⊥平面ABC，则x+y+z＝ ．
9．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，若E为棱PC上一点，满足BE⊥AC，则＝ ．
10．（5分）在三棱锥O﹣ABC中，已知OA，OB，OC两两垂直且相等，点P，Q分别是线段BC和OA上的动点，且满足BP≤BC，AQ≥AO，则PQ和OB所成角的余弦的取值范围是 ．
四、解答题
11．（10分）已知空间中三点A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），设＝，＝，若m（+）+n（﹣）与2﹣垂直，求m，n满足的关系式．
12．（12分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．
（1）求证：B1D⊥平面ABD；
（2）求证：平面EGF∥平面ABD；
（3）求平面EGF与平面ABD的距离．
13．（12分）如图，在多面体ABCDE中，平面ABD⊥平面ABC，AB⊥AC，AE⊥BD，DEAC，AD＝BD＝1．
（Ⅰ）求AB的长；
（Ⅱ）已知2≤AC≤4，求点E到平面BCD的距离的最大值．
14．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为正方形，且平面PAD⊥平面ABCD，点F为棱PD的中点．
（1）在棱BC上是否存在一点E，使得CF∥平面PAE？并说明理由；
（2）若PA＝PD＝AB，求直线AF与平面PBC所成角的正弦值．
15．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点C在平面α上，所有顶点都在平面α的同一侧，且满足A1B和A1D与平面α所成角均为．
（Ⅰ）求证：BD∥平面α；
（Ⅱ）求直线B1D与平面α所成角的余弦值．
16．（12分）四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝3，BC＝2AB＝2，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC．
（Ⅰ）若BE＝，在折叠后的线段AD上是否存在一点P，且，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由；
（Ⅱ）求三棱锥A﹣CDF的体积的最大值，并求此时二面角E﹣AC﹣F的余弦值．
人教A版（2019）选择性必修第一册《第一章 空间向量与立体几何》2023年单元测试卷（9）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．【解答】解：∵l∥α，
∴ ＝0，即2+2t+4＝0，
解得：t＝﹣3，
故选：B．
2．【解答】解：由题意可得＝（2，1，1），
两平行平面的一个法向量＝（﹣1，0，1），
两平面间的距离是向量在法向量的投影的绝对值，
可得距离为d＝||
＝||＝，
故选：B．
3．【解答】解：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），C（0，2，0），C1（0，2，4），P（0，t，2t），t∈[0，2]，
设Q（2﹣m，m，0），m∈[0，2]，
∴PQ＝，
当且仅当5t＝m＝时，PQ取最小值．
∴线段PQ长度的最小值是．
故选：C．
4．【解答】解：由已知可得，AB⊥BC，AB⊥PB，BC⊥PB．
以B为坐标原点，分别以BC、BA、BP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，
则B（0，0，0），A（0，3，0），P（0，0，3），D（3，3，0），E（0，2，1），
∴＝（0，2，1），＝（3，3，0），
设平面BED的一个法向量为＝（x，y，z），
则，取z＝1，得＝（，﹣，1），
平面ABE的法向量为＝（1，0，0），
∴cos＜＞＝＝．
∴平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为，
故选：B．
5．【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱上到直线A1B与CC1的距离相等的点分别为：
D1，BC的中点，B1C1的四等分点（靠近B1），
假设D1与G重合，BC的中点为E，B1C1的四等分点（靠近B1）为F，
以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设AB＝2，则E（1，2，0），F（，2，2），G（0，0，2），A（2，0，0），C1（0，2，2），
∴＝（），＝（），＝（﹣2，2，2），
设平面EFG的法向量＝（x，y，z），
则，即，取x＝4，得＝（4，﹣3，﹣1）．
设直线AC1与平面EFG所成角为θ，
则直线AC1与平面EFG所成角的正弦值为sinθ＝|cos＜＞|＝．
故选：D．
二、多选题
6．【解答】解：对于A， ＝2×（﹣1）+（﹣1）×2+（﹣4）×（﹣1）＝0，∴⊥，即AP⊥AB，A正确；
对于B， ＝（﹣1）×4+2×2+（﹣1）×0＝0，∴⊥，即AP⊥AD，B正确；
对于C，由⊥，且⊥，得出是平面ABCD的一个法向量，C正确；
对于D，由是平面ABCD的法向量，得出⊥，则D错误．
故选：ABC．
7．【解答】解：设正方体的棱长为1，
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意知：A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），
A1（0，0，1）B1（1，0，1），C1（1，1，1），D1（0，1，1）．
设E（x，y，1），＝λ，即（x﹣1，y，0）＝（﹣λ，λ，0），∴E（1﹣λ，λ，1）．
设F（1，y′，z′），＝μ，即（0，y′，z′）＝（0，μ，μ），∴F（1，μ，μ）．
对于A，∵＝（1，﹣1，1），＝（1，1，0），＝（0，1，1），
∴，∴DB1⊥AC，DB1⊥AD1，又AC，AD1 平面ACD1，
AC∩AD1＝A，∴DB1⊥平面ACD1，A正确；
对于B，∵几何体为正方体，∴AC⊥面BB1D1D，＝（1，1，0）是平面BB1D1D的一个法向量，
又＝（1﹣λ，λ，1），设直线AE与平面BB1D1D所成角为θ，
则sinθ＝＝不是定值，故B错误；
对于C，∵DB1⊥平面ACD1，∴＝（1，﹣1，1）为平面ACD1的一个法向量，
∵，＝（1，0，﹣1），∴，
∴DB1⊥A1C1，DB1⊥A1B，A1C1，A1B 平面A1C1B，
A1C1∩A1B＝A1，∴DB1⊥平面 A1C1B，∴平面A1C1B∥平面ACD1，故C正确；
对于D，∵＝（1，μ，μ），∴点F到平面ACD1的距离d＝＝＝，为定值，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题
8．【解答】解：因为，所以，
所以z＝4，所以，
又因为BP⊥平面ABC，AB，AC 平面ABC，所以BP⊥AB，BP⊥AC，
所以，
解得，因此．
故答案为：．
9．【解答】解：如图，
∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，
∴以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
由AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，得A（0，0，0），B（1，0，0），C（2，2，0），P（0，0，2），
设＝λ，则，
∴＝＝．
∴＝．
，
由BE⊥AC，得，即．
故答案为：．
10．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系：
不妨设A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），
P（0，b，1﹣b）（），Q（a，0，0）（）．
＝（﹣a，b，1﹣b），＝（0，1，0）．
所以，cos＜，＞＝＝＝，
因为，，
所以a＝0，b＝1时，cos＜，＞＝1取得最大值；
a＝b＝时，cos＜，＞＝取得最小值．
所以PQ和OB所成的角的余弦值的取值范围是[，1]．
四、解答题
11．【解答】解：由于＝＝（1，1，0），＝＝（﹣1，0，2），
则＝﹣1+0+0＝﹣1，||＝，||＝＝．
由于m（+）+n（﹣）与2﹣垂直，
则[m（+）+n（﹣）] （2﹣）＝0，
即有2（m+n）﹣（m﹣n）+（m﹣3n）＝0，
即4（m+n）﹣5（m﹣n）﹣（m﹣3n）＝0，
化简可得，m＝6n．
则有m，n满足的关系式为：m＝6n．
12．【解答】（1）证明：如图所示建立空间直角坐标系，
设AB＝a，则A1（a，0，0），B1（0，0，0），C1（0，2，0），F（0，1，0），E（0，0，1），A（a，0，4），B（0，0，4），
D（0，2，2），G．
所以＝（0，2，2），＝（﹣a，0，0），＝（0，2，﹣2）．
所以＝0+0+0＝0，＝0+4﹣4＝0．
所以，
所以B1D⊥AB，B1D⊥BD．
又AB∩BD＝B，所以B1D⊥平面ABD．
（2）证明：由（1）可得＝（﹣a，0，0），＝（0，2，﹣2），＝（0，1，﹣1），所以＝2＝2，所以．
所以GF∥AB，EF∥BD．
又GF∩EF＝F，AB∩BD＝B，所以平面EGF∥平面ABD．
（3）解：由（1）（2）知，是平面EGF和平面ABD的法向量．
因为平面EGF∥平面ABD，所以点E到平面ABD的距离就是两平面的距离，设为d．
因为＝（0，0，3），＝（0，2，2），
所以d＝．即两平面间的距离为．
13．【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵平面ABD⊥平面ABC，且交线为AB，而AC⊥AB，∴AC⊥平面ABD．
又∵DE∥AC，∴DE⊥平面ABD，从而DE⊥BD．
注意到BD⊥AE，且DE∩AE＝E，∴BD⊥平面ADE，于是，BD⊥AD．
而AD＝BD＝1，∴．………………………（5分）
（Ⅱ）∵AD＝BD，取AB的中点为O，∴DO⊥AB．
又∵平面ABD⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC．
过O作直线OY∥AC，以点O为坐标原点，直线OB，OY，OD分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示．
记AC＝2a，则1≤a≤2，，，，，．
令平面BCD的一个法向量为．
由得．令，得．
又∵，∴点E到平面BCD的距离．
∵1≤a≤2，∴当a＝2时，d取得最大值，．………………………（12分）
14．【解答】（1）证明：当E为BC中点时，CF∥平面PAE．理由如下：
如图，分别取BC，PA中点E，G，连接PE，AE，GE，FG，
又∵F是PD的中点，∴FG∥AD，，
又∵ABCD为正方形，则AD∥BC，AD＝BC，
∴FG∥BC，，
又∵E是BC中点，∴FG∥CE，FG＝CE，则四边形ECFG是平行四边形，
∴CF∥EG，
又BG 平面PAE，CF 平面PAE，
∴CF∥平面PAE．
（2）解：如图，取AD中点O，连接PO，OE，
又PA＝PD，则PO⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO 平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD，
∴以O为原点，OA，OE，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设AD＝2，则A（1，0，0），B（1，2，0），C（﹣1，2，0），，，
∴，，，
设平面PBC的一个法向量为，则，
令y＝3得x＝0，，则，，
∴，
∴直线AF与平面PBC所成角的正弦值为．
15．【解答】解：（Ⅰ）证明：以C为坐标原点，CB，CD，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为1，则C（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），A1（1，1，1），
故，设平面α的法向量为，且，
，，
∴，
不妨取，故x＝y，
∵x2+y2+z2＝1，
∴可得，
∴，
根据法向量的特点，不妨设平面α的一个法向量为，
∴，
∴BD∥平面α；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得B1＝（1，0，1），故，
设直线B1D与平面α所成角的为θ，则．
16．【解答】解：（Ⅰ）∵平面ABEF⊥平面EFDC，平面ABEF∩平面EFDC＝EF，
FD⊥EF，
∴FD⊥平面ABEF，又AF 平面ABEF，
∴FD⊥AF，
在折起过程中，AF⊥EF，同时FD∩EF＝F，
∴AF⊥平面EFDC，
以F为坐标原点，分别以FE，FD，FA所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
当BE＝时，F（0，0，0），A（0，0，），D（0，，0），C（1，，0），
平面ABEF的法向量＝（0，，0），
∵＝，∴＝+＝，
∴P（0，，），
∴＝（﹣1，，），
∵CP∥平面ABEF，∴＝＝0，
解得，
∴线段AD上点P（0，），且，使得CP∥平面ABEF．
（Ⅱ）设BE＝x，则AF＝x（0＜x≤2），FD＝3﹣x，
∴VA﹣CDF＝＝＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，VA﹣CDF有最大值，且最大值为，
∴A（0，0，），C（1，，0），D（0，，0），E（1，0，0），
∴＝（1，0，﹣），＝（1，，﹣），＝（0，0，），＝（1，，0），
设平面AEC的一个法向量为＝（x，y，z），
则，取x＝3，得＝（3，0，2），
设平面ACF的一个法向量＝（a，b，c），
则，取a＝1，得＝（1，﹣2，0），
cos＜，＞＝＝＝．
∴二面角E﹣AC﹣F的余弦值为．
一、选择题
1．（5分）在空间直角坐标系中，为直线l的一个方向向量，为平面α的一个法向量，且l∥α，则t＝（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
2．（5分）两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A（2，1，1），且两平面的一个法向量＝（﹣1，0，1），则两平面间的距离是（ ）
A． B． C． D．3
3．（5分）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝4，AB＝BC＝2，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3，点E在棱PA上，且PE＝2EA，则平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱上到直线A1B与CC1的距离相等的点有4个，其中3个点分别为E，F，D1，如图所示，则直线AC1与平面EFG所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
（多选）6．（5分）已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝（2，﹣1，﹣4），＝（4，2，0），＝（﹣1，2，﹣1）．下列结论正确的有（ ）
A．AP⊥AB
B．AP⊥AD
C．是平面ABCD的一个法向量
D．∥
（多选）7．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为线段B1D1，BC1上的动点，则下列结论错误的是（ ）
A．DB1⊥平面ACD1
B．直线AE与平面BB1D1D所成角的正弦值为定值
C．平面A1C1B∥平面ACD1
D．点F到平面ACD1的距离为定值
三、填空题
8．（5分）已知，，若，，且BP⊥平面ABC，则x+y+z＝ ．
9．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，若E为棱PC上一点，满足BE⊥AC，则＝ ．
10．（5分）在三棱锥O﹣ABC中，已知OA，OB，OC两两垂直且相等，点P，Q分别是线段BC和OA上的动点，且满足BP≤BC，AQ≥AO，则PQ和OB所成角的余弦的取值范围是 ．
四、解答题
11．（10分）已知空间中三点A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），设＝，＝，若m（+）+n（﹣）与2﹣垂直，求m，n满足的关系式．
12．（12分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．
（1）求证：B1D⊥平面ABD；
（2）求证：平面EGF∥平面ABD；
（3）求平面EGF与平面ABD的距离．
13．（12分）如图，在多面体ABCDE中，平面ABD⊥平面ABC，AB⊥AC，AE⊥BD，DEAC，AD＝BD＝1．
（Ⅰ）求AB的长；
（Ⅱ）已知2≤AC≤4，求点E到平面BCD的距离的最大值．
14．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为正方形，且平面PAD⊥平面ABCD，点F为棱PD的中点．
（1）在棱BC上是否存在一点E，使得CF∥平面PAE？并说明理由；
（2）若PA＝PD＝AB，求直线AF与平面PBC所成角的正弦值．
15．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点C在平面α上，所有顶点都在平面α的同一侧，且满足A1B和A1D与平面α所成角均为．
（Ⅰ）求证：BD∥平面α；
（Ⅱ）求直线B1D与平面α所成角的余弦值．
16．（12分）四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝3，BC＝2AB＝2，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC．
（Ⅰ）若BE＝，在折叠后的线段AD上是否存在一点P，且，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由；
（Ⅱ）求三棱锥A﹣CDF的体积的最大值，并求此时二面角E﹣AC﹣F的余弦值．
人教A版（2019）选择性必修第一册《第一章 空间向量与立体几何》2023年单元测试卷（9）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．【解答】解：∵l∥α，
∴ ＝0，即2+2t+4＝0，
解得：t＝﹣3，
故选：B．
2．【解答】解：由题意可得＝（2，1，1），
两平行平面的一个法向量＝（﹣1，0，1），
两平面间的距离是向量在法向量的投影的绝对值，
可得距离为d＝||
＝||＝，
故选：B．
3．【解答】解：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），C（0，2，0），C1（0，2，4），P（0，t，2t），t∈[0，2]，
设Q（2﹣m，m，0），m∈[0，2]，
∴PQ＝，
当且仅当5t＝m＝时，PQ取最小值．
∴线段PQ长度的最小值是．
故选：C．
4．【解答】解：由已知可得，AB⊥BC，AB⊥PB，BC⊥PB．
以B为坐标原点，分别以BC、BA、BP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，
则B（0，0，0），A（0，3，0），P（0，0，3），D（3，3，0），E（0，2，1），
∴＝（0，2，1），＝（3，3，0），
设平面BED的一个法向量为＝（x，y，z），
则，取z＝1，得＝（，﹣，1），
平面ABE的法向量为＝（1，0，0），
∴cos＜＞＝＝．
∴平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为，
故选：B．
5．【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱上到直线A1B与CC1的距离相等的点分别为：
D1，BC的中点，B1C1的四等分点（靠近B1），
假设D1与G重合，BC的中点为E，B1C1的四等分点（靠近B1）为F，
以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设AB＝2，则E（1，2，0），F（，2，2），G（0，0，2），A（2，0，0），C1（0，2，2），
∴＝（），＝（），＝（﹣2，2，2），
设平面EFG的法向量＝（x，y，z），
则，即，取x＝4，得＝（4，﹣3，﹣1）．
设直线AC1与平面EFG所成角为θ，
则直线AC1与平面EFG所成角的正弦值为sinθ＝|cos＜＞|＝．
故选：D．
二、多选题
6．【解答】解：对于A， ＝2×（﹣1）+（﹣1）×2+（﹣4）×（﹣1）＝0，∴⊥，即AP⊥AB，A正确；
对于B， ＝（﹣1）×4+2×2+（﹣1）×0＝0，∴⊥，即AP⊥AD，B正确；
对于C，由⊥，且⊥，得出是平面ABCD的一个法向量，C正确；
对于D，由是平面ABCD的法向量，得出⊥，则D错误．
故选：ABC．
7．【解答】解：设正方体的棱长为1，
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意知：A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），
A1（0，0，1）B1（1，0，1），C1（1，1，1），D1（0，1，1）．
设E（x，y，1），＝λ，即（x﹣1，y，0）＝（﹣λ，λ，0），∴E（1﹣λ，λ，1）．
设F（1，y′，z′），＝μ，即（0，y′，z′）＝（0，μ，μ），∴F（1，μ，μ）．
对于A，∵＝（1，﹣1，1），＝（1，1，0），＝（0，1，1），
∴，∴DB1⊥AC，DB1⊥AD1，又AC，AD1 平面ACD1，
AC∩AD1＝A，∴DB1⊥平面ACD1，A正确；
对于B，∵几何体为正方体，∴AC⊥面BB1D1D，＝（1，1，0）是平面BB1D1D的一个法向量，
又＝（1﹣λ，λ，1），设直线AE与平面BB1D1D所成角为θ，
则sinθ＝＝不是定值，故B错误；
对于C，∵DB1⊥平面ACD1，∴＝（1，﹣1，1）为平面ACD1的一个法向量，
∵，＝（1，0，﹣1），∴，
∴DB1⊥A1C1，DB1⊥A1B，A1C1，A1B 平面A1C1B，
A1C1∩A1B＝A1，∴DB1⊥平面 A1C1B，∴平面A1C1B∥平面ACD1，故C正确；
对于D，∵＝（1，μ，μ），∴点F到平面ACD1的距离d＝＝＝，为定值，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题
8．【解答】解：因为，所以，
所以z＝4，所以，
又因为BP⊥平面ABC，AB，AC 平面ABC，所以BP⊥AB，BP⊥AC，
所以，
解得，因此．
故答案为：．
9．【解答】解：如图，
∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，
∴以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
由AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，得A（0，0，0），B（1，0，0），C（2，2，0），P（0，0，2），
设＝λ，则，
∴＝＝．
∴＝．
，
由BE⊥AC，得，即．
故答案为：．
10．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系：
不妨设A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），
P（0，b，1﹣b）（），Q（a，0，0）（）．
＝（﹣a，b，1﹣b），＝（0，1，0）．
所以，cos＜，＞＝＝＝，
因为，，
所以a＝0，b＝1时，cos＜，＞＝1取得最大值；
a＝b＝时，cos＜，＞＝取得最小值．
所以PQ和OB所成的角的余弦值的取值范围是[，1]．
四、解答题
11．【解答】解：由于＝＝（1，1，0），＝＝（﹣1，0，2），
则＝﹣1+0+0＝﹣1，||＝，||＝＝．
由于m（+）+n（﹣）与2﹣垂直，
则[m（+）+n（﹣）] （2﹣）＝0，
即有2（m+n）﹣（m﹣n）+（m﹣3n）＝0，
即4（m+n）﹣5（m﹣n）﹣（m﹣3n）＝0，
化简可得，m＝6n．
则有m，n满足的关系式为：m＝6n．
12．【解答】（1）证明：如图所示建立空间直角坐标系，
设AB＝a，则A1（a，0，0），B1（0，0，0），C1（0，2，0），F（0，1，0），E（0，0，1），A（a，0，4），B（0，0，4），
D（0，2，2），G．
所以＝（0，2，2），＝（﹣a，0，0），＝（0，2，﹣2）．
所以＝0+0+0＝0，＝0+4﹣4＝0．
所以，
所以B1D⊥AB，B1D⊥BD．
又AB∩BD＝B，所以B1D⊥平面ABD．
（2）证明：由（1）可得＝（﹣a，0，0），＝（0，2，﹣2），＝（0，1，﹣1），所以＝2＝2，所以．
所以GF∥AB，EF∥BD．
又GF∩EF＝F，AB∩BD＝B，所以平面EGF∥平面ABD．
（3）解：由（1）（2）知，是平面EGF和平面ABD的法向量．
因为平面EGF∥平面ABD，所以点E到平面ABD的距离就是两平面的距离，设为d．
因为＝（0，0，3），＝（0，2，2），
所以d＝．即两平面间的距离为．
13．【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵平面ABD⊥平面ABC，且交线为AB，而AC⊥AB，∴AC⊥平面ABD．
又∵DE∥AC，∴DE⊥平面ABD，从而DE⊥BD．
注意到BD⊥AE，且DE∩AE＝E，∴BD⊥平面ADE，于是，BD⊥AD．
而AD＝BD＝1，∴．………………………（5分）
（Ⅱ）∵AD＝BD，取AB的中点为O，∴DO⊥AB．
又∵平面ABD⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC．
过O作直线OY∥AC，以点O为坐标原点，直线OB，OY，OD分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示．
记AC＝2a，则1≤a≤2，，，，，．
令平面BCD的一个法向量为．
由得．令，得．
又∵，∴点E到平面BCD的距离．
∵1≤a≤2，∴当a＝2时，d取得最大值，．………………………（12分）
14．【解答】（1）证明：当E为BC中点时，CF∥平面PAE．理由如下：
如图，分别取BC，PA中点E，G，连接PE，AE，GE，FG，
又∵F是PD的中点，∴FG∥AD，，
又∵ABCD为正方形，则AD∥BC，AD＝BC，
∴FG∥BC，，
又∵E是BC中点，∴FG∥CE，FG＝CE，则四边形ECFG是平行四边形，
∴CF∥EG，
又BG 平面PAE，CF 平面PAE，
∴CF∥平面PAE．
（2）解：如图，取AD中点O，连接PO，OE，
又PA＝PD，则PO⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO 平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD，
∴以O为原点，OA，OE，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设AD＝2，则A（1，0，0），B（1，2，0），C（﹣1，2，0），，，
∴，，，
设平面PBC的一个法向量为，则，
令y＝3得x＝0，，则，，
∴，
∴直线AF与平面PBC所成角的正弦值为．
15．【解答】解：（Ⅰ）证明：以C为坐标原点，CB，CD，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为1，则C（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），A1（1，1，1），
故，设平面α的法向量为，且，
，，
∴，
不妨取，故x＝y，
∵x2+y2+z2＝1，
∴可得，
∴，
根据法向量的特点，不妨设平面α的一个法向量为，
∴，
∴BD∥平面α；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得B1＝（1，0，1），故，
设直线B1D与平面α所成角的为θ，则．
16．【解答】解：（Ⅰ）∵平面ABEF⊥平面EFDC，平面ABEF∩平面EFDC＝EF，
FD⊥EF，
∴FD⊥平面ABEF，又AF 平面ABEF，
∴FD⊥AF，
在折起过程中，AF⊥EF，同时FD∩EF＝F，
∴AF⊥平面EFDC，
以F为坐标原点，分别以FE，FD，FA所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
当BE＝时，F（0，0，0），A（0，0，），D（0，，0），C（1，，0），
平面ABEF的法向量＝（0，，0），
∵＝，∴＝+＝，
∴P（0，，），
∴＝（﹣1，，），
∵CP∥平面ABEF，∴＝＝0，
解得，
∴线段AD上点P（0，），且，使得CP∥平面ABEF．
（Ⅱ）设BE＝x，则AF＝x（0＜x≤2），FD＝3﹣x，
∴VA﹣CDF＝＝＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，VA﹣CDF有最大值，且最大值为，
∴A（0，0，），C（1，，0），D（0，，0），E（1，0，0），
∴＝（1，0，﹣），＝（1，，﹣），＝（0，0，），＝（1，，0），
设平面AEC的一个法向量为＝（x，y，z），
则，取x＝3，得＝（3，0，2），
设平面ACF的一个法向量＝（a，b，c），
则，取a＝1，得＝（1，﹣2，0），
cos＜，＞＝＝＝．
∴二面角E﹣AC﹣F的余弦值为．