第24章解直角三角形检测题（有答案）华师大版数学九年级上册

第24章检测题（后附答案）
(时间：100分钟　　满分：120分)
一、精心选一选(每小题3分，共30分)
1．sin45°的值是( )
A． B． C． D．1
2.如图，在平面直角坐标系内有一点P(3，4)，连结OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是( )
A． B． C． D．
　　　　　　　　
第7题图
3．如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2 km.据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于( )
A．2 km B．3 km C．2 km D．4 km
4．在△ABC中，若sin A＝，tan B＝1，则这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
5．式子2cos30°－tan45°－的值是( )
A．2－2 B．0 C．2 D．2
6．如图，一条河的两岸互相平行，为了测量河的宽度PT(PT与河岸PQ垂直)，测量得P，Q两点间距离为m米，∠PQT＝α，则河宽PT的长为( )
A．m sin α B．m cos α C．m tan α D．
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°.分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN.直线MN与AB相交于点D，连结CD，若AB＝3，则CD的长是( )
A．6 B．3 C．1.5 D．1
8．如图，在△ABC中，AB＝BC＝，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连结DA，DC，则四边形ABCD的面积为( )
A.6 B．9 C．6 D．3
　　第8题图　
第9题图　　
9．无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135 m的A处测得试验田右侧边界N处俯角为43°，无人机垂直下降40 m至B处，又测得试验田左侧边界M处俯角为35°，则M，N之间的距离为(参考数据：tan 43°≈0.9，sin 43°≈0.7，cos 35°≈0.8，tan 35°≈0.7，结果保留整数)( )
A．188 m B．269 m C．286 m D．312 m
10．如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A，B，C，D，E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1∶2.4.根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为(参考数据：≈1.732)( )
A．136.6米 B．86.7米 C．186.7米 D．86.6米
二、细心填一填(每小题3分，共15分)
11．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sin A的值为__ __．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，△ABC的周长为18，则S△ABC＝__ __．
13．在△ABC中，若|2cos A－1|＋(－tan B)2＝0，则∠C＝__ __．
14．如图，沿AB方向架桥修路，为加快施工进度，在直线AB上湖的另一边的D处同时施工．取∠ABC＝150°，BC＝1600 m，∠BCD＝105°，则C，D两点的距离是__ __．
　　第14题图　
15．如图，我海军舰艇在某海域C岛附近巡航，计划从A岛向北偏东80°方向的B岛直线行驶．测得C岛在A岛的北偏东50°方向，在B岛的北偏西40°方向．A，B之间的距离为80 nmile，则C岛到航线AB的最短距离约是__ _.(参考数据：≈1.4，≈1.7，保留整数结果)
三、用心做一做(共75分)
16．(8分)先化简，再求代数式(＋)÷的值，其中x＝cos30°＋.
17．(9分)如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连结CM，CE.已知∠A＝50°，∠ACE＝30°.
(1)求证：CE＝CM.
(2)若AB＝4，求线段FC的长．
18．(9分)为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为20 m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于点D.为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15°.
(1)求该斜坡的高度BD；
(2)求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．(假设图中C，A，D三点共线)
19.(9分)如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔CD底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°.已知教学楼AB的高度为20 m，求信号塔的高度(计算结果保留根号).
20．(9分)如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos ∠ABC＝，BF为AD边上的中线．
(1)求AC的长；
(2)求tan ∠FBD的值．
21．(10分)2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为AB，BC两部分，小明同学在C点测得雪道BC的坡度i＝1∶2.4，在A点测得B点的俯角∠DAB＝30°.若雪道AB长为270 m，雪道BC长为260 m.
(1)求该滑雪场的高度h；
(2)据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少35 m3，且甲设备造雪150 m3所用的时间与乙设备造雪500 m3所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量．
22．(10分)湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且在C的正南方向900米处．
(1)求湖岸A与码头C的距离(结果精确到1米，参考数据：≈1.732)；
(2)救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．(接送游客上下船的时间忽略不计)
23．(11分)知识再现
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.
∵sin A＝，sin B＝，
∴c＝，c＝.
∴＝.
拓展探究
(1)如图2，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.
请探究，，之间的关系，并写出探究过程．
解决问题
(2)如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60 m，∠A＝75°，∠C＝60°.请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．
答案：
第24章检测题
(时间：100分钟　　满分：120分)
1．( B )
2．( D )
3．( D )
4．( A )
5．( B )
6．( C )
7．( C )
8．( D )
9．( C )
10．( A )
11．____．
12．____．
13．__60°__．
14．__800_m__．
15．__34_nmile__.
16．解：原式＝·＝x＋1，∵x＝cos30°＋＝×＋＝2，∴原式＝2＋1＝3
17．
解：(1)∵∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，∴MC＝MA＝MB，∴∠MCA＝∠A，∠MCB＝∠B，∵∠A＝50°，∴∠MCA＝50°，∠MCB＝∠B＝40°，∴∠EMC＝∠MCB＋∠B＝80°，∵∠ACE＝30°，∴∠MEC＝∠A＋∠ACE＝80°，∴∠MEC＝∠EMC，∴CE＝CM
(2)∵AB＝4，∴CE＝CM＝AB＝2，∵EF⊥AC，∠ACE＝30°，∴FC＝CE·cos 30°＝
18．
解：(1)在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，BA＝20 m，∴BD＝BA＝10(m)，答：该斜坡的高度BD为10 m
(2)在△ACB中，∠BAD＝30°，∠BCA＝15°，∴∠CBA＝15°，∴AB＝AC＝20(m)，答：斜坡新起点C与原起点A之间的距离为20 m
19.
解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，
由题意得：AB＝DE＝20 m，在Rt△ADE中，∠EAD＝30°，∴AE＝＝＝20(m)，在Rt△AEC中，∠CAE＝45°，∴CE＝AE·tan 45°＝20×1＝20(m)，∴CD＝CE＋DE＝(20＋20)m，∴信号塔的高度为(20＋20)m
20．
解：(1)∵cos ∠ABC＝＝，BC＝8，∴AB＝10，∵AC⊥BD，∴在Rt△ACB中，由勾股定理得AC＝＝＝6，即AC的长为6　
(2)如图，连结CF，过F点作BD的垂线，垂足为E，∵BF为AD边上的中线，即F为AD的中点，∴CF＝AD＝FD，∴△CFD为等腰三角形，∵FE⊥CD，∴CE＝CD＝2，∴BE＝BC＋CE＝10.在Rt△ACD中，由勾股定理得AD＝＝＝2，∴CF＝AD＝，在Rt△EFC中，EF＝＝＝3，∴tan ∠FBD＝＝
21．
解：(1)过B作BF∥AD，过A作AF⊥AD，两直线交于F，过B作BE垂直地面交地面于E，如图，
根据题意知∠ABF＝∠DAB＝30°，∴AF＝AB＝135(m)，∵BC的坡度i＝1∶2.4，∴BE∶CE＝1∶2.4，设BE＝t m，则CE＝2.4t m，∵BE2＋CE2＝BC2，∴t2＋(2.4t)2＝2602，解得t＝100(负值已舍去)，∴h＝AF＋BE＝235(m)，答：该滑雪场的高度h为235 m
(2)设甲种设备每小时的造雪量是x m3，则乙种设备每小时的造雪量是(x＋35)m3，根据题意得：＝，解得x＝15，经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，∴x＋35＝50，答：甲种设备每小时的造雪量是15 m3，乙种设备每小时的造雪量是50 m3
22．
解：(1)如图，延长CB到D，则CD⊥AD于点D，根据题意可知：∠NAC＝∠CAB＝30°，BC＝900米，BC∥AN，
∴∠C＝∠NAC＝∠CAB＝∠BAD＝30°，∴AB＝BC＝900米，∵∠BAD＝30°，∴BD＝AB＝450米，AD＝BD＝450(米)，∴AC＝2AD＝900≈1559(米)，答：湖岸A与码头C的距离约为1559米　(2)设快艇在x分钟内将该游客送上救援船，∵救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，∴150x＋(400x－900)＝1559，∴x≈4.5，答：快艇能在5分钟内将该游客送上救援船
23．
解：拓展探究
(1)如图，作CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，
在Rt△ABE中，sin B＝＝，∴AE＝c sin B，在△ACE中，sin ∠BCA＝＝，AE＝b sin ∠BCA，∴＝，同理可得sin ∠BAC＝＝，sin B＝＝，∴CD＝b sin ∠BAC，CD＝a sin B，∴＝，∴＝＝
解决问题
(2)在△ABC中，∠CBA＝180°－∠A－∠C＝180°－75°－60°＝45°，∵＝，∴＝，∴AB＝30，∴点A到点B的距离为30