第四章 数列 单元测试（含解析）

第四章 数列
第四章 数列（单元测试）
姓名:_______ 班级：_______ 分数：________
一、单选题
1．设为等比数列的前项和，且，则等于（ ）
A． B． C．5 D．11
2．若数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列，，则下列说法正确的是（ ）
A．此数列没有最大项 B．此数列的最大项是
C．此数列没有最小项 D．此数列的最小项是
5．设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．28 B．32 C．16 D．24
6．已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为( )
A． B． C． D．
7．已知数列的首项是，前项和为，且，设，若存在常数，使不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知数列满足，，记数列的前n项和为，若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知数列是等差数列，数列是等比数列，则下列说法正确的是（ ）
A．若p，q为实数，则是等比数列
B．若数列的前项和为，则，，成等差数列
C．若数列的公比，则数列是递增数列
D．若数列的公差，则数列是递减数列
10．已知数列，则前六项适合的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
11．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（ ）
A． B．
C．， D．
12．在数列中，，，则以下结论正确的为（ ）．
A．数列为等差数列
B．
C．当取最大值时，n的值为51
D．当数列的前n项和取得最大值时，n的值为49或51
三、填空题
13．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．用表示解下个圆环所需的最少移动次数．若，且则解下6个圆环所需的最少移动次数为_________．
14．已知数列{bn}的前n项和Sn＝2n2﹣n，设数列{}的前n项和为Kn，则K20的值为 __．
15．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共7升，下面4节的容积共17升，则第5节的容积为__升．
16．已知集合，，将中的所有元素按从小到大的顺序排列构成一个数列，设数列的前项和为，则使得成立的最小的的值为_____________.
四、解答题
17．已知为等差数列，为等比数列，的前项和，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
18．已知正项数列的前项和为，且，(且).
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
19．等差数列的首项为，公差，前n项和为．
（1）若，求的值；
（2）若对任意正整数n均成立，求的取值范围．
20．已知数列的前n项和满足，设.
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）按以下规律构造数列，具体方法如下：，，，…，，求数列的通项公式.
21．数列满足，已知．
（1）求，；
（2）若，则是否存在实数t，使为等差数列？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
22．已知等差数列和等比数列的各项均为整数，它们的前项和分别为，且，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求；
（3）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.
（2022·全国·高考真题（理））
23．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）
A． B． C． D．
（2022·全国·新高考1卷）
24．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
（2021·全国·新高考1卷）
25．已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】根据已知求出数列公比即可由等比数列求和公式得出.
【详解】，，，则公比，
，，.
故选：A.
2．C
【分析】利用前项积与通项的关系可求得结果.
【详解】由已知可得.
故选：C.
3．B
【分析】由，利用累加法得出.
【详解】由题意可得，
所以，，…，，
上式累加可得
，
又，所以.
故选：B.
4．B
【分析】令，则，，然后利用函数的知识可得答案.
【详解】令，则，
当时，
当时，，由双勾函数的知识可得在上单调递增，在上单调递减
所以当即时，取得最大值，
所以此数列的最大项是，最小项为
故选：B．
5．B
【分析】由等差数列前n项和的性质，可得，，，成等差数列，结合题干数据，可得解
【详解】由等差数列前n项和的性质，
可得，，，成等差数列，
∴，解得.
∴ 2，6，10，成等差数列，
可得，解得.
故选：B
6．B
【分析】利用等比数列前项和的性质表示出，再表示成同一变量，然后利用基本不等式求出其最小值即可.
【详解】因为是正项等比数列，
所以，，仍然构成等比数列，
所以.
又，，成等差数列，
所以，，
所以.
又是正项等比数列，
所以，，当且仅当时取等号.
故选：B.
7．C
【分析】首先由数列通项与前项和的关系得到数列的递推关系，再构造等比数列，求数列的通项公式，进一步求出数列的通项公式，从而可求数列通项公式，代入所求式子，分子、分母同除以构造基本不等式即可求出的最大值，从而求出的范围.
【详解】由，则当时，得，
两式相减得，变形可得：，
又，，所以，，
∴数列是以为首项、为公比的等比数列，故，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，故.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：构造等比数列求的通项公式，即可得通项公式，再由不等式恒成立，结合基本不等式求的最值，即可求参数范围.
8．C
【分析】由已知得，根据等比数列的定义得数列是首项为，公比为的等比数列，由此求得，然后利用裂项求和法求得，进而求得的取值范围.
【详解】解：依题意，当时，，则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，，即，
所以，
所以
，
所以的取值范围是.
故选：C.
9．BD
【分析】由等差、等比数列及其前n项和性质直接判断可得.
【详解】取，，显然A不正确；由等差数列片段和性质知B正确；取，易知，但为递减数列，故C不正确；若，则由等差数列定义知，故数列是递减数列，D正确.
故选：BD.
10．AC
【解析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案．
【详解】对于选项A，取前六项得：，满足条件；
对于选项B，取前六项得：，不满足条件；
对于选项C，取前六项得：，满足条件；
对于选项D，取前六项得：，不满足条件；
故选：AC
11．ACD
【分析】根据，，的值，可得，利用累加法可得，再计算前项的和可判断A；由递推关系可判断B；由可判断C；利用裂项求和可判断D，进而可得正确选项.
【详解】因为，
，
，
……，
，
以上个式子累加可得：，
所以，故选项A正确；
由递推关系可知：，故选项B不正确；
当，，故选项C正确；
因为，
所以
，故选项D正确；
故选：ACD.
12．ACD
【分析】由已知结合等差中项的定义证明等差数列可判断A；令，求得判断B；由等差数列的性质及等差数列的通项公式求得，利用数列的正负可求得取最大值时n的值判断C；数列的正负，知 ，，，又，可知数列前n项和取得最大值时，n的值判断D.
【详解】对于A，由，得，
两式作差得，即，所以数列为等差数列，故A正确；
对于B，令，知，故B错误；
对于C，由等差数列的性质知，即，又，
可得公差，所以，知数列的前51项为正，从第52项开始为负，当取最大值时，n的值为51，故C正确；
对于D，由数列的前51项为正，从第52项开始为负，又，
知，，，所以数列前49项和最大，
又，所以数列前51项和最大，当时，，
所以当或51时，的前n项和取得最大值，D正确．
故选：ACD
13．64
【分析】根据已知递推公式，利用代入法进行求解即可.
【详解】因为，所以
，
故答案为：64
14．
【分析】由题意首先求得数列的通项公式，然后裂项求和计算其前20项和即可．
【详解】当n＝1时，b1＝S1＝2﹣1＝1，
当n≥2时，，
且当n＝1时，4n﹣3＝1＝b1，故数列{bn}的通项公式为：bn＝4n﹣3，
则，
则．
故答案为：．
15．
【分析】设此等差数列为，由题意可得，利用等差数列的通项公式转化为关于和的方程，求得和的值即可求得的值.
【详解】设此等差数列为，公差，
由题意可得：，即，
解得：，所以．
故答案为：．
16．36
【分析】由题可得为数列的项，且利用分组求和可得，通过计算即得.
【详解】由题意，对于数列的项，其前面的项1，3，5，…，，共有项，，共有项，所以为数列的项，
且.
可算得（项），，，
因为，，，所以，，，
因此所求的最小值为36.
故答案为：36.
17．(1)，
(2)
【分析】（1）由的前项和即可求出等比数列的通项公式，由和即可求出等差数列的通项公式.
（2）利用错位相减法即可求得数列的前项和.
【详解】（1）设的公差为，的公比为，
由已知可得，，则，
即．
∵，∴，
又∵，
∴，解得，即．
（2）由（1）知，
令①，
①式两边同乘得：②，
错位相减得
则．
18．(1)
(2)
【分析】（1）由及题意可得数列为等差数列，从而求出，从而可求出答案；
（2）利用裂项相消法即可求出答案．
【详解】（1）∵，
∴，
又，
∴，
∴数列是以为首项，1为公差的等差数列，
∴，∴，
当时，，
当时，，满足上式，
∴数列的通项公式为；
（2）由（1）可知，，
，
∴当时，．
19．（1）；（2）．
【分析】（1）根据等差数列的前项和公式，即可求解；
（2）代入等差数列的通项和前项和公式，变形为对任意正整数n均成立，再求的取值范围.
【详解】（1）由题意知，
∴，
∴．
（2），
，
由对任意正整数n均成立，
得对任意正整数n均成立，
即对任意正整数n均成立，
当时，上式恒成立；
当时，，
又当时，取得最小值0，∴．
∴的取值范围为．
20．（1）证明见解析，；（2）.
【分析】（1）由题意，① ，当时，，② ，① -② 得，数列是等差数列即得证，即得数列的通项公式；
（2）由题得，再利用等差数列求和得解.
【详解】（1）由题意，①
令，得，所以.
当时，，②
① -② 得，
所以，即.
因为，所以，
所以数列是公差为1的等差数列.
又，所以.
又，所以.
（2）由题意，得
.
又，，，…，是首项为，公差为1的等差数列，
且共有项，
所以.
21．（1）；；（2）存在；．
【分析】（1）代入，进入，结合，即得解；
（2）利用等差数列定义，要使为等差数列，则为常数，分析即得解
【详解】（1）当时，．
当时，，
∴．
∴，解得．
（2）当时，
．
要使为等差数列，则为常数，即，
即存在，使为等差数列．
22．（1）；（2）；（3）存在，1.
【解析】（1）利用基本量法直接计算即可；
（2）利用错位相减法计算；
（3），令可得，，讨论即可.
【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为，
因为，
所以，即，解得，或（舍去）.
所以.
（2），
，
所以，
所以.
（3）由（1）可得，，
所以.
因为是数列或中的一项，所以，
所以，因为，
所以，又，则或.
当时，有，即，令.
则.
当时，；当时，，
即.
由，知无整数解.
当时,有，即存在使得是数列中的第2项，
故存在正整数，使得是数列中的项.
【点睛】本题考查数列的综合应用，涉及到等差、等比数列的通项，错位相减法求数列的前n项和，数列中的存在性问题，是一道较为综合的题.
23．D
【分析】根据，再利用数列与的关系判断中各项的大小，即可求解.
【详解】[方法一]:常规解法
因为，
所以，，得到，
同理，可得，
又因为，
故，；
以此类推，可得，，故A错误；
，故B错误；
，得，故C错误；
，得，故D正确.
[方法二]：特值法
不妨设则
故D正确.
24．(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
【详解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
25．（1）；（2）.
【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可；
(2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和.
【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：
显然为偶数，则，
所以，即，且，
所以是以2为首项，3为公差的等差数列，
于是．
[方法二]：奇偶分类讨论
由题意知，所以．
由（为奇数）及（为偶数）可知，
数列从第一项起，
若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，
若为偶数，则其后一项减去该项的差为2．
所以，则．
[方法三]：累加法
由题意知数列满足．
所以，
，
则．
所以，数列的通项公式．
（2）[方法一]：奇偶分类讨论
．
[方法二]：分组求和
由题意知数列满足，
所以．
所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．
从而数列的前20项和为：
．
【整体点评】(1)方法一：由题意讨论的性质为最一般的思路和最优的解法；
方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；
方法三：写出数列的通项公式，然后累加求数列的通项公式，是一种更加灵活的思路.
(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前项和是一种常规的方法；
方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择.
答案第1页，共2页
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