2023-2024学年人教A版数学必修第一册同步测试第 5.1.2 弧度制（解析版）

5.1.2　弧度制
一、单项选择题
1．把－化成角度是(　　)
A．－960° B．－480° C．－120° D．－60°
2．将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是(　　)
A. B. C．－ D．－
3．若α＝－3，则角α的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．将－1485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(　　)
A．－－8π B.－8π
C.－10π D.－10π
5．若集合A＝，B＝{x|－2≤x≤2}，则A∩B为(　　)
A．[－1,0]∪ B.
C．[－2,0]∪ D.∪
6．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)
7. 如图是一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这个扇形所含弓形(阴影区域)的面积是(　　)
A.(2－sin1cos1)R2
B.R2sin1cos1
C.R2
D．(1－sin1cos1)R2
8．若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么α与β间的关系为(　　)
A．α＋β＝0 B．α－β＝0
C．α＋β＝2kπ(k∈Z) D．α－β＝2kπ＋(k∈Z)
二、多项选择题
9．下列命题中，真命题是(　　)
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的
C．1 rad的角比1°的角要大
D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
10．下列结论中正确的为(　　)
A. rad＝60° B．10°＝ rad
C．36°＝ rad D. rad＝115°
11．下列各对角中，终边相同的是(　　)
A.和2kπ＋(k∈Z) B．－和
C．－和 D.和
12．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，下列选项中可能正确的有(　　)
A．圆的半径为2
B．圆的半径为1
C．圆心角的弧度数是1
D．圆心角的弧度数是2
三、填空题
13．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，集合B＝{x|－4≤x≤4}，则A∩B＝________.
14．(1)1°的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为________米；
(2)1 rad的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为________米．
15．角的集合A＝与集合B＝之间的关系为________．
16．若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________.
四、解答题
17．一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km，一列火车用30 km/h的速度通过，求火车经过10 s后转过的弧度数．
18．已知α＝－800°.
(1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)求角γ，使γ与角α的终边相同，且γ∈.
19．已知某扇形的周长是12 cm.
(1)若扇形的圆心角α＝30°，求该扇形的半径；
(2)当扇形半径为何值时，这个扇形的面积最大？并求出此时的圆心角．
20．单位圆上有两个动点M，N，它们同时从点P(1,0)出发，沿圆周运动，点M按逆时针方向每秒旋转弧度，点N按顺时针方向每秒旋转弧度，试探究：
(1)点M，N首次在点P相遇需要多长时间？
(2)在1分钟内，点M，N在第二象限内相遇的次数为多少？
5.1.2　弧度制
一、单项选择题
1．把－化成角度是(　　)
A．－960° B．－480° C．－120° D．－60°
答案　B
解析　－＝－°＝－480°.
2．将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是(　　)
A. B. C．－ D．－
答案　D
解析　将分针拨快10分钟，则分针转过的角度为－60°，－60°＝－60×＝－，故选D.
3．若α＝－3，则角α的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　C
解析　因为<3<π，所以－π<－3<－，故角α的终边在第三象限．
4．将－1485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(　　)
A．－－8π B.－8π
C.－10π D.－10π
答案　D
解析　－1485°＝－5×360°＋315°，化为α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式为－10π，选D.
5．若集合A＝，B＝{x|－2≤x≤2}，则A∩B为(　　)
A．[－1,0]∪ B.
C．[－2,0]∪ D.∪
答案　C
解析　A＝＝…∪∪∪…，∴A∩B＝[－2,0]∪.
6．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)
答案　C
解析　当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z；当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z.故选C.
7. 如图是一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这个扇形所含弓形(阴影区域)的面积是(　　)
A.(2－sin1cos1)R2
B.R2sin1cos1
C.R2
D．(1－sin1cos1)R2
答案　D
解析　∵l＝4R－2R＝2R，∴α＝＝2.∵S弓形＝S扇形－S△＝αR2－·＝×2×R2－R2sin1cos1＝(1－sin1cos1)R2.
8．若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么α与β间的关系为(　　)
A．α＋β＝0 B．α－β＝0
C．α＋β＝2kπ(k∈Z) D．α－β＝2kπ＋(k∈Z)
答案　D
解析　∵α＝x＋＋2k1π(k1∈Z)，β＝x－＋2k2π(k2∈Z)，∴α－β＝＋2(k1－k2)·π(k1∈Z，k2∈Z)．∵k1∈Z，k2∈Z，∴k1－k2∈Z.∴α－β＝＋2kπ(k∈Z)．
二、多项选择题
9．下列命题中，真命题是(　　)
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的
C．1 rad的角比1°的角要大
D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
答案　ABC
解析　根据1度、1弧度的定义可知A，B，C为真命题，D为假命题，故选ABC.
10．下列结论中正确的为(　　)
A. rad＝60° B．10°＝ rad
C．36°＝ rad D. rad＝115°
答案　ABC
解析　 rad＝×180°＝60°，A正确；10°＝10× rad＝ rad，B正确；36°＝36× rad＝ rad，C正确； rad＝×180°＝112.5°，D错误．故选ABC.
11．下列各对角中，终边相同的是(　　)
A.和2kπ＋(k∈Z) B．－和
C．－和 D.和
答案　AC
解析　在弧度制下，终边相同的角相差2π的整数倍．故选AC.
12．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，下列选项中可能正确的有(　　)
A．圆的半径为2
B．圆的半径为1
C．圆心角的弧度数是1
D．圆心角的弧度数是2
答案　ABC
解析　设扇形半径为r，圆心角弧度数为α，则由题意得解得或可得圆的半径为1或2，圆心角的弧度数是4或1.故选ABC.
三、填空题
13．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，集合B＝{x|－4≤x≤4}，则A∩B＝________.
答案　[－4，－π]∪[0，π]
解析　如图所示，
∴A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]．
14．(1)1°的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为________米；
(2)1 rad的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为________米．
答案　(1)　(2)1
解析　(1)因为|α|＝1°＝，l＝1，
所以r＝＝＝.
(2)因为l＝1，|α|＝1，所以r＝＝1.
15．角的集合A＝与集合B＝之间的关系为________．
答案　A＝B
解析　与分别表示终边在y轴的正、负半轴上的集合，∴集合B表示终边落在y轴上的角的集合，∴A＝B.
16．若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________.
答案　－，－，，
解析　由题意，角α与角的终边相同，
故α＝＋2kπ，k∈Z.
又α∈(－4π，4π)，∴－4π<＋2kπ<4π，k∈Z，
∴－故α＝－，－，，.
四、解答题
17．一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km，一列火车用30 km/h的速度通过，求火车经过10 s后转过的弧度数．
解　10 s内火车转过的圆形弧长为
×30＝(km)．
所以转过的角α＝＝(弧度)．
18．已知α＝－800°.
(1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)求角γ，使γ与角α的终边相同，且γ∈.
解　(1)因为－800°＝－3×360°＋280°，280°＝，
所以α＝＋(－3)×2π.
因为角α与终边相同，所以角α是第四象限角．
(2)因为与角α终边相同的角可写为2kπ＋，k∈Z的形式，而γ与α终边相同，所以γ＝2kπ＋，k∈Z.
又γ∈，所以－<2kπ＋<，k∈Z，
解得k＝－1.所以γ＝－2π＋＝－.
19．已知某扇形的周长是12 cm.
(1)若扇形的圆心角α＝30°，求该扇形的半径；
(2)当扇形半径为何值时，这个扇形的面积最大？并求出此时的圆心角．
解　(1)设扇形的半径为r.扇形的圆心角α＝30°＝，
则2r＋r＝12，解得r＝.
(2)设扇形的半径为R，弧长为l，
则由题意得l＋2R＝12，则l＝12－2R，
所以扇形面积
S＝lR＝(12－2R)R＝－(R－3)2＋9，
所以当R＝3时，扇形的面积最大，
此时圆心角为＝＝2.
20．单位圆上有两个动点M，N，它们同时从点P(1,0)出发，沿圆周运动，点M按逆时针方向每秒旋转弧度，点N按顺时针方向每秒旋转弧度，试探究：
(1)点M，N首次在点P相遇需要多长时间？
(2)在1分钟内，点M，N在第二象限内相遇的次数为多少？
解　(1)设从点P(1,0)出发，t(t>0)秒后点M，N首次在点P相遇，设此时是点M，N的第n(n∈N＋)次相遇，则t＋t＝2nπ，即t＝4n　①，又由点M沿圆周运动到点P处，得t＝2k1π(k1∈N＋)，即t＝12k1(k1∈N＋)　②.由①②得n＝3k1，则当k1＝1，n＝3时，点M，N首次在点P相遇，所需要的时间t＝12(秒)．
(2)设点M，N第m(m∈N＋)次相遇时所需的时间为x(x>0)秒，则x＋x＝2mπ，即x＝4m.由x≤60得，m≤15　③，又由点M在第二象限，知2k2π＋