2023-2024学年人教A版数学必修第一册同步测试 5.3.1 诱导公式二、三、四（解析版）

5.3　诱导公式
第1课时　诱导公式二、三、四
一、单项选择题
1．sin的值为(　　)
A. B. C．－ D．－
2．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P，则cos(π－θ)的值为(　　)
A．－ B．－ C. D.
3．设tan(5π＋α)＝m，则的值等于(　　)
A. B. C．－1 D．1
4.等于(　　)
A．sin2－cos2 B．cos2－sin2
C．±(sin2－cos2) D．sin2＋cos2
5．sin2150°＋sin2135°＋2sin210°＋cos2225°的值为(　　)
A. B. C. D.
6．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β∈R，若f(2009)＝5，则f(2020)等于(　　)
A．4 B．3 C．－5 D．5
7．已知n为整数，化简所得的结果是(　　)
A．tan(nα) B．－tan(nα)
C．tanα D．－tanα
8．在△ABC中，若sin(A＋B－C)＝sin(A－B＋C)，则△ABC必是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
二、多项选择题
9．设α为第二象限角，则下列各三角函数中值为负的是(　　)
A．cos(4π－α) B．sin(－α－2π)
C．sin(3π＋α) D．－cos(α－6π)
10．下列各函数值中符号为正的是(　　)
A．sin(－1000°) B．cos(－2200°)
C．tan D.
11．已知n∈Z，则下列三角函数值与sin的值相同的是(　　)
A．sin B．cos
C．sin D．cos
12．若α，β的终边关于y轴对称，则下列等式成立的是(　　)
A．sinα＝sinβ B．cosα＝cosβ
C．tanα＝－tanβ D．sinα＝－sinβ
三、填空题
13．若P(－4,3)是角α终边上一点，
则的值为________．
14．若cos(π＋α)＝－，<α<2π，则sin(α－2π)＝________.
15．满足sin(3π－x)＝，x∈[－2π，2π]的x的取值集合是________．
16．若sin(α－π)＝2cos(2π－α)，则tanα＝________，＝________.
四、解答题
17．在△ABC中，若sin(B＋C)＝sin(π－B)，cos(B＋C)＝cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
18．若k∈Z，求证：＝－1.
19．已知tan(π＋α)＝－，求下列各式的值．
(1)；
(2)sin(α－7π)·cos(α＋5π)．
20．(1)设f(α)＝，
求f的值；
(2)化简：sin·cos(n∈Z)．
5.3　诱导公式
第1课时　诱导公式二、三、四
一、单项选择题
1．sin的值为(　　)
A. B. C．－ D．－
答案　C
解析　sin＝sin＝－sin＝－，故选C.
2．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P，则cos(π－θ)的值为(　　)
A．－
B．－
C.
D.
答案　C
解析　由三角函数的定义知cosθ＝－，则cos(π－θ)＝－cosθ＝，故选C.
3．设tan(5π＋α)＝m，则的值等于(　　)
A. B. C．－1 D．1
答案　A
解析　因为tan(5π＋α)＝tan[4π＋(π＋α)]＝tan(π＋α)＝tanα，所以tanα＝m.所以原式＝＝＝＝.
4.等于(　　)
A．sin2－cos2 B．cos2－sin2
C．±(sin2－cos2) D．sin2＋cos2
答案　A
解析　原式＝＝.
∵<2<π，∴sin2>0，cos2<0，∴原式＝sin2－cos2.
5．sin2150°＋sin2135°＋2sin210°＋cos2225°的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　原式＝sin2(180°－30°)＋sin2(180°－45°)＋2sin(180°＋30°)＋cos2(180°＋45°)＝sin230°＋sin245°－2sin30°＋(－cos45°)2＝＋－1＋＝.故选A.
6．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β∈R，若f(2009)＝5，则f(2020)等于(　　)
A．4 B．3 C．－5 D．5
答案　C
解析　∵f(2009)＝asin(2009π＋α)＋bcos(2009π＋β)＝－asinα－bcosβ＝5，∴f(2020)＝asin(2020π＋α)＋bcos(2020π＋β)＝asinα＋bcosβ＝－5.
7．已知n为整数，化简所得的结果是(　　)
A．tan(nα) B．－tan(nα)
C．tanα D．－tanα
答案　C
解析　当n为偶数时，原式＝＝tanα；当n为奇数时，原式＝＝tanα.故选C.
8．在△ABC中，若sin(A＋B－C)＝sin(A－B＋C)，则△ABC必是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
答案　C
解析　∵A＋B＋C＝π，而sin(A＋B－C)＝sin(A＋C－B)，∴sin(π－2C)＝sin(π－2B)，∴sin2C＝sin2B，∴2C＝2B或2C＋2B＝π.∴C＝B或B＋C＝，即A＝.
二、多项选择题
9．设α为第二象限角，则下列各三角函数中值为负的是(　　)
A．cos(4π－α) B．sin(－α－2π)
C．sin(3π＋α) D．－cos(α－6π)
答案　ABC
解析　cos(4π－α)＝cos(－α)＝cosα<0；sin(－α－2π)＝sin(－α)＝－sinα<0；sin(3π＋α)＝sin(π＋α)＝－sinα<0；－cos(α－6π)＝－cosα>0.故选ABC.
10．下列各函数值中符号为正的是(　　)
A．sin(－1000°) B．cos(－2200°)
C．tan D.
答案　ABD
解析　sin(－1000°)＝sin80°>0；cos(－2200°)＝cos(－40°)＝cos40°>0；tan＝tan＝－tan<0；＝＝>0.故选ABD.
11．已知n∈Z，则下列三角函数值与sin的值相同的是(　　)
A．sin B．cos
C．sin D．cos
答案　BC
解析　sin＝.当n为奇数时，sin＝sin＝，当n为偶数时，sin＝sin＝－sin＝－；cos＝cos＝sin＝；sin＝sin＝；cos＝cos＝－cos＝－.故选BC.
12．若α，β的终边关于y轴对称，则下列等式成立的是(　　)
A．sinα＝sinβ B．cosα＝cosβ
C．tanα＝－tanβ D．sinα＝－sinβ
答案　AC
解析　解法一：∵α，β的终边关于y轴对称，∴α＋β＝π＋2kπ或α＋β＝－π＋2kπ，k∈Z，∴α＝2kπ＋π－β或α＝2kπ－π－β，k∈Z.∴sinα＝sinβ，A正确，D错误；cosα＝－cosβ，B错误；tanα＝－tanβ，C正确．故选AC.
解法二：设角α终边上一点P(x，y)，则点P关于y轴对称的点为P′(－x，y)，且点P与点P′到原点的距离相等，设为r，则sinα＝sinβ＝，cosα＝－cosβ＝，tanα＝－tanβ＝.故选AC.
三、填空题
13．若P(－4,3)是角α终边上一点，
则的值为________．
答案　－
解析　由题意知sinα＝，原式＝＝－＝－＝－.
14．若cos(π＋α)＝－，<α<2π，则sin(α－2π)＝________.
答案　－
解析　由cos(π＋α)＝－，得cosα＝，故sin(α－2π)＝sinα＝－＝－ ＝－(α为第四象限角)．
15．满足sin(3π－x)＝，x∈[－2π，2π]的x的取值集合是________．
答案　
解析　sin(3π－x)＝sin(π－x)＝sinx＝.当x∈[0,2π]时，x＝或；当x∈[－2π，0]时，x＝－或－.所以x的取值集合为.
16．若sin(α－π)＝2cos(2π－α)，则tanα＝________，＝________.
答案　－2　－
解析　由sin(α－π)＝2cos(2π－α)，得－sinα＝2cosα，即tanα＝－2.
所以＝
＝＝＝－.
四、解答题
17．在△ABC中，若sin(B＋C)＝sin(π－B)，cos(B＋C)＝cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
解　由已知，得sinA＝sinB，cosA＝cosB，
两式分别平方再相加，得2cos2A＝1，∴cosA＝±.
若cosA＝－，则cosB＝－，此时A，B均为钝角，不符合题意．
∴cosA＝，∴cosB＝cosA＝，
∴A＝，B＝，C＝π－(A＋B)＝.
18．若k∈Z，求证：＝－1.
证明　证法一：若k为偶数，则
左边＝＝＝－1.
若k为奇数，则
左边＝＝＝－1.
左边＝右边，所以原式成立．
证法二：利用(kπ－α)＋(kπ＋α)＝2kπ，[(k＋1)π＋α]＋[(k＋1)π－α]＝2(k＋1)π进行证明．
左边＝
＝＝－1.
左边＝右边，所以原式成立．
19．已知tan(π＋α)＝－，求下列各式的值．
(1)；
(2)sin(α－7π)·cos(α＋5π)．
解　由tan(π＋α)＝－，得tanα＝－.
(1)原式＝＝
＝
＝＝－.
(2)原式＝sin(－6π＋α－π)·cos(4π＋α＋π)
＝sin(α－π)·cos(α＋π)＝－sinα(－cosα)＝sinαcosα
＝＝＝－.
20．(1)设f(α)＝，
求f的值；
(2)化简：sin·cos(n∈Z)．
解　(1)∵f(α)＝
＝＝＝，
∴f＝＝
＝＝.
(2)当n＝2k(k∈Z)时，
原式＝sin·cos
＝sin·cos＝sin·
＝×＝－.
当n＝2k＋1(k∈Z)时，
原式＝sin·cos
＝sin·cos＝－sin·cos
＝－sin·cos＝－×＝－.
综上，原式＝－.