2023-2024学年人教A版数学必修第一册同步测试5.3.2 诱导公式五、六（解析版）

5.3.2　诱导公式五、六
一、单项选择题
1．已知sin10°＝k，则cos620°的值为(　　)
A．k B．－k C．±k D.
2．如果|sinα|＝，且α是第二象限角，那么sin＝(　　)
A．－ B. C．－ D.
3．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是(　　)
A．－a B．－a C.a D.a
4．已知cos＝，且|φ|<，则tanφ等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
5．设α是第二象限角，且cos＝－ ，则是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
6．已知sin＝，则cos的值等于(　　)
A. B. C．－ D．－
7．已知x∈，tanx＝－，则cos等于(　　)
A. B．－ C．－ D.
8．α为锐角，2tan(π－α)－3cos＝－5，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sinα＝(　　)
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知cos(75°＋α)＝，α为第三象限角，则下列计算正确的是(　　)
A．sin(α－15°)＝ B．sin(75°＋α)＝－
C．cos(105°－α)＝－ D．tan(α－105°)＝－2
10．设A，B，C是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是(　　)
A．cos(A＋B)＝cosC B．sin(A＋B)＝sinC
C．tan(A＋B)＝tanC D．sin＝cos
11．下列各式计算正确的是(　　)
A．cos(－225°)＋sin(－225°)＝0
B．sin－cos＝－1
C．sin2＋sin2＝1
D．sin1866°－sin(－606°)＋tan20°＋tan160°＝0
12．已知tanα，是关于x的方程3x2－3kx＋3k2－13＝0的两个实根，且3π<α<，下列结论正确的是(　　)
A．k＝
B．sinαcosα＝
C．sinα＋cosα＝
D．cos＋sin＝
三、填空题
13．已知cos＝，则sin＝________.
14．已知tan(3π＋α)＝2，则tanα＝________，
＝________.
15．已知函数f(x)＝cos，若cosθ＝，θ∈，则f＝________.
16．在△ABC中，sin＝sin，则△ABC的形状是________．
四、解答题
17．已知α为第二象限角，
化简.
18．已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，且α为第三象限角，求
的值．
19．求证：＝.
20．已知f(cosx)＝cos17x.
(1)求证：f(sinx)＝sin17x；
(2)对于怎样的整数n，能由f(sinx)＝sinnx推出f(cosx)＝cosnx
5.3.2　诱导公式五、六
一、单项选择题
1．已知sin10°＝k，则cos620°的值为(　　)
A．k B．－k C．±k D.
答案　B
解析　cos620°＝cos(360°＋260°)＝cos260°＝cos(180°＋80°)＝－cos80°＝－cos(90°－10°)＝－sin10°＝－k.
2．如果|sinα|＝，且α是第二象限角，那么sin＝(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　D
解析　∵α是第二象限角，∴sinα＝，∴sin＝－sin＝－cosα＝＝，故选D.
3．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是(　　)
A．－a B．－a C.a D.a
答案　B
解析　由条件得－sinα－sinα＝－a，故sinα＝，原式＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝－a.
4．已知cos＝，且|φ|<，则tanφ等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　C
解析　由cos＝－sinφ＝，得sinφ＝－，又|φ|＜，∴φ＝－，∴tanφ＝－.
5．设α是第二象限角，且cos＝－ ，则是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案　C
解析　∵α是第二象限角，∴是第一或第三象限角．
又－ ＝－ ＝－＝cos，∴为第三象限角．
6．已知sin＝，则cos的值等于(　　)
A. B. C．－ D．－
答案　A
解析　cos＝cos＝sin＝.
7．已知x∈，tanx＝－，则cos等于(　　)
A. B．－ C．－ D.
答案　C
解析　∵tanx＝＝－，∴cosx＝－sinx，∴sin2x＋cos2x＝sin2x＋sin2x＝sin2x＝1，∴sin2x＝.又x∈，∴sinx＝，∴cos＝cos＝－sinx＝－.
8．α为锐角，2tan(π－α)－3cos＝－5，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sinα＝(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由条件可知，－2tanα＋3sinβ＝－5　①，tanα－6sinβ＝1　②，①×2＋②可得tanα＝3，即sinα＝3cosα，又sin2α＋cos2α＝1，α为锐角，故可解得sinα＝.
二、多项选择题
9．已知cos(75°＋α)＝，α为第三象限角，则下列计算正确的是(　　)
A．sin(α－15°)＝ B．sin(75°＋α)＝－
C．cos(105°－α)＝－ D．tan(α－105°)＝－2
答案　BCD
解析　∵cos(75°＋α)＝sin(15°－α)，∴sin(α－15°)＝－sin(15°－α)＝－cos(75°＋α)＝－，A错误；∵cos(75°＋α)＝>0，且α为第三象限角，∴75°＋α是第四象限角，则sin(75°＋α)＝－＝－ ＝－，B正确；cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－，C正确；sin(α－105°)＝－sin(105°－α)＝－sin[180°－(75°＋α)]＝－sin(75°＋α)＝，又cos(α－105°)＝cos(105°－α)＝－，∴tan(α－105°)＝＝－2，D正确．故选BCD.
10．设A，B，C是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是(　　)
A．cos(A＋B)＝cosC B．sin(A＋B)＝sinC
C．tan(A＋B)＝tanC D．sin＝cos
答案　BD
解析　对于A，cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，A错误；对于B，sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，B正确；对于C，tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC，C错误；对于D，sin＝sin＝sin＝cos，D正确．故选BD.
11．下列各式计算正确的是(　　)
A．cos(－225°)＋sin(－225°)＝0
B．sin－cos＝－1
C．sin2＋sin2＝1
D．sin1866°－sin(－606°)＋tan20°＋tan160°＝0
答案　ACD
解析　对于A，cos(－225°)＋sin(－225°)＝cos225°－sin225°＝cos(180°＋45°)－sin(180°＋45°)＝－cos45°＋sin45°＝－＋＝0，A正确；对于B，原式＝－sin－cos＝－sin－cos＝sin＋cos＝＋＝1，B错误；对于C，因为＋＝，所以sin2＋sin2＝sin2＋cos2＝1，C正确；对于D，原式＝sin(5×360°＋66°)－sin(－2×360°＋114°)＋tan20°＋tan(180°－20°)＝sin66°－sin114°＋tan20°＋tan(－20°)＝sin66°－sin(180°－66°)＋tan20°＋tan(－20°)＝sin66°－sin66°＋tan20°－tan20°＝0，D正确．故选ACD.
12．已知tanα，是关于x的方程3x2－3kx＋3k2－13＝0的两个实根，且3π<α<，下列结论正确的是(　　)
A．k＝
B．sinαcosα＝
C．sinα＋cosα＝
D．cos＋sin＝
答案　ABD
解析　∵tanα，是方程3x2－3kx＋3k2－13＝0的两个实根，∴tanα·＝，∴＝1.∴k2＝.∵3π<α<，即α为第三象限角，∴tanα>0，sinα<0，cosα<0.又tanα＋＝－＝k，∴k>0.故由k2＝，知k＝，A正确；又tanα＋＝＋＝，∴sinαcosα＝，B正确；(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋2×＝1＋.又sinα＋cosα<0，∴sinα＋cosα＝－ ＝－ ＝－，C错误；于是cos＋sin＝－sinα－cosα＝－(sinα＋cosα)＝，D正确．故选ABD.
三、填空题
13．已知cos＝，则sin＝________.
答案　－
解析　sin＝－sin＝－sin＝－cos＝－.
14．已知tan(3π＋α)＝2，则tanα＝________，
＝________.
答案　2　2
解析　由tan(3π＋α)＝2，得tanα＝2，所以
＝＝＝＝＝2.
15．已知函数f(x)＝cos，若cosθ＝，θ∈，则f＝________.
答案　－
解析　f＝cos＝cos＝cos＝sinθ.由已知可得θ为第四象限角，所以sinθ<0，故sinθ＝－＝－，f＝sinθ＝×＝－.
16．在△ABC中，sin＝sin，则△ABC的形状是________．
答案　等腰三角形
解析　∵A＋B＋C＝π，∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.又∵sin＝sin，
∴sin＝sin.∴sin＝sin.∴cosC＝cosB.又∵B，C为△ABC的内角，∴C＝B.
∴△ABC为等腰三角形．
四、解答题
17．已知α为第二象限角，
化简.
解　原式＝
＝＝
＝.
∵α为第二象限角，∴sinα>0，cosα<0，
sinα－cosα>0，故原式＝＝－1.
18．已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，且α为第三象限角，求
的值．
解　因为5x2－7x－6＝0的两根为x＝2或x＝－，
所以sinα＝－.又因为α为第三象限角，
所以cosα＝－＝－.所以tanα＝.
故原式＝
＝tanα＝.
19．求证：＝.
证明　左边＝
＝＝
＝＝＝.
右边＝＝.
左边＝右边，故原等式成立．
20．已知f(cosx)＝cos17x.
(1)求证：f(sinx)＝sin17x；
(2)对于怎样的整数n，能由f(sinx)＝sinnx推出f(cosx)＝cosnx
解　(1)证明：f(sinx)＝f＝cos＝cos＝cos＝sin17x.
(2)f(cosx)＝f＝sin
＝sin＝k∈Z.
故所求的整数为n＝4k＋1，k∈Z.