2023-2024学年人教A版数学必修第一册同步测试5.2.1三角函数的概念（解析版）

5.2　三角函数的概念
5．2.1　三角函数的概念
一、单项选择题
1．cos1470°的值为(　　)
A. B. C．－ D．－
2．若角α终边上一点的坐标为(1，－1)，则角α为(　　)
A．2kπ＋，k∈Z B．2kπ－，k∈Z
C．kπ＋，k∈Z D．kπ－，k∈Z
3．若tanα>0，则(　　)
A．sinα>0 B．cosα>0
C．sin2α>0 D．cos2α>0
4．已知角α的终边经过点P(3，－4)，则sinα＋＝(　　)
A．－ B. C. D.
5．若点P(sinα，tanα)在第三象限，则角α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
6．若角α的终边在直线y＝2x上，则sinα等于(　　)
A．± B．± C．± D．±
7．在△ABC中，若sinAcosBtanC<0，则△ABC是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．锐角或钝角三角形
8．使lg (sinθcosθ)＋有意义的θ在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
二、多项选择题
9．已知角α的终边过点P(4，－3)，则下面各式中正确的是(　　)
A．sinα＝－ B．cosα＝
C．tanα＝－ D．tanα＝－
10．下列说法正确的是(　　)
A．正角的正弦值是正的，负角的正弦值是负的，零角的正弦值是零
B．设A是第三象限的角，且＝－sin，则是第四象限的角
C．对任意的角α，都有|sinα＋cosα|＝|sinα|＋|cosα|
D．若cosα与tanα同号，则α是第一或第二象限的角
11．下列结论正确的是(　　)
A．－是第三象限角
B．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形面积为
C．若角α的终边过点P(－3,4)，则cosα＝－
D．若角α为锐角，则角2α为钝角
12．在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点P(1，m)(m<0)，则下列各式一定为正的是(　　)
A．sinα＋cosα B．cosα－sinα
C．sinαcosα D.
三、填空题
13．若角α的终边经过点(2sin30°，－2cos30°)，则sinα＝________.
14．求值：cos＋tan＝________.
15．已知α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sinα>0，cosα<0，则a的取值范围是________．
16．已知P是角α的终边上一点，则cosα＝________，角α的最小正值是________．
四、解答题
17．已知角α的终边落在直线y＝x上，求sinα，cosα，tanα的值．
18．角α终边上存在一点P，且<0，求sinα＋cosα的值．
19．判断下列三角函数值的符号．
(1)sin3，cos4，tan5；
(2)(θ为第二象限角)．
20．计算：(1)sin390°＋cos(－660°)＋3tan405°－cos540°；
(2)sin＋tanπ－2cos0°＋tan－sin.
5.2　三角函数的概念
5．2.1　三角函数的概念
一、单项选择题
1．cos1470°的值为(　　)
A. B. C．－ D．－
答案　B
解析　cos1470°＝cos(4×360°＋30°)＝cos30°＝.
2．若角α终边上一点的坐标为(1，－1)，则角α为(　　)
A．2kπ＋，k∈Z B．2kπ－，k∈Z
C．kπ＋，k∈Z D．kπ－，k∈Z
答案　B
解析　由角α终边上一点的坐标为(1，－1)，知角α为第四象限角，且tanα＝－1，故α＝2kπ－，k∈Z.故选B.
3．若tanα>0，则(　　)
A．sinα>0 B．cosα>0
C．sin2α>0 D．cos2α>0
答案　C
解析　因为tanα>0，所以α为第一或第三象限角，即2kπ<α<2kπ＋或2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z.那么4kπ<2α<4kπ＋π或4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，k∈Z.所以2α为第一或第二象限角或终边在y轴的非负半轴上，从而sin2α>0.
4．已知角α的终边经过点P(3，－4)，则sinα＋＝(　　)
A．－ B. C. D.
答案　D
解析　∵P(3，－4)，∴r＝5，∴sinα＝＝－，cosα＝，∴sinα＋＝－＋＝，故选D.
5．若点P(sinα，tanα)在第三象限，则角α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案　D
解析　因为点P(sinα，tanα)在第三象限，所以sinα<0，tanα<0，所以α是第四象限角，故选D.
6．若角α的终边在直线y＝2x上，则sinα等于(　　)
A．± B．± C．± D．±
答案　C
解析　当角α的终边在第一象限时，可设直线上一点P(1,2)，则sinα＝＝；当角α的终边在第三象限时，可设直线上一点P(－1，－2)，此时sinα＝＝－.∴sinα＝±.
7．在△ABC中，若sinAcosBtanC<0，则△ABC是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．锐角或钝角三角形
答案　C
解析　∵sinA>0，∴cosB，tanC中一定有一个小于0，即B，C中有一个钝角．
8．使lg (sinθcosθ)＋有意义的θ在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　C
解析　由题意有sinθcosθ>0且－cosθ≥0，由sinθcosθ>0，知θ为第一象限角或第三象限角；由－cosθ≥0，知θ为第二象限角或第三象限角或终边在y轴上或在x轴非正半轴上，∴θ为第三象限角．
二、多项选择题
9．已知角α的终边过点P(4，－3)，则下面各式中正确的是(　　)
A．sinα＝－ B．cosα＝
C．tanα＝－ D．tanα＝－
答案　ABC
解析　由角α的终边过点P(4，－3)，得角α是第四象限角，故sinα＝＝－，cosα＝＝，tanα＝＝－.故选ABC.
10．下列说法正确的是(　　)
A．正角的正弦值是正的，负角的正弦值是负的，零角的正弦值是零
B．设A是第三象限的角，且＝－sin，则是第四象限的角
C．对任意的角α，都有|sinα＋cosα|＝|sinα|＋|cosα|
D．若cosα与tanα同号，则α是第一或第二象限的角
答案　BD
解析　对于A，正角和负角的正弦值均可正、可负，A错误；对于B，由A是第三象限的角，可知是第二象限角或第四象限角，又＝－sin，所以是第四象限角，B正确；对于C，令α＝，则|sinα＋cosα|＝＝0，|sinα|＋|cosα|＝＋＝，C错误；对于D，若cosα>0，tanα>0，则α是第一象限角，若cosα<0，tanα<0，则α是第二象限角，D正确．故选BD.
11．下列结论正确的是(　　)
A．－是第三象限角
B．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形面积为
C．若角α的终边过点P(－3,4)，则cosα＝－
D．若角α为锐角，则角2α为钝角
答案　BC
解析　对于A，－的终边与相同，为第二象限角，所以A不正确；对于B，设扇形的半径为r，则r＝π，所以r＝3，扇形面积为×3×π＝，所以B正确；对于C，角α的终边过点P(－3,4)，根据三角函数定义，cosα＝－，所以C正确；对于D，角α为锐角时，0<α<，则0<2α<π，所以D不正确．故选BC.
12．在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点P(1，m)(m<0)，则下列各式一定为正的是(　　)
A．sinα＋cosα B．cosα－sinα
C．sinαcosα D.
答案　BD
解析　∵角α以Ox为始边，终边经过点P(1，m)(m<0)，∴α是第四象限角，∴sinα<0，cosα>0，tanα<0，∴cosα＋sinα不一定是正数，故A错误；cosα－sinα>0，故B正确；cosαsinα<0，故C错误；>0，故D正确．故选BD.
三、填空题
13．若角α的终边经过点(2sin30°，－2cos30°)，则sinα＝________.
答案　－
解析　所给点的坐标为(1，－)，故sinα＝－.
14．求值：cos＋tan＝________.
答案　
解析　原式＝cos＋tan
＝cos＋tan＝＋＝.
15．已知α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sinα>0，cosα<0，则a的取值范围是________．
答案　(－2,3)
解析　∵α的终边过点(3a－9，a＋2)，则
sinα＝ >0，
且cosα＝<0，
即a＋2>0且3a－9<0，解得－216．已知P是角α的终边上一点，则cosα＝________，角α的最小正值是________．
答案　　
解析　由于P是角α的终边上一点，所以cosα＝＝.由于>0，－<0，所以P在第四象限，即α是第四象限角，所以α＝2kπ－，当k＝1时，α取得最小正值为.
四、解答题
17．已知角α的终边落在直线y＝x上，求sinα，cosα，tanα的值．
解　当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P(1,1)，由r＝，得sinα＝，cosα＝，tanα＝1；
当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点Q(－1，－1)，
由r＝，得sinα＝－，cosα＝－，tanα＝1.
18．角α终边上存在一点P，且<0，求sinα＋cosα的值．
解　∵<0，∴或
∴α是第三或第四象限角．
当α是第三象限角时，－<0且<0，m的值不存在，∴α是第四象限角，－>0且<0.
∴m<0，r＝|OP|＝－.∴sinα＝－，cosα＝.
∴sinα＋cosα＝－＋＝.
19．判断下列三角函数值的符号．
(1)sin3，cos4，tan5；
(2)(θ为第二象限角)．
解　(1)∵<3<π，π<4<，<5<2π，
∴sin3>0，cos4<0，tan5<0.
(2)∵θ为第二象限角，
∴0∴sin(cosθ)<0，cos(sinθ)>0，∴<0.
20．计算：(1)sin390°＋cos(－660°)＋3tan405°－cos540°；
(2)sin＋tanπ－2cos0°＋tan－sin.
解　(1)原式＝sin(360°＋30°)＋cos(－2×360°＋60°)＋3tan(360°＋45°)－cos(360°＋180°)＝sin30°＋cos60°＋3tan45°－cos180°＝＋＋3×1－(－1)＝5.
(2)原式＝sin＋tanπ－2cos0°＋tan－sin＝sin＋tanπ－2cos0°＋tan－sin＝1＋0－2＋1－＝－.