2023-2024学年人教A版数学必修第一册同步测试5.2.2同角三角函数的基本关系（解析版）

5.2.2　同角三角函数的基本关系
一、单项选择题
1．化简的结果是(　　)
A．cos160° B．±|cos160°|
C．±cos160° D．－cos160°
2．已知sinα－cosα＝－，则sinαcosα等于(　　)
A. B．－ C．－ D.
3．已知tanx＝，且x在第三象限，则cosx＝(　　)
A. B．－ C. D．－
4．若＝－5，则tanα的值为(　　)
A．－2 B．2 C. D．－
5．已知＝2，则sinθcosθ的值是(　　)
A. B．± C. D．－
6．已知＝－，那么的值是(　　)
A. B．－ C．2 D．－2
7．若cosα＋2sinα＝，则tanα＝(　　)
A. B．2 C．－ D．－2
8．已知sinα，cosα是关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的两个根，则sin3α＋cos3α＝(　　)
A．－1－ B．－1＋
C．－2＋ D．2－
二、多项选择题
9．下面四个命题中可能成立的是(　　)
A．sinα＝且cosα＝
B．sinα＝0且cosα＝－1
C．tanα＝1且cosα＝
D．α在第二象限时，tanα＝－
10．已知sinθ＝－，且cosθ>0，则(　　)
A．tanθ<0 B．tan2θ>
C．sin2θ>cos2θ D．sinθcosθ＝－
11．已知α，β都是锐角，且＋＝2，则角α＋β的值可能是(　　)
A. B. C. D.
12．已知2sinθ－cosθ＝1,3cosθ－2sinθ＝a，记数a形成的集合为A，则下列说法正确的是(　　)
A．sinθ的值为0或
B．cosθ的值为－1或
C．A＝
D．若x∈A，y∈A，则以P(x，y)为顶点的平面图形为正方形
三、填空题
13．已知cos＝，0<α<，则sin＝________.
14．化简－的结果是________．
15．在△ABC中，若tanA＝，则sinA＝________.
16．已知f(α)＝cosαsinα.若P(－4,3)为角α终边上的一点，则f(α)＝________；若f(α)＝，则tanα＝________.
四、解答题
17．已知1－sinθsinα＝cosα，1＋cosα＝tanθsinα(α≠kπ，k∈Z)，求cosθ－的值．
18．已知tanα＝2，求下列代数式的值：
(1)；
(2)sin2α＋sinαcosα＋cos2α.
19．若<α<2π，化简： ＋ .
20．求证：(1)－＝sinα＋cosα；
(2)(2－cos2α)(2＋tan2α)＝(1＋2tan2α)(2－sin2α)．
5.2.2　同角三角函数的基本关系
一、单项选择题
1．化简的结果是(　　)
A．cos160° B．±|cos160°|
C．±cos160° D．－cos160°
答案　D
解析　＝ ＝|cos160°|＝－cos160°.
2．已知sinα－cosα＝－，则sinαcosα等于(　　)
A. B．－ C．－ D.
答案　C
解析　因为sinα－cosα＝－，两边平方可得1－2sinαcosα＝，所以2sinαcosα＝－，即sinαcosα＝－.
3．已知tanx＝，且x在第三象限，则cosx＝(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　D
解析　因为tanx＝，且x在第三象限，所以＝，cosx<0，结合sin2x＋cos2x＝1，解得cosx＝－.
4．若＝－5，则tanα的值为(　　)
A．－2 B．2 C. D．－
答案　D
解析　由＝＝－5，解得tanα＝－.
5．已知＝2，则sinθcosθ的值是(　　)
A. B．± C. D．－
答案　C
解析　由条件得sinθ＋cosθ＝2sinθ－2cosθ，即3cosθ＝sinθ，tanθ＝3，∴sinθcosθ＝＝＝＝.
6．已知＝－，那么的值是(　　)
A. B．－ C．2 D．－2
答案　A
解析　因为·＝＝－1，故＝.
7．若cosα＋2sinα＝，则tanα＝(　　)
A. B．2 C．－ D．－2
答案　B
解析　解法一：由解得
所以tanα＝＝2.
解法二：因为cosα＋2sinα＝，所以(cosα＋2sinα)2＝5，则＝5，即＝5，
所以＝5，解得tanα＝2.
解法三：设tanα＝＝t，则sinα＝tcosα，代入题设cosα＋2sinα＝，得sinα＝，cosα＝，又sin2α＋cos2α＝1，所以t＝2.
解法四：注意到本题中的勾股数为(1,2，)，因此可以用代入条件式验证，注意到＋2×＝，因此有所以tanα＝＝2.
8．已知sinα，cosα是关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的两个根，则sin3α＋cos3α＝(　　)
A．－1－ B．－1＋
C．－2＋ D．2－
答案　C
解析　由题意可知，sinα＋cosα＝a，sinαcosα＝a，∴sin2α＋cos2α＝(sinα＋cosα)2－2sinαcosα＝a2－2a＝1，解得a＝1－或a＝1＋.∵sinα，cosα是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个根，∴Δ＝a2－4a≥0，解得a≥4或a≤0，∴a＝1－.故sin3α＋cos3α＝(sinα＋cosα)(sin2α－sinαcosα＋cos2α)＝(sinα＋cosα)(1－sinαcosα)＝a(1－a)＝－2＋.
二、多项选择题
9．下面四个命题中可能成立的是(　　)
A．sinα＝且cosα＝
B．sinα＝0且cosα＝－1
C．tanα＝1且cosα＝
D．α在第二象限时，tanα＝－
答案　BC
解析　由sin2α＋cos2α＝1，得A不可能成立，B可能成立；当α＝时，tanα＝1，cosα＝，C可能成立；不论α在第几象限，均有tanα＝，D不可能成立．故选BC.
10．已知sinθ＝－，且cosθ>0，则(　　)
A．tanθ<0 B．tan2θ>
C．sin2θ>cos2θ D．sinθcosθ＝－
答案　ABD
解析　∵sinθ＝－，且cosθ>0，∴cosθ＝ ＝，∴tanθ＝＝－<0，A正确；tan2θ＝>，B正确；＝sin2θ11．已知α，β都是锐角，且＋＝2，则角α＋β的值可能是(　　)
A. B. C. D.
答案　BD
解析　由＋＝2，得＝2，cos2αcos2β＋sin2αsin2β＝2sin2βcos2β，即cos2αcos2β－sin2βcos2β＝sin2βcos2β－sin2αsin2β，所以cos2β(cos2α－sin2β)＝sin2β(cos2β－sin2α)，所以cos2β(cos2α－sin2β)＝sin2β(cos2α－sin2β)，故cos2β＝sin2β或cos2α＝sin2β，已知α，β都是锐角，所以β＝，α＋β∈或α＋β＝，故选BD.
12．已知2sinθ－cosθ＝1,3cosθ－2sinθ＝a，记数a形成的集合为A，则下列说法正确的是(　　)
A．sinθ的值为0或
B．cosθ的值为－1或
C．A＝
D．若x∈A，y∈A，则以P(x，y)为顶点的平面图形为正方形
答案　ABCD
解析　将2sinθ－cosθ＝1与sin2θ＋cos2θ＝1联立，解得sinθ＝0，cosθ＝－1或sinθ＝，cosθ＝，A，B正确；a＝3cosθ－2sinθ＝－3或，即A＝，C正确；P(x，y)可以是P1(－3，－3)，P2，P3，P4，则以这四个点为顶点的平面图形是一个正方形，D正确．故选ABCD.
三、填空题
13．已知cos＝，0<α<，则sin＝________.
答案　
解析　∵0<α<，∴<α＋<，
∴sin＝ ＝.
14．化简－的结果是________．
答案　－
解析　原式＝＝＝＝－.
15．在△ABC中，若tanA＝，则sinA＝________.
答案　
解析　由tanA＝>0且角A是△ABC的内角可得016．已知f(α)＝cosαsinα.若P(－4,3)为角α终边上的一点，则f(α)＝________；若f(α)＝，则tanα＝________.
答案　－　1
解析　由P(－4,3)为角α终边上的一点，可得cosα＝－，sinα＝，则f(α)＝cosαsinα＝－×＝－.∵f(α)＝，即cosαsinα＝，∴＝，即＝，解得tanα＝1.
四、解答题
17．已知1－sinθsinα＝cosα，1＋cosα＝tanθsinα(α≠kπ，k∈Z)，求cosθ－的值．
解　由已知，得sinθ＝，tanθ＝，
∴cosθ－＝＝－＝－sinθtanθ
＝－·＝－＝－＝－1.
18．已知tanα＝2，求下列代数式的值：
(1)；
(2)sin2α＋sinαcosα＋cos2α.
解　(1)原式＝＝.
(2)原式＝
＝
＝
＝.
19．若<α<2π，化简： ＋ .
解　∵<α<2π，
∴原式＝ ＋
＝ ＋
＝ ＋
＝－－＝－.
20．求证：(1)－＝sinα＋cosα；
(2)(2－cos2α)(2＋tan2α)＝(1＋2tan2α)(2－sin2α)．
证明　(1)左边＝－
＝－
＝－
＝－
＝
＝sinα＋cosα
＝右边．
∴原式成立．
(2)∵左边＝4＋2tan2α－2cos2α－sin2α＝2＋2tan2α＋2sin2α－sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α，
右边＝(1＋2tan2α)(1＋cos2α)＝1＋2tan2α＋cos2α＋2sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α，
∴左边＝右边，
∴原式成立．