2023-2024学年人教A版数学必修第一册同步测试 第五章 三角函数 单元质量测评（解析版）

第五章 三角函数　单元质量测评
　　时间：120分钟　　　满分：150分
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点且cosα＝x，则x的值为(　　)
A. B．± C．－ D．－
2．若扇形的圆心角为150°，半径为，则此扇形的面积为(　　)
A. B．π C. D.
3．若sinα是5x2－7x－6＝0的根，
则＝(　　)
A. B. C. D.
4．设a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．c＜b＜a D．a＜c＜b
5．已知α∈，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝(　　)
A. B. C. D.
6．函数y＝logcos的单调递增区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
7．下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是(　　)
A．f(x)＝|cos2x| B．f(x)＝|sin2x|
C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|
8. 函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象如图所示，为了得到函数f(x)的图象，只需将g(x)＝sinωx的图象(　　)
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．下列命题正确的是(　　)
A．若cosθ<0，则θ是第二或第三象限角
B．若α>β，则cosαC．若α与β是终边相同的角，则sinα＝sinβ
D．α是第三象限角 sinαcosα>0且<0
10．设函数f(x)＝sin＋cos，则(　　)
A．f(x)是偶函数
B．f(x)在上单调递减
C．f(x)的最大值为2
D．f(x)的图象关于直线x＝对称
11．已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的周期是2π
B．f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}
C．直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴
D．f(x)的单调递减区间是(k∈Z)
12. 如图，摩天轮的半径为40 m，其中心O点距离地面的高度为50 m，摩天轮按逆时针方向做匀速转动，且20 min转一圈，若摩天轮上点P的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中(　　)
A．经过10 minP点距离地面10 m
B．若摩天轮转速减半，则其周期变为原来的
C．第17 min和第43 min时P点距离地面的高度相同
D．摩天轮转动一圈，P点距离地面的高度不低于70 m的时间为 min
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．cos89°cos1°＋sin91°sin181°＝________.
14．函数y＝1＋ 的定义域为________．
15．将函数f(x)＝2cosx＋2sinx的图象沿x轴向右平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象关于坐标原点对称，则φ的最小值为________．
16．已知方程x2＋4ax＋3a＋1＝0(a>1)的两根分别为tanα，tanβ，且α，β∈，则tan(α＋β)＝________，tan＝________.
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知f(α)＝
.
(1)若α＝－，求f(α)的值；
(2)若α为第二象限角，且cos＝，求f(α)的值．
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)·sin2x＋cos4x.
(1)求f(x)的最小正周期及最大值；
(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值．
19．(本小题满分12分)是否存在实数a，使得函数y＝sin2x＋acosx＋a－在闭区间上的最大值是1？若存在，则求出对应的a值；若不存在，则说明理由．
20．(本小题满分12分)已知函数y＝2sin.
(1)试用“五点法”画出它的图象；
(2)求它的振幅、周期和初相；
(3)根据图象写出它的单调递减区间．
21．(本小题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，
且2sin2＋cos2C＝1.
(1)求角C的大小；
(2)若sin2A－sin2B＝sin2C，试求sin的值．
22．(本小题满分12分)塔斯马尼亚·琼斯试图寻回丢失的Zambeji钻石．钻石是埋在死亡峡谷内4公里的一个地方，这里被野蛮的昆虫所侵扰．为了寻回钻石，塔斯马尼亚将要闯入这个峡谷，挖取钻石，并从原路返回．在这个峡谷中，昆虫密度是时间的一个连续函数．密度记为C，是指每平方米的昆虫数量，这个C的函数表达式为C(t)＝
这里的t是午夜后的小时数，m是一个实常数．
(1)求m的值；
(2)求出昆虫密度的最小值和出现最小值时的时间t；
(3)如果昆虫密度超过1250只/米2，那么昆虫的侵扰将是致命性的．午夜后几点，昆虫的密度首次出现非致命性的侵扰？
第五章　单元质量测评
　　时间：120分钟　　　满分：150分
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点且cosα＝x，则x的值为(　　)
A. B．± C．－ D．－
答案　C
解析　∵cosα＝＝＝x，∴x＝0(∵α是第二象限角，舍去)或x＝(舍去)或x＝－.故选C.
2．若扇形的圆心角为150°，半径为，则此扇形的面积为(　　)
A. B．π C. D.
答案　A
解析　∵150°＝，∴S＝××()2＝，故选A.
3．若sinα是5x2－7x－6＝0的根，
则＝(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2.则sinα＝－，原式＝＝－＝.
4．设a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．c＜b＜a D．a＜c＜b
答案　D
解析　由题意知，a＝sin14°＋cos14°＝＝sin59°，同理可得，b＝sin16°＋cos16°＝sin61°，c＝＝sin60°，∵y＝sinx在(0°，90°)上单调递增，∴sin59°＜sin60°＜sin61°，∴a＜c＜b，故选D.
5．已知α∈，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝2cos2α.又α∈，∴tanα＝，∴sinα＝.故选B.
6．函数y＝logcos的单调递增区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案　B
解析　原函数可变形为y＝log (－sin2x)，定义域为，k∈Z.研究函数y＝sin2x的单调递增区间，得－＋2kπ≤2x<2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x7．下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是(　　)
A．f(x)＝|cos2x| B．f(x)＝|sin2x|
C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|
答案　A
解析　作出函数f(x)＝|cos2x|的图象，如图．由图象可知f(x)＝|cos2x|的周期为，在区间上单调递增．同理可得f(x)＝|sin2x|的周期为，在区间上单调递减，f(x)＝cos|x|的周期为2π.f(x)＝sin|x|不是周期函数．故选A.
8. 函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象如图所示，为了得到函数f(x)的图象，只需将g(x)＝sinωx的图象(　　)
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
答案　C
解析　设f(x)的最小正周期为T，则由图象可知＝－＝，T＝π，ω＝＝2.由sin＝0，|φ|<，得φ＝.所以f(x)＝sin＝sin.因为g(x)＝sin2x，所以要得到f(x) 的图象，只需将g(x)的图象向左平移个单位长度，故选C.
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．下列命题正确的是(　　)
A．若cosθ<0，则θ是第二或第三象限角
B．若α>β，则cosαC．若α与β是终边相同的角，则sinα＝sinβ
D．α是第三象限角 sinαcosα>0且<0
答案　CD
解析　当θ＝2kπ＋π(k∈Z)时，cosθ＝－1<0，此时θ不是象限角，A错误；由于y＝cosx在R上不是减函数，因此由α>β得不出cosαβ，但cosα＝cos(－2π)，B错误；若α与β是终边相同的角，则α＝β＋2kπ，k∈Z，故sinα＝sinβ，C正确；若α是第三象限角，则sinα<0，cosα<0，tanα>0，∴sinαcosα>0，<0，反之，若sinαcosα>0，<0，则cosα<0，sinα<0，α是第三象限角，D正确．故选CD.
10．设函数f(x)＝sin＋cos，则(　　)
A．f(x)是偶函数
B．f(x)在上单调递减
C．f(x)的最大值为2
D．f(x)的图象关于直线x＝对称
答案　ABD
解析　∵函数f(x)＝sin＋cos＝sin＝sin＝cos2x，∴f(x)＝cos2x，∴f(x)的最大值是，故C不正确；∵f(－x)＝cos(－2x)＝cos2x＝f(x)，∴y＝f(x)为偶函数，其对称轴方程是x＝(k∈Z)，所以A，D正确；y＝cos2x的单调递减区间为2kπ≤2x≤π＋2kπ(k∈Z)，即kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，故函数y＝f(x)在上单调递减，所以B正确．故选ABD.
11．已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的周期是2π
B．f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}
C．直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴
D．f(x)的单调递减区间是(k∈Z)
答案　AD
解析　函数f(x)＝的周期T＝＝2π，故A正确；函数f(x)＝的值域为[0，＋∞)，故B错误；当x＝时，x－＝≠，k∈Z，即直线x＝不是函数f(x)图象的对称轴，故C错误；令kπ－12. 如图，摩天轮的半径为40 m，其中心O点距离地面的高度为50 m，摩天轮按逆时针方向做匀速转动，且20 min转一圈，若摩天轮上点P的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中(　　)
A．经过10 minP点距离地面10 m
B．若摩天轮转速减半，则其周期变为原来的
C．第17 min和第43 min时P点距离地面的高度相同
D．摩天轮转动一圈，P点距离地面的高度不低于70 m的时间为 min
答案　ACD
解析　以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设P点距离地面的高度与旋转时间t之间的函数关系式为f(t)＝Asin(ωt＋φ)＋h(A>0，ω>0，|φ|<π)．
依题意，得A＝40，h＝50，T＝20，则ω＝＝，且f(0)＝40sinφ＋50＝90，所以φ＝；所以f(t)＝40sin＋50(t≥0)．对于A，f(10)＝40sin＋50＝10，A正确；对于B，若摩天轮转速减半，则其周期变为原来的2倍，B错误；对于C，f(17)＝40sin＋50＝－40cos＋50＝40cos＋50，f(43)＝40sin＋50＝40cos＋50，所以f(17)＝f(43)，C正确；对于D，令f(t)≥70，得40sin＋50≥70，所以cost≥，所以－＋2kπ≤t≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋20k≤t≤＋20k，k∈Z，又－＝，即摩天轮转动一圈，P点距离地面的高度不低于70 m的时间为 min，D正确．故选ACD.
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．cos89°cos1°＋sin91°sin181°＝________.
答案　0
解析　cos89°cos1°＋sin91°sin181°＝cos89°cos1°－cos1°·sin1°＝sin1°·cos1°－cos1°sin1°＝0.
14．函数y＝1＋ 的定义域为________．
答案　
解析　由cosx－≥0，得cosx≥，
即－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.
∴函数y＝1＋ 的定义域为.
15．将函数f(x)＝2cosx＋2sinx的图象沿x轴向右平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象关于坐标原点对称，则φ的最小值为________．
答案　
解析　f(x)＝2cosx＋2sinx＝4sin，
将其图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的解析式为y＝sin，
由于y＝4sin为奇函数，则－φ＋＝kπ(k∈Z)，即φ＝－kπ(k∈Z)，
由于φ>0，所以当k＝0时，φ取得最小值.
16．已知方程x2＋4ax＋3a＋1＝0(a>1)的两根分别为tanα，tanβ，且α，β∈，则tan(α＋β)＝________，tan＝________.
答案　　－2
解析　由题意知，
∴tan(α＋β)＝＝＝，
∴tan(α＋β)＝＝，
∴tan＝或tan＝－2.
由a>1，可得
tanα＋tanβ＝－4a<0，tanαtanβ＝3a＋1>0，
∴tanα<0，tanβ<0，结合α，β∈，
∴α，β∈，∈，
∴tan<0，故tan＝－2.
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知f(α)＝
.
(1)若α＝－，求f(α)的值；
(2)若α为第二象限角，且cos＝，求f(α)的值．
解　(1)∵f(α)＝
＝＝cosα，
∴f＝cos＝cos＝.
(2)∵cos＝，∴sinα＝.
∵α为第二象限角，
∴f(α)＝cosα＝－＝－.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)·sin2x＋cos4x.
(1)求f(x)的最小正周期及最大值；
(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值．
解　(1)∵f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x＝cos2xsin2x＋cos4x＝(sin4x＋cos4x)＝sin，∴f(x)的最小正周期T＝，最大值为.
(2)由f(α)＝，得sin＝1.
∵α∈，则＜4α＋＜，
∴4α＋＝，故α＝.
19．(本小题满分12分)是否存在实数a，使得函数y＝sin2x＋acosx＋a－在闭区间上的最大值是1？若存在，则求出对应的a值；若不存在，则说明理由．
解　存在a＝符合题意．
y＝1－cos2x＋acosx＋a－
＝－2＋＋a－.
∵0≤x≤，∴0≤cosx≤1.
若>1，即a>2，
则当cosx＝1时，ymax＝a＋a－＝1，
解得a＝<2(舍去)；若0≤≤1，即0≤a≤2.
则当cosx＝时，ymax＝＋a－＝1.
解得a＝或a＝－4＜0(舍去)；
若＜0，即a＜0，则当cosx＝0时，ymax＝a－＝1，解得a＝＞0(舍去)．
综上所述，存在a＝符合题设条件．
20．(本小题满分12分)已知函数y＝2sin.
(1)试用“五点法”画出它的图象；
(2)求它的振幅、周期和初相；
(3)根据图象写出它的单调递减区间．
解　(1)令t＝＋，列表如下：
x －
t 0 π 2π
y 0 2 0 －2 0
描点、连线并向左右两边分别扩展，得到如图所示的函数图象：
(2)振幅A＝2，周期T＝4π，初相为.
(3)由图象得单调递减区间为(k∈Z)．
21．(本小题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，
且2sin2＋cos2C＝1.
(1)求角C的大小；
(2)若sin2A－sin2B＝sin2C，试求sin的值．
解　(1)由2sin2＋cos2C＝1，得
1－cos(A＋B)＋2cos2C－1＝1.
又由A＋B＋C＝π，将上式整理，得2cos2C＋cosC－1＝0，即(2cosC－1)(cosC＋1)＝0.
∴cosC＝或cosC＝－1(舍去)．
由0(2)由sin2A－sin2B＝sin2C，得
2sin2A－2sin2B＝sin2C，即
1－cos2A－1＋cos2B＝，∴cos2B－cos2A＝.
∵A＋B＝，∴B＝－A.
∴cos－cos2A＝.
∴－cos2A－sin2A＝.
∴cos2A＋sin2A＝－.
∴sin＝－.
22．(本小题满分12分)塔斯马尼亚·琼斯试图寻回丢失的Zambeji钻石．钻石是埋在死亡峡谷内4公里的一个地方，这里被野蛮的昆虫所侵扰．为了寻回钻石，塔斯马尼亚将要闯入这个峡谷，挖取钻石，并从原路返回．在这个峡谷中，昆虫密度是时间的一个连续函数．密度记为C，是指每平方米的昆虫数量，这个C的函数表达式为C(t)＝
这里的t是午夜后的小时数，m是一个实常数．
(1)求m的值；
(2)求出昆虫密度的最小值和出现最小值时的时间t；
(3)如果昆虫密度超过1250只/米2，那么昆虫的侵扰将是致命性的．午夜后几点，昆虫的密度首次出现非致命性的侵扰？
解　(1)因为C(t)是一个连续的函数，所以当t＝8时，得C(8)＝1000×(1＋2)2－1000＝8000＝m，即m＝8000.
(2)当cos＝－1时，C达到最小值，
即＝(2k＋1)π，k∈Z，解得t＝10,14.
所以在10：00和14：00时，昆虫密度达到最小值，最小值为0.
(3)令10002－1000≤1250，
则2≤，所以cos≤－.
所以2kπ＋≤≤2kπ＋，k∈Z，
即4k＋≤t≤4k＋，k∈Z.
又8≤t≤16，所以tmin＝，即上午9：20，昆虫的密度首次出现非致命性的侵扰．