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（总课时20）§3.3轴对称与坐标变化
一.选择题：
1．点P（3，2）关于y轴对称的点的坐标为 （）A．（-3，2） B．（-3，-2） C．（3，-2） D．（2，-3）
2．如果点P（-2，b）和点Q（a，-3）关于x轴对称，则a+b的值是（ ）A．1 B．-1 C．5 D．-5
3．在平面直角坐标系中，点P（﹣5，3）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（5，3） B．（5，﹣3） C．（﹣5，﹣3） D．（3，﹣5）
4．已知点关于x轴的对称点和点关于y轴的对称点相同，则点关于x轴对称的点的坐标为（ ）A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2，3），点B的坐标为（-2，-3），那么点A和点B的位置关系是（ ）A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于坐标轴和原点都不对称
6．如图1，把△ABC经过一定的变化得到△A′B′C′，如果△ABC上点P的坐标为(x，y)，那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为( )
A．(－x，y－2) B．(－x＋2，y＋2) C．(－x＋2，－y) D．(－x，y＋2)
二.填空题：
7．点A（a，b）和B关于x轴对称，而点B与点C（2，3）关于y轴对称，那么，ab=__．
8．（2019·河南初二期中）点A（﹣5，3）关于y轴对称的点的坐标是___．
9．已知点P(a，－3)与Q(1，b)关于x轴对称，则点M(a，b)在第___象限
10．如图2，△ABC关于直线CD对称，且CD平行x轴，点C（0，1）到AB的距离为2，AB的长为6，则点A，B的坐标分别为A_________，B___________．
11．如图3，已知点A(1,4),B(3，0），点C是y轴上一动点，且A、B、C三点不共线，当△ABC周长最小时，点C坐标是______.
三.解答题:
12．如图4，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分別为A（4，0），B（－1，4），C（－3，1）．
（1）在图中作△A'B'C'，使△A'B'C'和△ABC关于x轴对称；（2）写出点A'、B'、C'的坐标．
解：
13．如图5是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点在格点上，且AB=BC=5，以O为原点建立平面直角坐标系，平行于y轴的直线l经过(-1,0)，请按要求解答下列问题.
（1）画出△ABC关于直线的对称△A1B1C1，并直接写出点A的对称点A1的坐标；
（2）求点C到AB的距离；
（3）在y轴右侧的格点中找一点D，使∠CAD=45°，并直接写出D点的坐标.
解：
14．如图6，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5）、B（﹣1，0）、C（﹣4，3）．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△DEF（其中D、E、F分别是A、B、C的对应点）．
（2）直接写出（1）中F点的坐标为 ．
（3）若直线l经过点（0，﹣2）且与x轴平行，则点C关于直线l的对称点的坐标为 ．
（4）在y轴上存在一点P，使PC﹣PB最大，则点P的坐标为 ．
（5）第一象限有一点M（4，2），在x轴上找一点Q使CQ+MQ最短，画出最短路径，保留作图痕迹．
解:
D
图4
图3
图2
图1
图5
图6
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（总课时20）§3.3轴对称与坐标变化
【学习目标】探索图形坐标变化与图形轴对称之间关系．
【学习重难点】明确图形坐标变化与图形轴对称之间关系
【导学过程】一.知识回顾:
1.点A（3，4）到x轴的距离为_4__，到y轴的距离为_3_，到原点的距离为_5__。
2.在平面直角坐标系中，点P（-1，2）的位置在（ B ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.已知点A(3，y)，B(x,-1),若AB∥y轴，且线段AB的长为5，x=_3_，y=__4或-6__.
二.探究新知：探究A.探究两个关于坐标轴对称的图形的坐标关系.
引例1.在如图1所示的平面直角坐标系中，第一、二象限内各有一面小旗：
（1）两面小旗之间有怎样的位置关系？答：两面小旗关于y轴对称.
（2）对应点A与A1的坐标又有什么特点？其它对应的点也有这个特点吗？
A（2,6）与A1（-2，6）.B（5，4）与B1（-5，4）.C（2，4）与C1（-2，4）
各对应点的特点是：纵坐标相同，横坐标互为相反数.
(3)结论：关于y轴对称的两点:
它们的横坐标互为相反数，纵坐标相同.
引例2.在如图1所示的平面直角坐标系中，第一、四象限内各有一面小旗：
两面小旗关于x轴对称.
（2）A（2,6）与A2（2，-6），B（5，4）与B2（5，-4），C（2，4）与C2（-2，4）
（3）结论：关于x轴对称的两点：它们的横坐标相同，纵坐标互为相反数.
归纳小结：在直角坐标系中,已知A(x,y):
若点A与点A1关于x轴对称的两点，则A1(x,-y);(2)若点A与点A2关于y轴对称的两点，则A2(-x,y)
三.典例与练习A：
例1.点A（2，-3）关于x轴对称的点的坐标是（2，3）.
练习1.点B（-2，1）关于y轴对称的点的坐标是（2，1）.
练习2.点（4，3）与点（4，-3）的关系是（ B ）
A.关于原点对称 B.关于x轴对称 C.关于y轴对称 D.不能构成对称关系
例2.已知点P(2a-3，3)，点A（－1，3b+3），
（1）如果点P与点A关于x轴对称，那么a+b=-1；（2）如果点P与点A关于y轴对称，那么a+b=2.
探究B.探索坐标变化引起的图形变化.
反过来，坐标具有上述关系的点，一定关于坐标轴对称吗？我们先做几个例题，找找经验.
引例3.（1）在平面直角坐标系中依次连接下列各点：（图2）
（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，-1），（3，0），（4，-2），（0，0），你得到了一个怎样的图案？
（2）将所得图案的各个顶点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘以-1，顺次连接这些点，你会得到怎样的图案？这个图案与原图案又有怎样的位置关系呢？
解：(1)如图2所示得到一条“小鱼”；
（2）如图所示得到一条“小鱼”.这两个图案关于y轴对称.
引例4.如果将图3各个顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别变为原来的-1倍，顺次连接所得的点，你会得到怎样的图案？这个图案与原图案有怎样的位置关系呢？
解：如图所示.横坐标保持不变，纵坐标分别变为原来的-1倍，顺次连接所得的点，得到的图案是一条“小鱼”；与原图案关于x轴对称.
引例5.如果将图5的各个顶点的横坐标，纵坐标分别变为原来的-1倍，顺次连接所得的点，你会得到怎样的图案？这个图案与原图案有怎样的位置关系呢？
解：如图4所示，图案的各个顶点的横坐标，纵坐标分别变为原来的-1倍，顺次连接所得的点，得到的图案是一条“小鱼”；与原图案关于原点对称.
四.典例与练习B：
例1.五个点的坐标如下：A(-1,2),B(1,2)，C(2，-1)，D(-1，-2),E(2,1)，其中关于x轴对称的点有：A(-1,2)与D(-1，-2)，C(2，-1)与E(2,1)，
关于y轴对称的有：A(-1,2)与B(1,2).关于原点对称的点有：B(1,2)与D(-1，-2)
练习3.若点A关于x轴对称的点是(2,3)，则A点坐标为（2，-3）；若点A关于y轴对称的点是(2,3)，则A点坐标为（-2，3）；
练习4.点A（a,-3）和点B（2,b）关于x轴对称，则ab=8.
五.课堂小结：
【对称点的坐标特征】
1.关于x轴对称的两个图形上点的坐标特征：(x,y)→(x,-y)；
反之，若有两点A(x,y)和A1(x,-y)，则点A和点A1关于x轴对称.
2.关于y轴对称的两个图形上点的坐标特征：(x,y)→(-x,y);
反之，若有两点B(x,y)和B1(-x,y)，则点B和点B1关于y轴对称.
3.关于原点对称的两个图形上点的坐标特征：（x,y）→(-x,-y).
反之，若有两点C(x,y)和C1(-x,-y)，则点C和点C1关于y轴对称.
六.分层过关：
1.点P(－2，5)关于x轴对称的点的坐标是( C )
A. (－5，2) B. (2，－5) C. (－2，－5) D. (2，5)
2.△ABC的三个顶点的横坐标都乘以－1，纵坐标不变，则所得三角形与原三角形的位置关系是( B )
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.将△ABC向右平移了1个单位长度
3.已知点A(m－1，3)与点B(2，n＋1)关于x轴对称，则m＝__3__，n＝__－4__．
4.把点A（4，-5）的横坐标不变，纵坐标乘以-1，得到的点的坐标为（4，5），这个点和点A关于x对称.
5.若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，则m+n=_0_．
6.如图5，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，Rt△ABC关于y轴对称的图形为Rt△DEF，则点A的对应点D的坐标是___（2，1）___．
7.己知两点A（0，4），B（8，2），点P是x轴上的一点，求PA+PB的最小值.
解：如图，B、B’关于x轴对称，作B’M⊥y轴于M点，在Rt△AMB’中，
由勾股定理得：AM2+B’M2=AB’2即：62+82=102∴AB’=10.
即：PA+PB的最小值是10.
8.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图7．请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并求出A1、B1、C1三点的坐标．
解：如图7所示：A1(2，3)， B1(3，2)， C1(1，1).
9.在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．
（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（﹣1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；
（2）如果点P的坐标是（﹣a，0），其中a＞0，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．
解：（1）△A2B2C2的三个顶点的坐标分别是A2（4，0），B2（5，0），C2（5，2）；
(2)如图8，当0＜a≤3时，∵P与P1关于y轴对称，P（-a，0），
∴P1（a，0），又∵P1与P2关于l：直线x=3对称，设P2（x，0），
可得：=3，即x=6-a，
∴P2（6-a，0），则PP2=6-a-（-a）=6-a+a=6．
如图9，当a＞3时，
∵P与P1关于y轴对称，P（-a，0），∴P1（a，0），
又∵P1与P2关于l：直线x=3对称，
设P2（x，0），可得：=3，即x=6-a，
∴P2（6-a，0），则PP2=6-a-（-a）=6-a+a=6．
B2
A2
C2
图1
图2
图4
图5
图5
图6
图7
图8
图9
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（总课时20）§3.3轴对称与坐标变化
一.选择题：
1.点P（3，2）关于y轴对称的点的坐标为（A）A.（-3，2）B．（-3，-2）C.（3，-2）D.（2，-3）
2．如果点P（-2，b）和点Q（a，-3）关于x轴对称，则a+b的值是（ A ）A．1 B．-1 C．5 D．-5
3．在平面直角坐标系中，点P（﹣5，3）关于x轴对称的点的坐标为（ C ）
A．（5，3） B．（5，﹣3） C．（﹣5，﹣3） D．（3，﹣5）
4．已知点关于x轴的对称点和点关于y轴的对称点相同，则点关于x轴对称的点的坐标为（ B ）A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2，3），点B的坐标为（-2，-3），那么点A和点B的位置关系是（ A ）A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于坐标轴和原点都不对称
6．如图1，把△ABC经过一定的变化得到△A′B′C′，如果△ABC上点P的坐标为(x，y)，那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为( D )
A．(－x，y－2) B．(－x＋2，y＋2) C．(－x＋2，－y) D．(－x，y＋2)
二.填空题：7．点A（a，b）和B关于x轴对称，而点B与点C（2，3）关于y轴对称，那么，ab=_6_．
8．（2019·河南初二期中）点A（﹣5，3）关于y轴对称的点的坐标是__（5，3）___．
9．已知点P(a，－3)与Q(1，b)关于x轴对称，则点M(a，b)在第__一___象限
10．如图2，△ABC关于直线CD对称，且CD平行x轴，点C（0，1）到AB的距离为2，AB的长为6，则点A，B的坐标分别为A_（2，-2）_，B_（2，4）_．
11．如图3，已知点A(1,4),B(3，0），点C是y轴上一动点，且A、B、C三点不共线，当△ABC周长最小时，点C坐标是_（0，3）_.
三.解答题:
12．如图4，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分別为A（4，0），B（－1，4），C（－3，1）．（1）在图中作△A'B'C'，使△A'B'C'和△ABC关于x轴对称；（2）写出点A'、B'、C'的坐标．
解：（1）如图，（2）点A′的坐标为（4，0），
点B′的坐标为（ 1， 4），点C′的坐标为（ 3， 1）．
13．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点在格点上，且AB=BC=5，以O为原点建立平面直角坐标系，平行于y轴的直线l经过(-1,0)，请按要求解答下列问题.
（1）画出△ABC关于直线的对称△A1B1C1，并直接写出点A的对称点A1的坐标；
（2）求点C到AB的距离；
（3）在y轴右侧的格点中找一点D，使∠CAD=45°，并直接写出D点的坐标.
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求：A1的坐标为（-2，4）；
（2）S△ABC===10，点C到AB的距离==4；
（3）如图所示，D点的坐标为（3，3）或（6，2）．
14．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5）、B（﹣1，0）、C（﹣4，3）．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△DEF（其中D、E、F分别是A、B、C的对应点）．
（2）直接写出（1）中F点的坐标为 ．
（3）若直线l经过点（0，﹣2）且与x轴平行，则点C关于直线l的对称点的坐标为 ．
（4）在y轴上存在一点P，使PC﹣PB最大，则点P的坐标为 ．
（5）第一象限有一点M（4，2），在x轴上找一点Q使CQ+MQ最短，画出最短路径，保留作图痕迹．
解:（1）如图，△DEF即为所求．（2）点F的坐标（4，3）．故答案为（4，3）．
（3）∵C（﹣4，3），直线l为y＝﹣2，∴点C关于直线l的对称点C′（﹣4，﹣7）．
（4）延长CB交y轴于点P，此时PC﹣PB的值最大，P（0，﹣1），故答案为（0，﹣1）．
（5）作点M关于x轴的对称点M′，连接CM′交x轴于点Q，连接QM，此时QM+QC的值最小．
图1
D
图3
图2
图4
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（总课时20）§3.3轴对称与坐标变化
【学习目标】探索图形坐标变化与图形轴对称之间关系．
【学习重难点】明确图形坐标变化与图形轴对称之间关系
【导学过程】一.知识回顾:
1.点A（3，4）到x轴的距离为___，到y轴的距离为__，到原点的距离为___。
2.在平面直角坐标系中，点P（-1，2）的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.已知点A(3，y)，B(x,-1),若AB∥y轴，且线段AB的长为5，x=__，y=____.
二.探究新知：探究A.探究两个关于坐标轴对称的图形的坐标关系.
引例1.在如图1所示的平面直角坐标系中，第一、二象限内各有一面小旗：
（1）两面小旗之间有怎样的位置关系？答：________________________.
（2）对应点A与A1的坐标又有什么特点？其它对应的点也有这个特点吗？
A（___）与A1（___）.B（___）与B1（___）.C（___）与C1（___）
各对应点的特点是：________________________________.
(3)结论：关于y轴对称的两点:
它们的横坐标_________，纵坐标_________.
引例2.在如图1所示的平面直角坐标系中，第一、四象限内各有一面小旗：
两面小旗关于___对称.
（2）A（_____）与A2（_____），B（_____）与B2（_____），C（_____）与C2（_____）
（3）结论：关于x轴对称的两点：它们的横坐标____，纵坐标__________.
归纳小结：在直角坐标系中,已知A(x,y):
若点A与点A1关于x轴对称的两点，则A1(x,-y);(2)若点A与点A2关于y轴对称的两点，则A2(-x,y)
三.典例与练习A：
例1.点A（2，-3）关于x轴对称的点的坐标是（____）.
练习1.点B（-2，1）关于y轴对称的点的坐标是（____）.
练习2.点（4，3）与点（4，-3）的关系是（ ）
A.关于原点对称 B.关于x轴对称 C.关于y轴对称 D.不能构成对称关系
例2.已知点P(2a-3，3)，点A（－1，3b+3），
（1）如果点P与点A关于x轴对称，那么a+b=__；（2）如果点P与点A关于y轴对称，那么a+b=__.
探究B.探索坐标变化引起的图形变化.
反过来，坐标具有上述关系的点，一定关于坐标轴对称吗？我们先做几个例题，找找经验.
引例3.（1）在平面直角坐标系中依次连接下列各点：（图2）
（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，-1），（3，0），（4，-2），（0，0），你得到了一个怎样的图案？
（2）将所得图案的各个顶点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘以-1，顺次连接这些点，你会得到怎样的图案？这个图案与原图案又有怎样的位置关系呢？
解：
引例4.如果将图3各个顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别变为原来的-1倍，顺次连接所得的点，你会得到怎样的图案？这个图案与原图案有怎样的位置关系呢？
解：
引例5.如果将图4的各个顶点的横坐标，纵坐标分别变为原来的-1倍，顺次连接所得的点，你会得到怎样的图案？这个图案与原图案有怎样的位置关系呢？
解：
四.典例与练习B：
例1.五个点的坐标如下：A(-1,2),B(1,2)，C(2，-1)，D(-1，-2),E(2,1)，其中关于x轴对称的点有：_______________________________________，
关于y轴对称的有：_______________.关于原点对称的点有：_______________.
练习3.若点A关于x轴对称的点是(2,3)，则A点坐标为（____）；若点A关于y轴对称的点是(2,3)，则A点坐标为（____）；
练习4.点A（a,-3）和点B（2,b）关于x轴对称，则ab=__.
五.课堂小结：
【对称点的坐标特征】
1.关于x轴对称的两个图形上点的坐标特征：(x,y)→(x,-y)；
反之，若有两点A(x,y)和A1(x,-y)，则点A和点A1关于x轴对称.
2.关于y轴对称的两个图形上点的坐标特征：(x,y)→(-x,y);
反之，若有两点B(x,y)和B1(-x,y)，则点B和点B1关于y轴对称.
3.关于原点对称的两个图形上点的坐标特征：（x,y）→(-x,-y).
反之，若有两点C(x,y)和C1(-x,-y)，则点C和点C1关于y轴对称.
六.分层过关：
1.点P(－2，5)关于x轴对称的点的坐标是( )
A. (－5，2) B. (2，－5) C. (－2，－5) D. (2，5)
2.△ABC的三个顶点的横坐标都乘以－1，纵坐标不变，则所得三角形与原三角形的位置关系是( )
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.将△ABC向右平移了1个单位长度
3.已知点A(m－1，3)与点B(2，n＋1)关于x轴对称，则m＝____，n＝____．
4.把点A（4，-5）的横坐标不变，纵坐标乘以-1，得到的点的坐标为______，这个点和点A关于__对称.
5.若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，则m+n=___．
6.如图5，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，Rt△ABC关于y轴对称的图形为Rt△DEF，则点A的对应点D的坐标是______．
7.己知两点A（0，4），B（8，2），点P是x轴上的一点，求PA+PB的最小值.
解：
8.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图7．请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并求出A1、B1、C1三点的坐标．
解：
9.在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．
（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，0），B（﹣1，0），
C（﹣1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直
线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；
(2)如果点P的坐标是（﹣a，0），其中a＞0，点P关于y轴的对称点
是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．
解：
B2
A2
C2
图1
图2
图3
图4
图5
图6
图7
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