2023-2024学年人教版八年级数学上册 第十一章 三角形 章末测试卷（一） （含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年人教版八年级数学上册 第十一章 三角形 章末测试卷（一） （含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 244.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-04 19:09:22 | ||
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文档简介
第十一章 三角形 章末测试卷（一）
一．选择题（共10小题）
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．6，2，3 B．3，3，3 C．4，3，8 D．4，3，7
2．若△ABC的三个内角之比为2：3：5，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
3．现有两根长度分别这3cm和6cm的木棒，若要钉成一个三角形木棒，则第三根木棒长可以为（ ）
A．2cm B．3cm C．5cm D．9cm
4．人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两直线平行，内错角相等
D．三角形具有稳定性
5．正五边形的外角和的度数（ ）
A．180° B．72° C．540° D．360°
6．若一个直角三角形其中一个锐角为40°，则该直角三角形的另一个锐角是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
7．一个多边形的内角和等于540°，则它的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
8．如图，直线a∥b，将含30°角的直角三角板ABC（∠B＝30° ）按图中位置摆放，若∠1＝48°，则∠2的度数为（ ）
A．100° B．102° C．104° D．110°
9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC上一点，DE⊥AB于点E，下列说法中，错误的是（ ）
A．△ABC中，AC是BC上的高 B．△ABD中，DE是AB上的高
C．△ABD中，AC是BD上的高 D．△ADE中，AE是AD上的高
10．如图所示，AD是△ABC的中线，AB＝12，AC＝10，△ABD的周长和△ACD的周长差为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．不确定
二．填空题（共6小题）
11．如图，CD是△ABC的高，∠ACB＝90°．若∠A＝35°，则∠BCD的度数是 ．
12．△ABC中，∠B＝∠A+20°，∠C＝∠B+50°，则∠C的度数是 ．
13．如果正n边形的一个内角与外角的比是5：1，那么n＝ ．
14．已知三角形的三边长分别是8、10、x，则x的取值范围是 ．
15．如图，把△ABC沿平行于BC的直线DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若∠B＝50°，则∠BDF的度数为 ．
16．如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝10cm，AC＝7cm，△ACD的周长为20cm，则△ABD的周长为 cm．
三．解答题（共9小题）
17．如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，求∠ECD的度数．
18．如图，在△ABC中，∠ABC＝82°，∠C＝58°，BD⊥AC于D，AE平分∠CAB，BD与AE交于点F，求∠AFB．
19．若实数a，b，c满足：．
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）以a，b，c长为边能否构成三角形？若能，能够成什么形状的三角形？（直接回答，不用说明理由）
20．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，∠DFB+∠BEC＝180°．
（1）求证：∠FDE＝∠C；
（2）若BE平分∠ABC，∠BEC＝110°，∠FDE＝50°，求∠ABC的度数．
21．如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA，∠B＝54°．
（1）求∠EAC的度数；
（2）若∠CAD：∠E＝2：5；求∠E的度数．
22．已知△ABC的三边长是a，b，c．
（1）若a＝4，b＝6，且三角形的周长是小于18的偶数．求c边的长；
（2）化简|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b|．
23．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．
（1）若∠C＝70°，∠B＝30°，求∠DAE的度数；
（2）若∠C﹣∠B＝20°，则∠DAE＝ ；
（3）若∠C﹣∠B＝α（∠C＞∠B），求∠DAE的度数（用含α的代数式表示）．
24．【问题背景】∠MON＝90°，点A，B分别在OM，ON上运动（不与点O重合）．
【问题思考】
（1）如图①所示，AE，BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A，B的运动，求∠AEB的值．
（2）如图②所示，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．如果∠MON＝α，其余条件不变，随着点A，B的运动，求∠D的值．（用含α的代数式表示）
25．如图，AB⊥CD，垂足为O，点P、Q分别在射线OC、OA上运动（点P、Q都不与点O重合），QE是∠AQP的平分线．
（1）如图1，在点P、Q的运动过程中，若直线QE交∠DPQ的平分线于点H．
①当∠PQB＝60°时，∠PHE＝ °；
②随着点P、Q分别在OC、OA的运动，∠PHE的大小是否是定值？如果是定值，请求出∠PHE的度数；如果不是定值，请说明理由；
（2）如图2，若QE所在直线交∠QPC的平分线于点E时，将△EFG沿FG折叠，使点E落在四边形PFGQ内点E′的位置，猜测∠PFE′与∠QGE′之间的数量关系，并说明理由．
第十一章 三角形 章末测试卷（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．6，2，3 B．3，3，3 C．4，3，8 D．4，3，7
【解答】解：A、∵2+3＜6，
∴6，2，3不能构成三角形，不符合题意；
B、∵3﹣3＜3＜3+3，即0＜3＜6，
∴3，3，3能构成三角形，符合题意；
C、∵4+3＜8，
∴4，3，8不能构成三角形，不符合题意；
D、∵4+3＝7，
∴4，3，7不能构成三角形，不符合题意．
故选：B．
2．若△ABC的三个内角之比为2：3：5，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【解答】解：∵△ABC的三个内角的比为2：3：5可设此三角形的三个内角分别为2x°，3x°，5x°，
∴2x°+3x°+5x°＝180°，
解得x＝18°，
∴5x°＝5×18°＝90°．
∴此三角形是直角三角形．
故选：B．
3．现有两根长度分别这3cm和6cm的木棒，若要钉成一个三角形木棒，则第三根木棒长可以为（ ）
A．2cm B．3cm C．5cm D．9cm
【解答】解：设第三根木棒长为xcm，
则6﹣3＜x＜6+3，即3＜x＜9，
∴四个选项中，第三根木棒长可以为5cm，
故选：C．
4．人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两直线平行，内错角相等
D．三角形具有稳定性
【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，
故选：D．
5．正五边形的外角和的度数（ ）
A．180° B．72° C．540° D．360°
【解答】解：任意多边形的外角和都是360°，
故正五边形的外角和的度数为360°．
故选：D．
6．若一个直角三角形其中一个锐角为40°，则该直角三角形的另一个锐角是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【解答】解：∵直角三角形中两锐角互余，
∴若一个直角三角形其中一个锐角为40°，则该直角三角形的另一个锐角是90°﹣40°＝50°．
故选：B．
7．一个多边形的内角和等于540°，则它的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
∴（n﹣2） 180°＝540°，
∴n＝5．
故选：B．
8．如图，直线a∥b，将含30°角的直角三角板ABC（∠B＝30° ）按图中位置摆放，若∠1＝48°，则∠2的度数为（ ）
A．100° B．102° C．104° D．110°
【解答】解：如图所示，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝48°，
∵∠4+∠3+∠B＝180°，
∴∠4＝102°，
∴∠2＝∠3＝102°．
故选：B．
9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC上一点，DE⊥AB于点E，下列说法中，错误的是（ ）
A．△ABC中，AC是BC上的高 B．△ABD中，DE是AB上的高
C．△ABD中，AC是BD上的高 D．△ADE中，AE是AD上的高
【解答】解：A、△ABC中，AC是BC上的高，说法正确，不符合题意；
B、△ABD中，DE是AB上的高，说法正确，不符合题意；
C、△ABD中，AC是BD上的高，说法正确，不符合题意；
D、△ADE中，AE是DE上的高，不是AD上的高，故本选项说法错误，符合题意；
故选：D．
10．如图所示，AD是△ABC的中线，AB＝12，AC＝10，△ABD的周长和△ACD的周长差为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．不确定
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∵AB＝12，AC＝10，
∴（AB+BD+AD）﹣（AC+CD+AD）
＝AB﹣AC
＝12﹣10
＝2，
∴△ABD的周长和△ACD的周长差为2，
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．如图，CD是△ABC的高，∠ACB＝90°．若∠A＝35°，则∠BCD的度数是 35° ．
【解答】解：∵CD是△ABC的高，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵在△ACD中，∠A+∠ADC+∠ACD＝180°，∠A＝35°，∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝55°
∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠BCD＝35°．
故答案为：35°．
12．△ABC中，∠B＝∠A+20°，∠C＝∠B+50°，则∠C的度数是 100° ．
【解答】解：∵∠B＝∠A+20°，∠C＝∠B+50°，
∴∠C＝∠A+20°+50°＝∠A+70°，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+∠A+20°+∠A+70°＝180°，
∴∠A＝30°，
∴∠C＝∠A+70°＝30°+70°＝100°．
故答案为：100°．
13．如果正n边形的一个内角与外角的比是5：1，那么n＝ 12 ．
【解答】解：∵正n边形的一个内角与外角的比是5：1，
设外角的度数为x，则内角的度数为5x，
∴x+5x＝180，
解得x＝30，
故，
故答案为：12．
14．已知三角形的三边长分别是8、10、x，则x的取值范围是 2＜x＜18 ．
【解答】解：根据三角形的三边关系可得：10﹣8＜x＜10+8，
即2＜x＜18，
故答案为：2＜x＜18．
15．如图，把△ABC沿平行于BC的直线DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若∠B＝50°，则∠BDF的度数为 80° ．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝50°．
由折叠的性质可知：∠FDE＝∠ADE＝50°，
∴∠BDF＝180°﹣∠ADE﹣∠FDE＝180°﹣50°﹣50°＝80°．
故答案为：80°．
16．如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝10cm，AC＝7cm，△ACD的周长为20cm，则△ABD的周长为 23 cm．
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD和△ACD周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝10﹣7＝3（cm），
∵△ACD的周长为20cm，AB比AC长3cm，
∴△ABD周长为：20+3＝23（cm）．
故答案为23．
三．解答题（共9小题）
17．如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，求∠ECD的度数．
【解答】解：由三角形的外角可知，∠ACD＝∠A+∠B＝100°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD＝∠ACD＝50°．
18．如图，在△ABC中，∠ABC＝82°，∠C＝58°，BD⊥AC于D，AE平分∠CAB，BD与AE交于点F，求∠AFB．
【解答】解：∵∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠C，
而∠ABC＝82°，∠C＝58°，
∴∠CAB＝40°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠DAF＝20°，
∵BD⊥AC于D，
∴∠ADB＝90°，
∴∠AFB＝∠ADB+∠DAF＝90°+20°＝110°．
故答案为：110°．
19．若实数a，b，c满足：．
（1）a＝ ，b＝ 5 ，c＝ 4 ．
（2）以a，b，c长为边能否构成三角形？若能，能够成什么形状的三角形？（直接回答，不用说明理由）
【解答】解：（1）根据题意得：a﹣＝0，b﹣5＝0，c﹣4＝0，
解得：a＝，b＝5，c＝4；
故答案为：；5；4；
（2）∵（）2+52＝（4）2，
∴a2+b2＝c2，
∴以a、b、c为边能构成三角形，构成的三角形是直角三角形．
20．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，∠DFB+∠BEC＝180°．
（1）求证：∠FDE＝∠C；
（2）若BE平分∠ABC，∠BEC＝110°，∠FDE＝50°，求∠ABC的度数．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠DEF＝∠CBE，
∵∠DFB+∠BEC＝180°，∠DFB+∠EFD＝180°，
∴∠BEC＝∠EFD，
又∵∠FDE＝180°﹣∠DEF﹣∠EFD，∠C＝180°﹣∠CBE﹣∠BEC，
∴∠FDE＝∠C；
（2）解：∵∠FDE＝∠C，∠FDE＝50°，
∴∠C＝50°．
在△BCE中，∠C＝50°，∠BEC＝110°，
∴∠CBE＝180°﹣∠C﹣∠BEC＝180°﹣50°﹣110°＝20°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠CBE＝2×20°＝40°．
21．如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA，∠B＝54°．
（1）求∠EAC的度数；
（2）若∠CAD：∠E＝2：5；求∠E的度数．
【解答】解：（1）∵∠EAD＝∠EDA，
∴∠EAC+∠CAD＝∠B+∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD．
∴∠EAC＝∠B．
∵∠B＝54°，
∴∠EAC＝54°．
（2）设∠CAD＝2x，则∠E＝5x，∠DAB＝2x，
∵∠B＝54°，
∴∠EDA＝∠EAD＝2x+54°．
∵∠EDA+∠EAD+∠E＝180°，
∴2x+54°+2x+54°+5x＝180°．
解得x＝8°．
∴∠E＝5x＝40°．
22．已知△ABC的三边长是a，b，c．
（1）若a＝4，b＝6，且三角形的周长是小于18的偶数．求c边的长；
（2）化简|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b|．
【解答】解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边，a＝4，b＝6，
∴2＜c＜10，
∵三角形的周长是小于18的偶数，
∴2＜c＜8，
∴c＝4或6；
（2）|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b|
＝a+b﹣c﹣c+a+b
＝2a+2b﹣2c．
23．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．
（1）若∠C＝70°，∠B＝30°，求∠DAE的度数；
（2）若∠C﹣∠B＝20°，则∠DAE＝ 10° ；
（3）若∠C﹣∠B＝α（∠C＞∠B），求∠DAE的度数（用含α的代数式表示）．
【解答】解：∵AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∠BAE＝∠CAE＝BAC.
（1）∵∠C＝70°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，∠CAD＝90°﹣∠C＝20°．
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD
＝∠BAC﹣∠CAD
＝×80°﹣20°
＝20°；
（2）∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∠CAD＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD
＝∠BAC﹣∠CAD
＝（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）
＝90°﹣∠B﹣∠C﹣90°+∠C
＝∠C﹣∠B
＝（∠C﹣∠B）．
∵∠C﹣∠B＝20°，
∴∠DAE＝×20°＝10°．
故答案为：10°．
（3）∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∠CAD＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD
＝∠BAC﹣∠CAD
＝（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）
＝90°﹣∠B﹣∠C﹣90°+∠C
＝∠C﹣∠B
＝（∠C﹣∠B）．
∵∠C﹣∠B＝α，
∴∠DAE＝×a＝．
24．【问题背景】∠MON＝90°，点A，B分别在OM，ON上运动（不与点O重合）．
【问题思考】
（1）如图①所示，AE，BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A，B的运动，求∠AEB的值．
（2）如图②所示，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．如果∠MON＝α，其余条件不变，随着点A，B的运动，求∠D的值．（用含α的代数式表示）
【解答】解：（1）∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴∠BAE＝∠OAB，∠ABE＝∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE＝（∠OAB+∠ABO）＝45°，
∴∠AEB＝135°；
（2）设∠BAD＝x，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO＝2x，
∵∠AOB＝α
∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝α+2x．
∵BC平分∠ABN，
∴，，
∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD．
∴，
25．如图，AB⊥CD，垂足为O，点P、Q分别在射线OC、OA上运动（点P、Q都不与点O重合），QE是∠AQP的平分线．
（1）如图1，在点P、Q的运动过程中，若直线QE交∠DPQ的平分线于点H．
①当∠PQB＝60°时，∠PHE＝ 45 °；
②随着点P、Q分别在OC、OA的运动，∠PHE的大小是否是定值？如果是定值，请求出∠PHE的度数；如果不是定值，请说明理由；
（2）如图2，若QE所在直线交∠QPC的平分线于点E时，将△EFG沿FG折叠，使点E落在四边形PFGQ内点E′的位置，猜测∠PFE′与∠QGE′之间的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）①∵AB⊥CD，
∴∠POQ＝90°，
∴∠PQO+∠QPO＝90°，
∵∠PQB＝60°，
∴∠QPO＝30°，∠AQP＝120°，
∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO，
∴，，
∴∠H＝∠EQP﹣∠HPQ＝45°，
故答案为：45；
②∠PHE 是一个定值，∠PHE＝45°，理由如下：
∵AB⊥CD，
∴∠POQ＝90°，
∴∠PQO+∠QPO＝90°，
∴∠QPO＝90°﹣∠PQO，∠AQP＝180°﹣∠PQO，
∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO，
∴，，
∴∠H＝∠EQP﹣∠HPQ＝45°；
（2）∠PFE'+∠QGE'＝90°，理由如下：
如图2所示，连接EE'，
∵AB⊥CD，
∴∠POQ＝90°，
∴∠PQO+∠QPO＝90°，
∵∠CPQ+∠QPO＝180°，∠PQA+∠PQO＝180°，
∴180°﹣∠CPQ+180°﹣∠PQA＝90°，
∴∠CPQ+∠PQA＝270°，
∵QE，PE分别平分∠PQA，∠CPQ，
∴，
∴，
∴∠PEQ＝180°﹣∠EPQ﹣∠EQP＝45°，
由折叠的性质可知∠GE'F＝∠PEQ＝45°，
∵∠FEE'+∠EFE'+∠EE'F＝180°＝∠GEE'+∠EGE'+∠EE'G，
∴∠FEG+∠FE'G+∠EFE'+∠EGE'＝360°，
∴∠EFE'+∠EFE'＝270°，
∵∠EFE'+∠PFE'＝180°＝∠EGE'+∠QGE'，
∴∠PFE'+∠QGE'＝360°﹣∠EFE'﹣∠EFE'＝90°．
一．选择题（共10小题）
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．6，2，3 B．3，3，3 C．4，3，8 D．4，3，7
2．若△ABC的三个内角之比为2：3：5，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
3．现有两根长度分别这3cm和6cm的木棒，若要钉成一个三角形木棒，则第三根木棒长可以为（ ）
A．2cm B．3cm C．5cm D．9cm
4．人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两直线平行，内错角相等
D．三角形具有稳定性
5．正五边形的外角和的度数（ ）
A．180° B．72° C．540° D．360°
6．若一个直角三角形其中一个锐角为40°，则该直角三角形的另一个锐角是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
7．一个多边形的内角和等于540°，则它的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
8．如图，直线a∥b，将含30°角的直角三角板ABC（∠B＝30° ）按图中位置摆放，若∠1＝48°，则∠2的度数为（ ）
A．100° B．102° C．104° D．110°
9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC上一点，DE⊥AB于点E，下列说法中，错误的是（ ）
A．△ABC中，AC是BC上的高 B．△ABD中，DE是AB上的高
C．△ABD中，AC是BD上的高 D．△ADE中，AE是AD上的高
10．如图所示，AD是△ABC的中线，AB＝12，AC＝10，△ABD的周长和△ACD的周长差为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．不确定
二．填空题（共6小题）
11．如图，CD是△ABC的高，∠ACB＝90°．若∠A＝35°，则∠BCD的度数是 ．
12．△ABC中，∠B＝∠A+20°，∠C＝∠B+50°，则∠C的度数是 ．
13．如果正n边形的一个内角与外角的比是5：1，那么n＝ ．
14．已知三角形的三边长分别是8、10、x，则x的取值范围是 ．
15．如图，把△ABC沿平行于BC的直线DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若∠B＝50°，则∠BDF的度数为 ．
16．如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝10cm，AC＝7cm，△ACD的周长为20cm，则△ABD的周长为 cm．
三．解答题（共9小题）
17．如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，求∠ECD的度数．
18．如图，在△ABC中，∠ABC＝82°，∠C＝58°，BD⊥AC于D，AE平分∠CAB，BD与AE交于点F，求∠AFB．
19．若实数a，b，c满足：．
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）以a，b，c长为边能否构成三角形？若能，能够成什么形状的三角形？（直接回答，不用说明理由）
20．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，∠DFB+∠BEC＝180°．
（1）求证：∠FDE＝∠C；
（2）若BE平分∠ABC，∠BEC＝110°，∠FDE＝50°，求∠ABC的度数．
21．如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA，∠B＝54°．
（1）求∠EAC的度数；
（2）若∠CAD：∠E＝2：5；求∠E的度数．
22．已知△ABC的三边长是a，b，c．
（1）若a＝4，b＝6，且三角形的周长是小于18的偶数．求c边的长；
（2）化简|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b|．
23．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．
（1）若∠C＝70°，∠B＝30°，求∠DAE的度数；
（2）若∠C﹣∠B＝20°，则∠DAE＝ ；
（3）若∠C﹣∠B＝α（∠C＞∠B），求∠DAE的度数（用含α的代数式表示）．
24．【问题背景】∠MON＝90°，点A，B分别在OM，ON上运动（不与点O重合）．
【问题思考】
（1）如图①所示，AE，BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A，B的运动，求∠AEB的值．
（2）如图②所示，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．如果∠MON＝α，其余条件不变，随着点A，B的运动，求∠D的值．（用含α的代数式表示）
25．如图，AB⊥CD，垂足为O，点P、Q分别在射线OC、OA上运动（点P、Q都不与点O重合），QE是∠AQP的平分线．
（1）如图1，在点P、Q的运动过程中，若直线QE交∠DPQ的平分线于点H．
①当∠PQB＝60°时，∠PHE＝ °；
②随着点P、Q分别在OC、OA的运动，∠PHE的大小是否是定值？如果是定值，请求出∠PHE的度数；如果不是定值，请说明理由；
（2）如图2，若QE所在直线交∠QPC的平分线于点E时，将△EFG沿FG折叠，使点E落在四边形PFGQ内点E′的位置，猜测∠PFE′与∠QGE′之间的数量关系，并说明理由．
第十一章 三角形 章末测试卷（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．6，2，3 B．3，3，3 C．4，3，8 D．4，3，7
【解答】解：A、∵2+3＜6，
∴6，2，3不能构成三角形，不符合题意；
B、∵3﹣3＜3＜3+3，即0＜3＜6，
∴3，3，3能构成三角形，符合题意；
C、∵4+3＜8，
∴4，3，8不能构成三角形，不符合题意；
D、∵4+3＝7，
∴4，3，7不能构成三角形，不符合题意．
故选：B．
2．若△ABC的三个内角之比为2：3：5，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【解答】解：∵△ABC的三个内角的比为2：3：5可设此三角形的三个内角分别为2x°，3x°，5x°，
∴2x°+3x°+5x°＝180°，
解得x＝18°，
∴5x°＝5×18°＝90°．
∴此三角形是直角三角形．
故选：B．
3．现有两根长度分别这3cm和6cm的木棒，若要钉成一个三角形木棒，则第三根木棒长可以为（ ）
A．2cm B．3cm C．5cm D．9cm
【解答】解：设第三根木棒长为xcm，
则6﹣3＜x＜6+3，即3＜x＜9，
∴四个选项中，第三根木棒长可以为5cm，
故选：C．
4．人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两直线平行，内错角相等
D．三角形具有稳定性
【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，
故选：D．
5．正五边形的外角和的度数（ ）
A．180° B．72° C．540° D．360°
【解答】解：任意多边形的外角和都是360°，
故正五边形的外角和的度数为360°．
故选：D．
6．若一个直角三角形其中一个锐角为40°，则该直角三角形的另一个锐角是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【解答】解：∵直角三角形中两锐角互余，
∴若一个直角三角形其中一个锐角为40°，则该直角三角形的另一个锐角是90°﹣40°＝50°．
故选：B．
7．一个多边形的内角和等于540°，则它的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
∴（n﹣2） 180°＝540°，
∴n＝5．
故选：B．
8．如图，直线a∥b，将含30°角的直角三角板ABC（∠B＝30° ）按图中位置摆放，若∠1＝48°，则∠2的度数为（ ）
A．100° B．102° C．104° D．110°
【解答】解：如图所示，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝48°，
∵∠4+∠3+∠B＝180°，
∴∠4＝102°，
∴∠2＝∠3＝102°．
故选：B．
9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC上一点，DE⊥AB于点E，下列说法中，错误的是（ ）
A．△ABC中，AC是BC上的高 B．△ABD中，DE是AB上的高
C．△ABD中，AC是BD上的高 D．△ADE中，AE是AD上的高
【解答】解：A、△ABC中，AC是BC上的高，说法正确，不符合题意；
B、△ABD中，DE是AB上的高，说法正确，不符合题意；
C、△ABD中，AC是BD上的高，说法正确，不符合题意；
D、△ADE中，AE是DE上的高，不是AD上的高，故本选项说法错误，符合题意；
故选：D．
10．如图所示，AD是△ABC的中线，AB＝12，AC＝10，△ABD的周长和△ACD的周长差为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．不确定
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∵AB＝12，AC＝10，
∴（AB+BD+AD）﹣（AC+CD+AD）
＝AB﹣AC
＝12﹣10
＝2，
∴△ABD的周长和△ACD的周长差为2，
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．如图，CD是△ABC的高，∠ACB＝90°．若∠A＝35°，则∠BCD的度数是 35° ．
【解答】解：∵CD是△ABC的高，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵在△ACD中，∠A+∠ADC+∠ACD＝180°，∠A＝35°，∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝55°
∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠BCD＝35°．
故答案为：35°．
12．△ABC中，∠B＝∠A+20°，∠C＝∠B+50°，则∠C的度数是 100° ．
【解答】解：∵∠B＝∠A+20°，∠C＝∠B+50°，
∴∠C＝∠A+20°+50°＝∠A+70°，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+∠A+20°+∠A+70°＝180°，
∴∠A＝30°，
∴∠C＝∠A+70°＝30°+70°＝100°．
故答案为：100°．
13．如果正n边形的一个内角与外角的比是5：1，那么n＝ 12 ．
【解答】解：∵正n边形的一个内角与外角的比是5：1，
设外角的度数为x，则内角的度数为5x，
∴x+5x＝180，
解得x＝30，
故，
故答案为：12．
14．已知三角形的三边长分别是8、10、x，则x的取值范围是 2＜x＜18 ．
【解答】解：根据三角形的三边关系可得：10﹣8＜x＜10+8，
即2＜x＜18，
故答案为：2＜x＜18．
15．如图，把△ABC沿平行于BC的直线DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若∠B＝50°，则∠BDF的度数为 80° ．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝50°．
由折叠的性质可知：∠FDE＝∠ADE＝50°，
∴∠BDF＝180°﹣∠ADE﹣∠FDE＝180°﹣50°﹣50°＝80°．
故答案为：80°．
16．如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝10cm，AC＝7cm，△ACD的周长为20cm，则△ABD的周长为 23 cm．
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD和△ACD周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝10﹣7＝3（cm），
∵△ACD的周长为20cm，AB比AC长3cm，
∴△ABD周长为：20+3＝23（cm）．
故答案为23．
三．解答题（共9小题）
17．如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，求∠ECD的度数．
【解答】解：由三角形的外角可知，∠ACD＝∠A+∠B＝100°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD＝∠ACD＝50°．
18．如图，在△ABC中，∠ABC＝82°，∠C＝58°，BD⊥AC于D，AE平分∠CAB，BD与AE交于点F，求∠AFB．
【解答】解：∵∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠C，
而∠ABC＝82°，∠C＝58°，
∴∠CAB＝40°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠DAF＝20°，
∵BD⊥AC于D，
∴∠ADB＝90°，
∴∠AFB＝∠ADB+∠DAF＝90°+20°＝110°．
故答案为：110°．
19．若实数a，b，c满足：．
（1）a＝ ，b＝ 5 ，c＝ 4 ．
（2）以a，b，c长为边能否构成三角形？若能，能够成什么形状的三角形？（直接回答，不用说明理由）
【解答】解：（1）根据题意得：a﹣＝0，b﹣5＝0，c﹣4＝0，
解得：a＝，b＝5，c＝4；
故答案为：；5；4；
（2）∵（）2+52＝（4）2，
∴a2+b2＝c2，
∴以a、b、c为边能构成三角形，构成的三角形是直角三角形．
20．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，∠DFB+∠BEC＝180°．
（1）求证：∠FDE＝∠C；
（2）若BE平分∠ABC，∠BEC＝110°，∠FDE＝50°，求∠ABC的度数．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠DEF＝∠CBE，
∵∠DFB+∠BEC＝180°，∠DFB+∠EFD＝180°，
∴∠BEC＝∠EFD，
又∵∠FDE＝180°﹣∠DEF﹣∠EFD，∠C＝180°﹣∠CBE﹣∠BEC，
∴∠FDE＝∠C；
（2）解：∵∠FDE＝∠C，∠FDE＝50°，
∴∠C＝50°．
在△BCE中，∠C＝50°，∠BEC＝110°，
∴∠CBE＝180°﹣∠C﹣∠BEC＝180°﹣50°﹣110°＝20°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠CBE＝2×20°＝40°．
21．如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA，∠B＝54°．
（1）求∠EAC的度数；
（2）若∠CAD：∠E＝2：5；求∠E的度数．
【解答】解：（1）∵∠EAD＝∠EDA，
∴∠EAC+∠CAD＝∠B+∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD．
∴∠EAC＝∠B．
∵∠B＝54°，
∴∠EAC＝54°．
（2）设∠CAD＝2x，则∠E＝5x，∠DAB＝2x，
∵∠B＝54°，
∴∠EDA＝∠EAD＝2x+54°．
∵∠EDA+∠EAD+∠E＝180°，
∴2x+54°+2x+54°+5x＝180°．
解得x＝8°．
∴∠E＝5x＝40°．
22．已知△ABC的三边长是a，b，c．
（1）若a＝4，b＝6，且三角形的周长是小于18的偶数．求c边的长；
（2）化简|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b|．
【解答】解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边，a＝4，b＝6，
∴2＜c＜10，
∵三角形的周长是小于18的偶数，
∴2＜c＜8，
∴c＝4或6；
（2）|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b|
＝a+b﹣c﹣c+a+b
＝2a+2b﹣2c．
23．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．
（1）若∠C＝70°，∠B＝30°，求∠DAE的度数；
（2）若∠C﹣∠B＝20°，则∠DAE＝ 10° ；
（3）若∠C﹣∠B＝α（∠C＞∠B），求∠DAE的度数（用含α的代数式表示）．
【解答】解：∵AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∠BAE＝∠CAE＝BAC.
（1）∵∠C＝70°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，∠CAD＝90°﹣∠C＝20°．
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD
＝∠BAC﹣∠CAD
＝×80°﹣20°
＝20°；
（2）∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∠CAD＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD
＝∠BAC﹣∠CAD
＝（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）
＝90°﹣∠B﹣∠C﹣90°+∠C
＝∠C﹣∠B
＝（∠C﹣∠B）．
∵∠C﹣∠B＝20°，
∴∠DAE＝×20°＝10°．
故答案为：10°．
（3）∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∠CAD＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD
＝∠BAC﹣∠CAD
＝（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）
＝90°﹣∠B﹣∠C﹣90°+∠C
＝∠C﹣∠B
＝（∠C﹣∠B）．
∵∠C﹣∠B＝α，
∴∠DAE＝×a＝．
24．【问题背景】∠MON＝90°，点A，B分别在OM，ON上运动（不与点O重合）．
【问题思考】
（1）如图①所示，AE，BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A，B的运动，求∠AEB的值．
（2）如图②所示，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．如果∠MON＝α，其余条件不变，随着点A，B的运动，求∠D的值．（用含α的代数式表示）
【解答】解：（1）∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴∠BAE＝∠OAB，∠ABE＝∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE＝（∠OAB+∠ABO）＝45°，
∴∠AEB＝135°；
（2）设∠BAD＝x，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO＝2x，
∵∠AOB＝α
∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝α+2x．
∵BC平分∠ABN，
∴，，
∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD．
∴，
25．如图，AB⊥CD，垂足为O，点P、Q分别在射线OC、OA上运动（点P、Q都不与点O重合），QE是∠AQP的平分线．
（1）如图1，在点P、Q的运动过程中，若直线QE交∠DPQ的平分线于点H．
①当∠PQB＝60°时，∠PHE＝ 45 °；
②随着点P、Q分别在OC、OA的运动，∠PHE的大小是否是定值？如果是定值，请求出∠PHE的度数；如果不是定值，请说明理由；
（2）如图2，若QE所在直线交∠QPC的平分线于点E时，将△EFG沿FG折叠，使点E落在四边形PFGQ内点E′的位置，猜测∠PFE′与∠QGE′之间的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）①∵AB⊥CD，
∴∠POQ＝90°，
∴∠PQO+∠QPO＝90°，
∵∠PQB＝60°，
∴∠QPO＝30°，∠AQP＝120°，
∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO，
∴，，
∴∠H＝∠EQP﹣∠HPQ＝45°，
故答案为：45；
②∠PHE 是一个定值，∠PHE＝45°，理由如下：
∵AB⊥CD，
∴∠POQ＝90°，
∴∠PQO+∠QPO＝90°，
∴∠QPO＝90°﹣∠PQO，∠AQP＝180°﹣∠PQO，
∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO，
∴，，
∴∠H＝∠EQP﹣∠HPQ＝45°；
（2）∠PFE'+∠QGE'＝90°，理由如下：
如图2所示，连接EE'，
∵AB⊥CD，
∴∠POQ＝90°，
∴∠PQO+∠QPO＝90°，
∵∠CPQ+∠QPO＝180°，∠PQA+∠PQO＝180°，
∴180°﹣∠CPQ+180°﹣∠PQA＝90°，
∴∠CPQ+∠PQA＝270°，
∵QE，PE分别平分∠PQA，∠CPQ，
∴，
∴，
∴∠PEQ＝180°﹣∠EPQ﹣∠EQP＝45°，
由折叠的性质可知∠GE'F＝∠PEQ＝45°，
∵∠FEE'+∠EFE'+∠EE'F＝180°＝∠GEE'+∠EGE'+∠EE'G，
∴∠FEG+∠FE'G+∠EFE'+∠EGE'＝360°，
∴∠EFE'+∠EFE'＝270°，
∵∠EFE'+∠PFE'＝180°＝∠EGE'+∠QGE'，
∴∠PFE'+∠QGE'＝360°﹣∠EFE'﹣∠EFE'＝90°．