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（总课时26）§4.2平行线分线段成比例
一.选择题：1．在△ABC中，DE∥BC，则下列比例式中，不成立的是( )
A. B. C. D.
2．（2019·河南）如图1，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则AC的长为（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
3．（2019·山东）如图2，直线，直线分别交直线、、于点、、，直线分別交直线，、于点、、，直线、交于点，则下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
4．如图3，在△ABC中，AD：BD=1：1，AE:CE=1:2，BE与CD交于点P，则BP:PE=（ ）
A.2:1 B.1:2 C.2:3 D.3:2
5．（2019·四川）如图4,在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E是OD的中点,连接AE并延长交DC于点F,则DF：FC=( ) A.1：4 B.1：3 C.1：2 D.2:1
二.填空题6.（2018·山东）如图5，AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：2，BC＝6，则CE的长为_____．
7.（2018·上海）如图6，AD∥BE∥CF，AB=5cm，AC=8cm，DE=7cm，则EF=_______cm．
8.如图7，已知DE∥BC，AE=3，AC=5，AB=6，则AD=_____．
9.如图8，在 ABC中，AD：DB=2：3，E为CD的中点，AE的延长线交BC于点F，则BF：FC________．
10．如图9，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG，则=_____．
三.解答题:11.如图10，已知△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝5，AC＝5，求AE的长．
12．如图11，在△ABC中，AM是BC边上的中线，直线DN∥AM，交AB于点D，交CA的延长线于点E，交BC于点N．求证：．
13．如图12，，若AM=3，BM=5，CM=4.5，EF=16，求DM，EK，FK的长.
四.提高题：14．如图13，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作PM∥AC交AB于点M，作PN∥AB交AC于点N．
（1）若点D是BC的中点，①若AP：PD＝2：1，求AM：AB的值
②证明：；（2）若点D是BC上任意一点，试证明：．
图9
图8
图7
图6
图5
图10
图11
图12
图13
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（总课时26）§4.2平行线分线段成比例 (1)
【学习目标】掌握平行线分线段成比例定理及其推论．【学习重难点】运用定理及推论解决问题．
【导学过程】
一.知识回顾:1.比例的性质：（1）基本性质：a:b=c:dad=bc（2）反比性质：；（3）合比性质：（4）更比性质：；（5）等比性质：
（b+d+...+n≠0）
2.已知x∶y=3∶2，则下列各式中不正确的是（ D ）
A．= B．= C．= D．=3
二.探究新知;
1.如图1小方格的边长都是1，直线l1∥l2∥l3,分别交
直线m,n于A1，A2，A3，B1，B2，B3.[根据勾股定理可得∶
A1A2=,B1B2=A2A3=B2B3=A1A3=B1B3=
（1）所以0.25 =0.25；由此你能得到的结论是．（2）所以=；由此你能得到的结论是（3）所以=；由此你能得到的结论是．
2．将直线l2向下平移到如下图2的位置，直线m，n与直线l2的交点分别为A2，B2．（1）中的结论还成立吗？如果将l2平移到其他位置呢？
归纳∶有如下事实∶两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
3．如图3在平面上有a∥b∥c，用它们截两条直线AC、AN，截得的对应线段成比例吗？
推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．
三.典例与练习：
例1.如图4(1)，已知∥∥．（1）在图4中AB=5，BC=7，EF=4，求DE的长．
解：DE=
（2）在图4(2)中DE=6，EF=7，AB=5，求AC的长．
解：DE:EF=AB:BC=6:7,∵AB=5,∴BC=∴AC=AB+BC=5+=
练习1.如图5，在△ABC中，D、E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC．
（1）如果AD=7，DB=5，EC=4，那么AE的长是多少？
解：AE=
（2）如果AB=10，AE=4，AD=5，那么EC的长是多少？
解：EC=AE=4
例2.如图6，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ A ）
A． B． C． D．
练习2.如图7，E是□ABCD的边CD上一点，，AD＝12，
那么CF的长为（ B ）A．4 B．6 C．3 D．12
四.课堂小结：1.两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
（关键要能熟练地找出对应线段）
2.平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的对应线段成比例.
五.分层过关：
1．如图8，在△ABC中，DE∥BC交AB、AC于D、E，下列等式一定不能成立的是（ D ）
A． B． C． D．
2．如图9，□ABCD，E在CD延长线上，AB＝10，DE＝5，EF＝6，则BF的长为（ C ）
A．3 B．6 C．12 D．16
3．如图10，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC．若BD=4，DA=2，BE=3，求EC的长.
解：∵DE∥AC∴∵BD=4，AD=2，BE=3∴∴CE=
4.如图11所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF的长．
解：∵AB∥EF∥CD∴①,②,∴①+②得：
∴
5.如图12，P是四边形OACB对角线的任意一点，且PM∥CB，PN∥CA，求证：OA MB=OB NA．
证：∵PM∥CB∴①∵PN∥AC∴②
由①②得：∴OA MB=OB NA
6.如图13，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，BE的延长线与AC交于F，求AF∶AC的值。
解：过D作DG∥BF，交AC于G，如图，∴∵CD=BD，∴CG=FG，
∵DG∥BF∴∵AE=DE∴AF=FG∴AF=FG=GC，∴AF：AC=1：3
思考题：如图14，△ABC的顶点A是线段PQ的中点，PQ∥BC，连接PC、QB，分别交AB、AC于M、N，连接MN，若MN=1，BC=3，求线段PQ的长．
解：∵PQ∥BC，∴，∴∴MN∥BC
∴
∴∴
∴AP=
∵AP=AQ∴PQ=2AP=3
图4（1）
图4（2）
图5
图6
图7
图11
图10
图9
图8
图12
图13
图14
B
C
Q
P
M
N
A
图14
图15
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（总课时26）§4.2平行线分线段成比例
【学习目标】掌握平行线分线段成比例定理及其推论．【学习重难点】运用定理及推论解决问题．
【导学过程】
一.知识回顾：
1.比例的性质：（1）基本性质： ；（2）反比性质：____________；（3）合比性质： ___________；
（4）更比性质：______________；（5）等比性质： ．
2.已知x∶y=3∶2，则下列各式中不正确的是（ ）
A．= B．= C．= D．=3
二.探究新知：
1.如图1小方格的边长都是1，直线l1∥l2∥l3,分别交直线
m,n于A1，A2，A3，B1，B2，B3.[根据勾股定理可得∶
A1A2= B1B2= A2A3= B2B3= A1A3= B1B3=
（1）所以 = ；由此你能得到的结论是 ．（2）所以 = ；由此你能得到的结论是 ．（3）所以 = ；由此你能得到的结论是 ．
2．将直线l2向下平移到如下图2的位置，直线m，n与直线l2的交点分别为A2，B2．（1）中的结论还成立吗？如果将l2平移到其他位置呢？
归纳∶有如下事实∶
3．如图3在平面上有a∥b∥c，用它们截两条直线AC、AN，截得的对应线段成比例吗？
推论：_____________________________________．
三.典例与练习：
例1、如图4（1）,已知∥∥．（1）在图4中AB=5，BC=7，EF=4，求DE的长．
（2）在图4（2）中DE=6，EF=7，AB=5，求AC的长．
练习1.如图5，在△ABC中，D、E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC．
（1）如果AD=7，DB=5，EC=4，那么AE的长是多少？
（2）如果AB=10，AE=4，AD=5，那么EC的长是多少？
例2.如图6，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
练习2.如图7，E是□ABCD的边CD上一点，，AD＝12，那么CF的长为（ ）A．4 B．6 C．3 D．12
四、课堂小结：1.两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（关键要能熟练地找出对应线段）
2.平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的对应线段成比例.
五.分层过关：
1．如图8，在△ABC中，DE∥BC交AB、AC于D、E，下列等式一定不能成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图9，□ABCD，E在CD延长线上，AB＝10，DE＝5，EF＝6，则BF的长为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．16
3．如图10，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC．若BD=4，DA=2，BE=3，求EC的长.
4.如图11所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF的长．
5.如图12，P是四边形OACB对角线的任意一点，且PM∥CB，PN∥CA，求证：OA MB=OB NA．
6.如图13，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，BE的延长线与AC交于F，求AF∶AC的值。
思考题：如图14，△ABC的顶点A是线段PQ的中点，PQ∥BC，连接PC、QB，分别交AB、AC于M、N，连接MN，若MN=1，BC=3，求线段PQ的长．
图4（1）
图4（2）
图5
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图11
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图9
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C
D
B
A
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图13
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B
C
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A
图14
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（总课时26）§4.2平行线分线段成比例
一.选择题：1．在△ABC中，DE∥BC，则下列比例式中，不成立的是( C )
A. B. C. D.
2．如图1，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则AC的长为（C）
A.2 B.4 C.6 D.8
3．如图2，直线，直线分别交直线、、于点、、，直线分別交直线，、于点、、，直线、交于点，则下列结论错误的是( C )
A. B. C. D.
4．如图3，在△ABC中，AD：BD=1：1，AE:CE=1:2，BE与CD交于点P，则BP:PE=（ D ）
A.2:1 B.1:2 C.2:3 D.3:2
5．如图4,在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E是OD的中点,连接AE并延长交DC于点F,则DF：FC( C ) A.1：4 B.1：3 C.1：2 D.2:1
二.填空题:6.如图5，AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：2，BC＝6，则CE的长为_4_．
7.如图6，AD∥BE∥CF，AB=5cm，AC=8cm，DE=7cm，则EF=_______cm．
8.）如图7，已知DE∥BC，AE=3，AC=5，AB=6，则AD=__3.6_．
9.如图8，在 ABC中，AD：DB=2：3，E为CD的中点，AE的延长线交BC于点F，则BF：FC__2.5__．
10．如图9，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG，则=__2_．
三.解答题:11.如图10，已知△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝5，AC＝5，求AE的长．
解：∵DE∥BC，∴，即,解得AE＝.
12．如图11，在△ABC中，AM是BC边上的中线，直线DN∥AM，交AB于点D，交CA的延长线于点E，交BC于点N．求证：．
解：∵直线DN∥AM，∴，，
∵在△ABC中，AM是BC边上的中线，∴MB=MC，∴．
13．如图12，，若AM=3，BM=5，CM=4.5，EF=16，求DM，EK，FK的长.
解∵l1∥l2∥l3，∴，
∵AM=3，BM=5，CM=4.5，∴.∴DM=7.5，
设EK=x，则KF=16-x，∴=，∴x=6，即EK=6，∴KF=16 6=10.
四.提高题：14．如图13，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作PM∥AC交AB于点M，作PN∥AB交AC于点N．
（1）若点D是BC的中点，①若AP：PD＝2：1，求AM：AB的值
②证明：；
（2）若点D是BC上任意一点，试证明：．
解（1）①过点D作DE∥PM交AB于E，∵PM∥AC，∴DE∥AC，.
∵点D为BC中点，∴点E是AB中点，且，∵AP：PD＝2：1∴AP：AD=2：3∴；
②延长AD至点Q，使DQ＝AD，连BQ、CQ，∵DQ=AD，BD=DC，∴四边形ABQC是平行四边形．
∴PM∥BQ，PN∥CQ，∴，，∴；
（2）过点D作DE∥PM交AB于E，∴，
又∵PM∥AC，∴DE∥AC，∴，∴，
同理可得：，∴．
图9
图8
图7
图6
图5
图10
图11
图12
图13
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