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（总课时28）§4.4探索三角形相似的条件 (1)
一.选择题：
1.如图1，DE∥FG∥BC，图中相似三角形共有（ ）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
2.在△ABC和△A′B′C′中，若∠A=68°，∠B=40°，∠A′=68°，∠C′=72°，则这两个三角形（ ）
A．全等或相似 B．相似 C．全等 D．无法确定
3.要使△ABC与△DEF相似，∠A=50°，∠B=70°，∠D=60°，则∠E的度数为（ ）
A.50° B.70° C.60° D.50°或70°
4．在△ABC与△DEF中，若∠C=70°，∠E=40°，∠A=∠D=70°，AB=DE，则这两个三角形（ ）
A.是相似三角形，但不是全等三角形 B.是全等三角形，但不是相似三角形
C.是相似三角形，也是全等三角形 D.既不是相似三角形，也不是全等三角形
5．如图2，锐角△ABC，P是AB边上异于A,B的一点，过点P作直线截△ABC，所截得的三角形与原△ABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）条．A．1 B．2 C．3 D．4
二.填空题：
6.如图，在△ABC中，D是AB边上的点，如果________或________，则△ABC∽△ACD
7.△ABC与△DEF中，∠B=42°，D=65°，F=73°，AB=3，AC=5，BC=6，DE=6，DF=10，EF=12，则△DEF与△ABC________
8.在△ABC中，∠ACB=90°，AC>BC，O是边AB的中点，过点O的直线将△ABC分割成两个部分，若其中的一个部分与△ABC相似，则满足条件的直线共有____________条
9.如图4，若不增加字母与辅助线，要得到△ABC∽△ADE，只需要再添加一个条件是_________.
三.解答题：10．如图，在 ABC中，AB=8，BC=4，CA=6，CD，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E.求AE的长.
11.如图，∠1=∠2=∠3,试找出图中两对相似三角形，并说明为什么
12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，∠APB=∠BPC=135°．
求证：△PAB∽△PBC．
13．已知：如图，在△ABC中，AD=DB,∠1=∠2.求证：△ABC∽△EAD.
四.提高题：
14．如图，在□ABCD中，E是DC上一点，连接AE、F为AE上一点，且∠BFE=∠C.
求证：(1)△ABF∽△EAD. (2)DE×DC=AE×AF
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（总课时28）§4.4探索三角形相似的条件（1）
【学习目标】了解相似三角形的定义，掌握相似三角形判定定理1.
【学习重难点】相似三角形的判定1的应用．
【导学过程】一.复习回顾：
（1）全等三角形的判定定理有 ， ， ，以及 ；
（2）相似多边形的定义： ；
（3）相似多边形的性质： ．
二.探究新知：
类比相似多边形的定义，相似三角形定义： 的两个三角形叫做相似三角形.
活动一：如果两个三角形只有一个角相等，它们一定相似吗？举例画图说明理由；
活动二：如果两个三角形有两个角对应相等，它们一定相似吗？举例画图说明理由；
如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，求证：△ABC∽△DEF．
两个人分别画 ABC和 DEF，使得∠A=∠D=∠α，∠B=∠E=∠β，然后测量各
边的长度。此时：∠C与∠F相等吗？____,_________.
ABC与 DEF相似吗？
定理1：两角分别相等的两个三角形相似。
三.典例与练习：
1.如图，在△ABC中，点D、E是AB边，AC边的点，DE∥BC，AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长．
练习1．判断下列说法正误．
（1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似( )（2）顶角相等的两个等腰三角形相似（ ）
（3）两个等边三角形一定相似（ ）（4）有一个角为40度的两个等腰三角形一定相似（ ）
2.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O．
（1）找出图中的相似三角形 ；（2）若，则 ；
（3）若AB=7，CD=3，BD=5，求OD.
例2．如图4，在△ABC中，∠BAC=，AD⊥BC，垂足是点D.
（1）请找出图中的所有相似三角形； ；
（2）求证：（3）若AB=6，AC=8，求BD．
练习2.如图5，平行四边形ABCD中，F是CD上一点，BF交AD的延长线于G，则图中的相似三角形对数共有（ ）A．8对 B．6对 C．4对 D．2对
四.课堂小结：判断两个三角形相似：1.用定义：三角分别相等，三边成比例
的两个三角形相似；2.判定定理1：两个角对应相等的两个三角形相似。
2.判定定理1：两个角对应相等的两个三角形相似。
五.分层过关：
1.如图6，在△ABC中，点D在边AB上，，DE∥BC交AC于点E，若线段DE=5，则线段BC的长为 ．
2.下列各种图形中，有可能不相似的是（ ）
A．有一个角是的两个等腰三角形 B．有一个角是的两个等腰三角形
C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个等腰直角三角形
3.如图，结合图形及所给条件，图中无相似三角形的是( )
A．B．C．D．
4.如图，与下列哪一个三角形相似（ ）
A.B.C.D.
5.如图7，AB∥CD，AC，BD，EF相交于点O，则图中相似三角形共有_____对．
思考题：
请根据下列各图，找出图中的所有相似三角形.
①如图8，在△ABC中，∠BAD=∠BCA，则有 ；
②如图9，在四边形ABCD中点E是BC上一点，AB⊥BC，FC⊥BC，AE⊥EF，则有 ；
③如图10，等边△ABC，点D是BC上一点，且∠ADE=60 ，则有 ；
④如图11，两个全等的等腰直角△ABC，△AFG，∠BAC=∠G=90 ，点D、E是BC上两点，则有 ．
B
C
A
F
D
E
图1
B
C
A
E
F
D
A
D
E
B
C
图2
A
B
D
C
O
图3
A
C
D
B
图4
B
C
A
D
G
E
F
图5
A
D
E
B
C
图6
图7
A
B
F
C
G
E
D
B
D
C
E
A
A
B
F
E
C
B
A
C
D
图8
图9
图10
图11
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（总课时28）§4.4探索三角形相似的条件 （1）
一.选择题：
1.如图1，DE∥FG∥BC，图中相似三角形共有（ B ）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
2.在△ABC和△A′B′C′中，若∠A=68°，∠B=40°，∠A′=68°，∠C′=72°，则这两个三角形（ B ）
A．全等或相似 B．相似 C．全等 D．无法确定
3．要使△ABC与△DEF相似，∠A=50°，∠B=70°，∠D=60°，则∠E的度数为（ D ）
A.50° B.70° C.60° D.50°或70°
4．在△ABC与△DEF中，若∠C=70°，∠E=40°，∠A=∠D=70°，AB=DE，则这两个三角形（ C ）
A.是相似三角形，但不是全等三角形 B.是全等三角形，但不是相似三角形
C.是相似三角形，也是全等三角形 D.既不是相似三角形，也不是全等三角形
5．如图2，锐角△ABC，P是AB边上异于A,B的一点，过点P作直线截△ABC，所截得的三角形与原△ABC相似，满足这样条件的直线共有（D ）条．A．1 B．2 C．3 D．4
二.填空题：
6.如图3，在△ABC中，D是AB边上的点，如果∠B=∠ACD或∠ACB=∠ADC，则△ABC∽△ACD
7.△ABC与△DEF中，∠B=42°，D=65°，F=73°，AB=3，AC=5，BC=6，DE=6，DF=10，EF=12，则△DEF与△ABC相似
8.在△ABC中，∠ACB=90°，AC>BC，O是边AB的中点，过点O的直线将△ABC分割成两个部分，若其中的一个部分与△ABC相似，则满足条件的直线共有3条
9.如图4，若不增加字母与辅助线，要得到△ABC∽△ADE，只需要再添加一个条件是:DE∥BC.
三.解答题：10．如图，在 ABC中，AB=8，BC=4，CA=6，CD，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E.求AE的长.
解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD.又∵CD∥AB，∴∠ABD=∠D，
∴∠CBD=∠D，∴BC=CD=4.
∵∠ABD=∠D，∠AEB=∠CED，∴△ABE∽△CDE，∴.
∵AB=8，CA=6，CD=BC=4，∴，解得AE=4.
11.（2019·江阴）如图6，∠1=∠2=∠3,试找出图中两对相似三角形，并说明为什么
解：△AFD∽△EFB，△ABC∽△ADE．
理由如下：∵∠2＝∠3，∠AFD＝∠EFB∴△AFD∽△EFB，∴∠B＝∠D．
∵∠1＝∠2，∴∠1+∠EAF=∠2+∠EAF，
∴∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE．
12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，∠APB=∠BPC=135°．
求证：△PAB∽△PBC．
解：∵∠ACB=90°，AB=BC∴∠ABC=45°=∠PBA=∠PBC，
又∠APB=135°,∴∠PAB+∠PBA=45°，∴∠PBC=∠PAB，
又∵∠APB=∠BPC=135°，∴△PAB∽△PBC.
13.已知：如图，在△ABC中，AD=DB,∠1=∠2.求证：△ABC∽△EAD.
证明：∵AD=DB，∴∠B=∠BAD.∵∠BDA=∠1+∠C=∠2+∠ADE，
且∠1=∠2，∴∠C=∠ADE，∴△ABC∽△EAD.
四.提高题：
14．如图，在□ABCD中，E是DC上一点，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C.
求证：(1)△ABF∽△EAD. (2)DE×DC=AE×AF
证明(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，，∴
∵，且，∴.
∵，∴，∴.
(2)∵△ABF∽△EAD∴
∵AB=DC∴∴DE×DC=AE×AF
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（总课时28）§4.4探索三角形相似的条件 （1）
【学习目标】了解相似三角形的定义，掌握相似三角形判定定理1.
【学习重难点】相似三角形的判定1的应用．
【导学过程】
一.复习回顾：（1）全等三角形的判定定理有:边角边，角边角，边边边，以及角角边；
（2）相似多边形的定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形；
（3）相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例．
二.探究新知：
类比相似多边形的定义，相似三角形定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
活动一：如果两个三角形只有一个角相等，它们一定相似吗？举例画图说明理由；
活动二：如果两个三角形有两个角对应相等，它们一定相似吗？举例画图说明理由；
如图1，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，求证：△ABC∽△DEF．
两个人分别画 ABC和 DEF，使得∠A=∠D=∠α，∠B=∠E=∠β，然后测量各
边的长度。此时：∠C与∠F相等吗？____,____，_____.
ABC与 DEF相似吗？
定理1：两角分别相等的两个三角形相似。
三.典例与练习：
1.如图2，在△ABC中，点D、E是AB边，AC边的点，DE∥BC，AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长．
解：∵DE∥BC∴∠B=∠ADE,∠C=∠AED∴△ABC∽△ADE,∴
∵AB=7，AD=5，DE=10∴BC=14
练习1．判断下列说法正误．
（1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似( √ )（2）顶角相等的两个等腰三角形相似（ √ ）
（3）两个等边三角形一定相似（ √ ）（4）有一个角为40度的两个等腰三角形一定相似（ × ）
2.如图3，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O．
（1）找出图中的相似三角形△AOB∽△COD；（2）若，则____；
（3）若AB=7，CD=3，BD=5，求OD.
解：∵△AOB∽△COD∴∴,即：
∵BD=5,∴OD=1.5
例2．如图4，在△ABC中，∠BAC=，AD⊥BC，垂足是点D.
（1）请找出图中的所有相似三角形；△BAD∽△ACD,△BDA∽△BAC,△CDA∽△CAB；
（2）求证：（3）若AB=6，AC=8，求BD．
(2)证：∵△BAD∽△ACD∴∴AD2=BD×DC
(3)∵AB=6，AC=8，∴BC=10,∵△BDA∽△BAC∴AB2=BD×BC即：36=10BD∴BD=3.6
练习2.如图5，平行四边形ABCD中，F是CD上一点，BF交AD的延长线于G，则图中的相似三角形对数共有（B）A．8对 B．6对 C．4对 D．2对△GDF∽△GAB,△GDF∽△BCF,△GAB∽△BCF,△GAE∽△BCE,
△FEC∽△BEA,△ABC∽△CDA
四.课堂小结：判断两个三角形相似：1.用定义：三角分别相等，三边成比例
的两个三角形相似；2.判定定理1：两个角对应相等的两个三角形相似。
五.分层过关：
1.如图6，在△ABC中，点D在边AB上， ，DE∥BC交AC于点E，若线段DE=5，则线段BC的长为15．
2.（2019·全国初三课时练习）下列各种图形中，有可能不相似的是（ A ）
A．有一个角是的两个等腰三角形 B．有一个角是的两个等腰三角形
C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个等腰直角三角形
3.（2019·全国初三课时练习）结合图形及所给条件，图中无相似三角形的是( C )
A． B． C． D．
4.如图，与下列哪一个三角形相似（ D ）
A.B.C.D.
5.如图8，AB∥CD，AC，BD，EF相交于点O，则图中相似三角形共有3对．
思考题：
请根据下列各图，找出图中的所有相似三角形.
①如图9（1），在△ABC中，∠BAD=∠BCA，则有△BAD∽△BCA；
②如图9(2)，在四边形ABCD中点E是BC上一点，AB⊥BC，FC⊥BC，AE⊥EF，则有△BEA∽△CFE；
③如图9(3)，等边△ABC，点D是BC上一点，且∠ADE=60 ，则有△BDA∽△CED；
④如图9(4)，两个全等的等腰直角△ABC，△AFG，∠BAC=∠G=90 ，点D、E是BC上两点，则有△DAE∽△DCA，△EAD∽△EBA．
B
C
A
F
D
E
图1
B
C
A
E
F
D
A
D
E
B
C
图2
A
B
D
C
O
图3
A
C
D
B
图4
B
C
A
D
G
E
F
图5
A
D
E
B
C
图6
图7
图8
(1)
图9
(4)
(3)
(2)
B
A
C
D
A
B
F
E
C
B
D
C
E
A
A
B
F
C
G
E
D
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