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（总课时29）§4.4探索三角形相似的条件 (2)
【学习目标】掌握判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
【学习重难点】相似三角形判定定理在实际问题中的灵活运用．
【导学过程】一.知识回顾：
1．相似三角形的相关概念．
（1）三角分别___、三边______的两个三角形叫做相似三角形；（2）相似三角形的对应角___，对应边______；（3）相似比等于__的两个三角形全等．
2．我们已有哪些判定两个三角形相似的方法：① ② ．
3．如图1，已知点A，D，B，F在一条直线上，AC＝EF，∠A＝∠F，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．(只需填一个即可)
二.探究新知：
探究1．画△ABC与△A′B′C′，使∠A＝∠A′，，当时，度量∠B与∠B′的大小（或∠C与∠C′的大小）．△ABC和△A′B′C′相似吗？
定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
三.典例与练习：
例1.如图2，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，AE＝1.5，AC＝2，BC＝3，且＝，求DE的长．
练习1.如图3所示，D在△ABC的边AB上，AD＝1，BD＝2，AC＝，则△ACD
与△ABC相似吗？请说明你的理由．
2.如图4，AB·AE＝AD·AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE.
3.如图5，正方形ABCD中，E为AB的中点，BF＝BC，连接DE，EF，DF，那么图中有与△ADE相似的三角形吗？若有，写出证明过程．
探究2．如果△ABC与△A′B′C′的两对对应边成比例，且其中一对边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？画图举例说明；由此你能得到什么结论？答：__________________________.
四.课堂小结：1.判定两个三角形相似的方法：①_______；②___________；③______________.
2.边边角相等的两个三角形不一定全等；同样，两边成比例且一边的对角相等的两个三角形不一定相似.
五.分层过关：
1．如图6所示，补充下列哪个条件仍不能判定△ABC与△ADE相似( )
A．＝ B．∠B＝∠ADE C．＝ D．∠C＝∠AED
2．如图7所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC＝( )A．1∶4 B．1∶3 C．2∶3 D．1∶2
3．如图8，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，点D是AC的中点，过点D的直线交AB于点Q，若想使以A，D，Q为顶点的三角形与△ABC相似，则AQ的长为( )A．3 B．3或 C．3或 D．
4.如图9，已知△ABD∽△ACE.求证：△ABC∽△ADE.
5.如图10，在△ABC中，AB＝AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且满足AB2＝DB·CE.求证：△ADB∽△EAC.
6.已知：如图11，在△ABC中，CE⊥AB，BF⊥AC.求证：△AEF∽△ACB.
思考题：如图12，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P有几处？求出对应AP的值；
F
B
C
A
D
E
图1
C
B
A
C′
B′
A′
C
B
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E
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图2
C
B
A
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图3
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E
C
1
2
图4
C
F
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E
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图5
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F
C
O
E
图7
C
B
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E
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图6
C
B
A
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图8
图9
图10
图11
C
B
D
A
P
图12
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（总课时29）§4.4探索三角形相似的条件 (2)
一.选择题：
1．如图1，点D、E分别是△ABC的边AB，AC上的点，添加下列条件仍不能判断△ADE与△ABC相似的是( )
A.DE∥BC B.∠ADE=∠ACB C. D.
2．如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB交AB于点D，DE⊥AC交AC于点E，则图中与△ABC相似的三角形有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3．如图3，在△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
4．直线DE与 ABC的AB边相交于点D，与AC边相交于点E，下列条件：①；②；③AE AB=AD AC；④.能使△ADE与△ABC相似的条件有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二.填空题
5．在 ABC中，AB=6，AC=8，在中，，.若∠A______，则 ABC∽ ______.
6．如图4，∠D=∠ACB=90°，∠1=∠B，AC=5，AB=6，则AD=______.
7．如图5，点E是四边形ABCD对角线BD上一点，对角线AC与BD相交于点O，且∠BAC=∠BDC=∠DAE.从图中找出2对相似三角形，它们是______________；_________________.
8．如图6，BD平分∠ABC，AB=4，BC=6，当BD=______时，△ABD∽△DBC.
9．已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为，△A1B1C1∽△A2B2C2，相似比为，则△ABC∽△A2B2C2，其相似比为___.
10．（2019·上海） ABC中，AB=10，AC=6，点D在AC上，且AD=3，若要在AB上找一个点E，使 ADE与 ABC相似，则AE=__________．
三.解答题：11.已知矩形ABCD,AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．（1）求证：△OCP∽△PDA；（2）若△OCP与△PDA的相似比为1：2，求边AB的长.
12．如图，CE，BD是△ABC的高，△AED与△ACB相似吗？为什么？
13.已知：如图所示，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且．求证：．
14.如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC.(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若AD=3，AB=5，求AF：AG的值．
四.提高题：
15．如图，已知∠MON=90，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂足为点B，AB=3厘米，OB=4厘米，动点E，F同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动.设运动时间为t(t>0)秒.(1)当t=1秒时，△EOF与△ABO是否相似？请说明理由；(2)在运动过程中，不论t取何值时，总有EF⊥OA，为什么？
图5
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（总课时29）§4.4探索三角形相似的条件 (2)
【学习目标】掌握判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
【学习重难点】相似三角形判定定理在实际问题中的灵活运用．
【导学过程】一.知识回顾：
1．相似三角形的相关概念．
（1）三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形；（2）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；（3）相似比等于1的两个三角形全等．
2．我们已有哪些判定两个三角形相似的方法：①用定义②用判定定理1．
3．如图1，已知点A，D，B，F在一条直线上，AC＝EF，∠A＝∠F，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是AD=BF．(只需填一个即可)
二.探究新知：
探究1．画△ABC与△A′B′C′，使∠A＝∠A′，，当时，度量∠B与∠B′的大小（或∠C与∠C′的大小）．△ABC和△A′B′C′相似吗？
定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
三.典例与练习：
例.如图3，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，AE＝1.5，AC＝2，BC＝3，且＝，求DE的长．
解：∵AE：AC=3：4∴AE：AC=AD：AB，∵∠A=∠A∴△ADE∽△ABC∴ED：BC=3:4,∵BC=3∴DE=2.25
练习1.如图4所示，D在△ABC的边AB上，AD＝1，BD＝2，AC＝，则△ACD
与△ABC相似吗？请说明你的理由．
解：△ACD∽△ABC相似,理由是：∵且∠A=∠A∴△ACD∽△ABC
2.如图5，AB·AE＝AD·AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE.
证：∵AB·AE＝AD·AC∴AB：AD=AC：AE∵∠1＝∠2∴∠DAE=∠BAC
∴△ABC∽△ADE.（边角边）
3.如图6，正方形ABCD中，E为AB的中点，BF＝BC，连接DE，EF，DF，那么图中有与△ADE相似的三角形吗？若有，写出证明过程．答：△ADE∽△BEF∽△EDF
证：∵AD：AE=2=EB：BF，∠A=∠B∴△ADE∽△BEF；∴DE:EF=AD:EB=AD:AE,
∠A=∠DEF∴△ADE∽△EDF.同理可得：△EDF∽△BEF.
探究2．如果△ABC与△A′B′C′的两边成比例，且其中一对边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？画图举例说明；由此你能得到什么结论？答：不一定相似.即边边角不一定相似.
四.课堂小结：1.判定两个三角形相似的方法：①用定义；②判定定理1；③判定定理2.
2.边边角相等的两个三角形不一定全等；同样，两边成比例且一边的对角相等的两个三角形不一定相似.
五.分层过关：
1．如图7所示，补充下列哪个条件仍不能判定△ABC与△ADE相似( C )
A．＝ B．∠B＝∠ADE C．＝ D．∠C＝∠AED
2．如图8所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC＝( D )A．1∶4 B．1∶3 C．2∶3 D．1∶2
3．如图9，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，点D是AC的中点，过点D的直线交AB于点Q，若想使以A，D，Q为顶点的三角形与△ABC相似，则AQ的长为( B )A．3 B．3或 C．3或 D．
4.如图10，已知△ABD∽△ACE.求证：△ABC∽△ADE.
证明：∵△ABD∽△ACE，∴ ( http: / / www.21cnjy.com )∠BAD＝∠CAE.又∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC，∠DAE＝∠DAC＋∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE.∵△ABD∽△ACE，∴＝.在△ABC和△ADE中，∵∠BAC＝∠DAE，＝，∴△ABC∽△ADE.
5.如图11，在△ABC中，AB＝AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且满足AB2＝DB·CE.求证：△ADB∽△EAC.
证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABD＝∠ACE.∵AB2＝DB·CE，∴＝，即＝，∴△ADB∽△EAC.
6.已知：如图12，在△ABC中，CE⊥AB，BF⊥AC.求证：△AEF∽△ACB.
证明：∵CE⊥AB，BF⊥ ( http: / / www.21cnjy.com )AC，∴∠BFA＝∠CEA＝90°，∠A＝∠A，∴△AEC∽△AFB，∴＝，∴＝，又∵∠EAF＝∠CAB，∴△AEF∽△ACB.
思考题：如图13，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P有几处？求出对应AP的值.
解：∵AD∥BC，∠ABC=90°∴∠A=90°；设AP=x，则BP=8-x
分两种情况：①当△APD∽△BPC时，有AP：BP=AD：BC，即：x:(8-x)=3:4,解得x=
②当△APD∽△BCP时，则：AP：BC=AD：BP，即：x:4=3:(8-x),解得：x=2或x=6
∴满足条件的点P有3处.
AP=或AP=2或AP=6
F
B
C
A
D
E
图1
C
B
A
C′
B′
A′
C
B
A
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图3
图2
C
B
A
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1
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图5
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图6
C
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图7
A
B
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O
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图8
C
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A
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图9
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图12
C
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图13
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（总课时29）§4.4探索三角形相似的条件 (2)
一.选择题：
1．如图1，点D、E分别是△ABC的边AB，AC上的点，添加下列条件仍不能判断△ADE与△ABC相似的是(C )
A.DE∥BC B.∠ADE=∠ACB C. D.
2．如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB交AB于点D，DE⊥AC交AC于点E，则图中与△ABC相似的三角形有（ D ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3．如图3，在△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（ A ）
A. B. C. D.
4．直线DE与 ABC的AB边相交于点D，与AC边相交于点E，下列条件：①；②；③AE AB=AD AC；④.能使△ADE与△ABC相似的条件有（C）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二.填空题：
5．在 ABC中，AB=6，AC=8，在中，，.若∠A=，则 ABC∽ .
6．如图4，∠D=∠ACB=90°，∠1=∠B，AC=5，AB=6，则AD=__.
7．如图5，点E是四边形ABCD对角线BD上一点，对角线AC与BD相交于点O，且∠BAC=∠BDC=∠DAE.从图中找出2对相似三角形，它们是_△AEB∽△ADC；△ADE∽△ACB.
8．如图6，BD平分∠ABC，AB=4，BC=6，当BD=__时，△ABD∽△DBC.
9．已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为，△A1B1C1∽△A2B2C2，相似比为，则△ABC∽△A2B2C2，其相似比为.
10．（2019·上海） ABC中，AB=10，AC=6，点D在AC上，且AD=3，若要在AB上找一个点E，使 ADE与 ABC相似，则AE=5或．
三.解答题：11.已知矩形ABCD,AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．（1）求证：△OCP∽△PDA；（2）若△OCP与△PDA的相似比为1：2，求边AB的长.
解（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=∠D=90°.由折叠可得：∠APO=∠B=90°∴∠APD=90° ∠CPO=∠POC.∵∠D=∠C，∠APD=∠POC.∴△OCP∽△PDA.
（2）∵△OCP与△PDA的相似比为1：2,∴=.∴DA=2CP.∵AD=8，∴CP=4，BC=8.设OP=x，则OB=x，CO=8 x.在Rt△PCO中，∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8 x，∴x2=(8 x)2+42.解得：x=5.∴AB=AP=2OP=10.∴边AB的长为10.
12．如图，CE，BD是△ABC的高，△AED与△ACB相似吗？为什么？
解：相似.理由如下：∵CE，BD是△ABC的高，∴∠AEC=∠ADB=90°.又∵∠A=∠A，
∴△AEC∽△ADB.∴，即.又∵∠A=∠A，∴△AED∽△ACB.
13.已知：如图所示，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且．求证：．
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝∠D＝90°，∵F是CD中点，
∴DF＝CF＝CD＝AD，∵CE＝BC＝CD，∴CE：DF＝CF：AD＝1：2，∴Rt△CEF∽Rt△DFA，∴∠FAD＝∠EFC，∵∠FAD＋∠DFA＝90°，∴∠EFC＋∠DFA＝90°，∴∠EFA＝90°，∴AF⊥EF；
14.如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC.(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若AD=3，AB=5，求AF：AG的值．
解：(1)证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE=∠AGC=90°.
∵∠EAF=∠GAC，∴∠AED=∠ACB.又∵∠EAD=∠CAB，∴△ADE∽△ABC.
(2)由(1)可知：△ADE∽△ABC.∴AD：AB=AE：AC=3：5.由(1)可知：∠AFE=∠AGC=90°.
又∵∠EAF=∠GAC，∴△EAF∽△CAG，∴AF：AG=AE：AC，∴AF：AG=3：5.
四.提高题：15．如图，已知∠MON=90°，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂足为点B，AB=3厘米，OB=4厘米，动点E，F同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动.设运动时间为t(t>0)秒.(1)当t=1秒时，△EOF与△ABO是否相似？请说明理由；(2)在运动过程中，不论t取何值时，总有EF⊥OA，为什么？
解（1)相似.理由如下：∵t=1，∴EO=1.5厘米，OF=2厘米.∵AB=3厘米，OB=4厘米，∴EO:AB=1:2，OF:BO=1:2.∵AB⊥ON，∴∠EOF=∠ABO=90°，∴△EOF∽△ABO.
(2)在运动过程中，EO=1.5t厘米，OF=2t厘米.∵AB=3厘米，OB=4厘米，
∴EO:AB=OF:BO.又∵∠EOF=∠ABO=90°，∴Rt△EOF∽Rt△ABO，∴∠EFO=∠AOB.
∵∠AOB+∠FOC=90°，∴∠EFO+∠FOC=90°，即∠FCO=90°，
∴EF⊥OA，即不论t取何值，总有EF⊥OA.
图5
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