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（总课时30）§4.4探索三角形相似的条件 （3）
一.选择题：1．已知的三边长分别为，9和，的一边长为5，当的另两边长是下列哪一组数时，这两个三角形相似 A．4，5 B．5，6 C．6，7 D．7，8
2．如图1，在△中，，垂足为，那么下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
3．如图2，将△ABC绕点A旋转任意角度得到△AB′C′，连接BB′、CC′，则BB′：CC′等于（ ）A.AB：AC B.BC：AC C.AB：BC D.AC：AB
4．如图，在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（ ）A. B. C. D.
5．（2019·河南）如图，各正方形的边长均为1，则四个阴影三角形中，一定相似的一对是（ ）
A.①② B.①③ C.②③ D.②④
二.填空题：6．在 ABC中，AB=6，AC=4，E是AB上一点，AE=2，在AC上取一点F，使以点A，E，F为顶点的三角形与 ABC相似，则AF的长为__________.
7．如图5，BD平分∠ABC，AB=4，BC=6，当BD=______时， ABD∽ DBC.
8．如图6，∠1=∠2，补上一个条件_____________，使 ABC∽ ADE.
9.如图7，∠ACB＝90°，CD是Rt△ABC斜边上的高，已知AB＝25cm，BC＝15cm，则BD＝_____．
10.如图8，在菱形ABCD中，AB=3cm，∠A=60°．点E，F分别在边AD，AB上，且DE=1cm．将△AEF沿EF翻折，使点A落在对角线BD上的点A'处，则A′B：A′F=______．
三.解答题：11．如图9，CE与BD交于点A，AC=2，AE=3，AB=4，AD=6，求证： ADE∽ ABC．
12．如图10，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，过A作直线分别交CB，CD于点E，F，且CE=CF.（1）求证：△ACF∽△ABE；
（2）若∠ACD=45°，AE=4，求AF的长．
13．如图11，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF=90，延长EF交BC的延长线于点G.（1）求证：△ABE∽△EGB；（2）若AB=4，求CG的长.
四.提高题：15．如图12，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P由点A出发沿AB方向向终点B以每秒1cm的速度匀速移动，点Q由点B出发沿BC方向向终点C以每秒2cm的速度匀速移动，速度为2cm/s.如果动点P、Q同时从点A，B出发，当点P或点Q到达终点时运动停止.则当运动几秒时，以点Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似？
图5
图6
图2
图1
图3
图4
图\97
图8
图7
图10
图11
图12
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（总课时30）§4.4探索三角形相似的条件 (3)
一.选择题：
1．已知的三边长分别为，9和，的一边长为5，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似 C A．4，5 B．5，6 C．6，7 D．7，8
2．如图1，在△中，，垂足为，那么下列结论错误的是（B ）
A. B. C. D.
3．如图2，将△ABC绕点A旋转任意角度得到△AB′C′，连接BB′、CC′，则BB′：CC′等于（ A ）A.AB：AC B.BC：AC C.AB：BC D.AC：AB
4．如图3，在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（ B ）A. B. C. D.
5．（2019·河南）如图4，各正方形的边长均为1，则四个阴影三角形中，一定相似的一对是（A）
A.①② B.①③ C.②③ D.②④
二.填空题：6．在 ABC中，AB=6，AC=4，E是AB上一点，AE=2，在AC上取一点F，使以点A，E，F为顶点的三角形与 ABC相似，则AF的长为_或
7．如图5，BD平分∠ABC，AB=4，BC=6，当BD=_时， ABD∽ DBC.
8．如图6，∠1=∠2，补上一个条件∠B=∠D或∠C=∠E，使 ABC∽ ADE.
9.如图7，∠ACB＝90°，CD是Rt△ABC斜边上的高，已知AB＝25cm，BC＝15cm，则BD＝9cm．
10.如图8，在菱形ABCD中，AB=3cm，∠A=60°．点E，F分别在边AD，AB上，且DE=1cm．将△AEF沿EF翻折，使点A落在对角线BD上的点A'处，则A′B：A′F=_0.5_．
三.解答题：11．如图9，CE与BD交于点A，AC=2，AE=3，AB=4，AD=6，求证： ADE∽ ABC．
解：∵，，∴，∵∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ABC.
12．（2019·浙江中考模拟）如图10，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，过A作直线分别交CB，CD于点E，F，且CE=CF.（1）求证：△ABE∽△ACF；（2）若∠ACD=45°，AE=4，求AF的长．
解（1）证明：∵CE=CF∴∠CFE=∠CEF∴AFC=∠AEB又∵∠ACB=90，CD⊥AB∴∠ACF=∠B∴△ABE∽△ACF
解：∵∠ACD=45°，∠ACB=90°，CD⊥AB∴∠CAD=45°，∠DCB=∠B=45°∴AC=BC
∴AB=AC由（1）知△ABE∽△ACF∴AF：AE=AC:AB，即AF:4=AC:AC∴AF=2
13.如图11，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF=90，延长EF交BC的延长线于点G.（1）求证：△ABE∽△EGB；（2）若AB=4，求CG的长.
解（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，且∠BEG=90°∴∠A=∠BEG，又∵∠ABE+∠EBG=90°，∠G+∠EBG=90°，∴∠ABE=∠G，∴△ABE∽△EGB.（2）∵AB=AD=4，E为AD的中点，∴AE=DE=2，在Rt△ABE中，，由（1）知，△ABE∽△EGB，∴，即：，∴BG=10.∴CG=BG-BC=10-4=6.
四.提高题：15．如图12，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P由点A出发沿AB方向向终点B以每秒1cm的速度匀速移动，点Q由点B出发沿BC方向向终点C以每秒2cm的速度匀速移动，速度为2cm/s.如果动点P、Q同时从点A，B出发，当点P或点Q到达终点时运动停止.则当运动几秒时，以点Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似？
解：设t(0∵∠B=90°，∴分两种情况讨论：①当△PBQ∽△ABC时，，即，解得t=2.4；
②当△QBP∽△ABC时，，即，解得.
综上所述，当运动2.4秒或秒时，以点Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似.
图5
图6
图2
图1
图4
图3
图9
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图10
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（总课时30）§4.4探索三角形相似的条件 (3）
【学习目标】掌握三角形相似的判定定理3.【学习重难点】掌握判定定理：三边成比例的两个三角形相似．
【导学过程】
一.知识回顾：
1.在△ABC和△DEF中，如果AB＝4，BC＝3，DE＝8，EF＝6，∠B＝∠E，那么这两个三角形________(填“相似”或“不相似”)，理由是__________________．
2.在△ABC和△DEF中，如果∠A＝∠D，∠B＝∠E，那么这两个三角形________(填“相似”或“不相似”)，理由是__________________．
3．判断下列各组图形中的两个三角形是否相似
（1） （2） （3） (4)
二.探究新知：
已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，，求证：△ABC∽△A′B′C′.
测量∠A与∠A′是否相等？换一个图形试试。
定理3：三边 的两个三角形相似.
三.典例与练习：
例1.如图所示，在△ABC和△ADE中，，∠BAD＝20°，求∠CAE的度数．
练习1：如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，求证：△ABC∽△EFD．
例2.如图为三个并列的边长相同的正方形，求证：∠2＋∠3＝45°．
练习2.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若，求的值．
四.课堂小结：1.判断两个三角形相似的方法：①________;②__________;③_________;④__________.
2.灵活运用判定方法，解决与相似有关的综合问题。
五．分层过关：
1．已知△ABC的三边长分别为 ，，2，△A′B′C′的两边长分别是1和，如果△ABC与△A′B′C′相似，那么△A′B′C′的第三边长应该是 ；
2．下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的△ABC相似的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．一个钢筋三角架三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另两边，共有（ ）种不同的截法．A．0种 B．1种 C．2种 D．3种
4.如图，点O是△ABC内任意一点，且，，，
则△ABC∽______，其相似比为______.
5.如图，已知E是△ABC的中线AD上一点，且BD2=ED AD.
求证：△ADC∽△CDE.
6.如图，四边形ABCD中，AB//CD，AD=BC，∠C=∠D，P是CD上一动点，且∠APE=∠D．若AD=4，CD=7．
（1）求证：△ADP∽△PCE；
（2）若点P移到CD的中点时，求证：∠PAE=∠PAD．
7.如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．
（1）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（2）P1，P2，P3，P4，P5，D，F，E是△DEF边上的8个格点，请在这8个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形，不必说明理由)．
思考题：如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，对角线AC,BD交于点O，点E在AB延长线上，联结CE，AF⊥CE，AF别交线段CE,边BC,对角线BD于点F,G,H（点F不与点C,E重合）．
（1）当点F是线段CE的中点，求GF的长；
（2）设BE=x，OH=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）当△BHG是等腰三角形时，求BE的长．
A
B
C
D
E
F
B
D
E
C
A
B
C
E
D
A
1
2
3
A
B
C
A
C
B
C
B
A
B
C
A
A
D
P
C
E
B
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（总课时30）§4.4探索三角形相似的条件 （3）
【学习目标】掌握三角形相似的判定定理3.【学习重难点】掌握判定定理：三边成比例的两个三角形相似．
【导学过程】
一.知识回顾：
1.在△ABC和△DEF中，如果AB＝4，BC＝3，DE＝8，EF＝6，∠B＝∠E，那么这两个三角形相似(填“相似”或“不相似”)，理由是两边成比例夹角相等的两三角形相似．
2.在△ABC和△DEF中，如果∠A＝∠D，∠B＝∠E，那么这两个三角形相似(填“相似”或“不相似”)，理由是两角分别相等的两三角形相似．
3．判断下列各组图形中的两个三角形是否相似
（1）相似 （2）相似 （3）不相似 (4) 不相似
二.探究新知：
已知：如图1，在△ABC和△A′B′C′中，，求证：△ABC∽△A′B′C′.
测量∠A与∠A′是否相等？换一个图形试试。
定理3：三边成比例的两个三角形相似.
三.典例与练习：
例1.如图2所示，在△ABC和△ADE中，，∠BAD＝20°，求∠CAE的度数．
解：∵∴△ABC∽△ADE∴∠BAC=∠EAD,∴∠BAD=∠EAC=20°
练习1：如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，求证：△ABC∽△EFD．
证：∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴2DE=AC，2DF=BC，2EF=AB
∴△ABC∽△EFD（三边成比例的两个三角形相似）
例2.如图4为三个并列的边长相同的正方形，求证：∠2＋∠3＝45°．
证：∵，∴∴△EBD∽△EAB
∴∠3=∠DBE∴∠1=∠2+∠DBE=∠2＋∠3＝45°
练习2.如图5，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若，求的值．
解：(1)∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，∴∠ADF=∠C，∵，∴△ADF∽△ACG．
(2)∵△ADF∽△ACG，∴，又∵，∴=，∴=1．
四.课堂小结：1.判断两个三角形相似的方法：①用定义;②判定定理1;③判定定理2;④判定定理3.
2.灵活运用判定方法，解决与相似有关的综合问题。
五．分层过关：
1．已知△ABC的三边长分别为，，2，△A′B′C′的两边长分别是1和，如果△ABC与△A′B′C′相似，那么△A′B′C′的第三边长应该是；
2．下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的△ABC相似的个数有（ B ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．一个钢筋三角架三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另两边，共有（ C ）种不同的截法．A．0种 B．1种 C．2种 D．3种
4.如图7，点O是△ABC内任意一点，且，，，
则△ABC∽△DEF，其相似比为3：2.
5．如图8，已知E是△ABC的中线AD上一点，且BD2=ED AD.求证：△ADC∽△CDE.
证：∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD,∴CD2=ED AD即：CD:AD=ED:CD
且∠CDE=∠ADC，∴△ADC∽△CDE.
6.如图9，四边形ABCD中，AB//CD，AD=BC，∠C=∠D，P是CD上一动点，且∠APE=∠D．若AD=4，CD=7．（1）求证：△ADP∽△PCE；
（2）若点P移到CD的中点时，求证：∠PAE=∠PAD．
证：（1）∵∠C=∠D=∠APE，∠APC=∠EPC+∠APE=∠DAP+∠D∴∠EPC=∠DAP
∴△ADP∽△PCE
（2）∵△ADP∽△PCE∴AP:PE=DP:CE,∵DP=CP∴AP:PE=CP:CE,∵∠C=∠APE∴△APE∽△PCE
∴∠EPC=∠PAE,∵∠EPC=∠DAP∴∠PAE=∠PAD
7.如图10，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．（1）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（2）P1，P2，P3，P4，P5，D，F，E是△DEF边上的8个格点，请在这8个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形，不必说明理由)．
解：（1）∵DE=，DF=，EF=，
∴AB：DE=AC：DF=BC：EF=：4∴△ABC∽△DEF
（2）△DP2P5，△P5P4F，△DP2P4，△P5P4D，△P4P5P2，△FDP1
思考题：如图11，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，对角线AC,BD交于点O，点E在AB延长线上，联结CE，AF⊥CE，AF别交线段CE,边BC,对角线BD于点F,G,H（点F不与点C,E重合）．
（1）当点F是线段CE的中点，求GF的长；
（2）设BE=x，OH=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）当△BHG是等腰三角形时，求BE的长．
解（1）∵AB=8，BC=6，∴AC=10，∵AF⊥CE，点F是线段CE的中点，∴CF=EF，
易证△ACF≌△AEF，∴AE=AC=10，∴BE=2，由勾股定理得：CE2=BC2+BE2=36+4=40∴CE=
∴CF=∵∠CFG=∠CBE，∠GCF=∠ECB，∴△CGF∽△CEB，∴，∴GF=
（2）如图，作BM⊥AF，ON⊥AF，垂足分别为M，N，∵AF⊥CE，∴ON∥BM∥CE，
EMBED Equation.DSMT4 ，，，，，，，又，，，，
，则．
当△BHG是等腰三角形，
①当时，，，则，，
由，解得；
②当，，同理解得；
③当，得出不存在．所以或．
图1
A
B
C
D
E
图2
F
B
D
E
C
A
图3
B
C
E
D
A
1
2
3
图4
图5
A
B
C
A
C
B
C
B
A
B
C
A
图6
图7
图8
A
D
P
C
E
B
图9
图10
图11
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