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（总课时31）§4.4探索三角形相似的条件（黄金分割） (4)
一.选择题：1.已知，C是线段AB的黄金分割点，AC＜BC，若AB=2，则BC=（A）
A．﹣1 B．（+1） C．3﹣ D．（﹣1）
2.如图1，无法保证△ADE与△ABC相似的条件是（ B ）
A．∠1=∠C B．∠A=∠C C．∠2=∠B D．
3.如图2，平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF∶FC等于（ D ）
A．3∶2 B．3∶1 C．1∶1 D．1∶2
4.已知C是线段AB的一个黄金分割点，则AC∶AB为( D )
A. B. C. D. 或
5.下列说法正确的是( B )A．每条线段有且仅有一个黄金分割点
B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍
C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB·BC D．以上说法都不对
二.填空题：6.如图3，在平行四边形ABCD中，点E是边BC上的黄金分割点，且BE＞CE，AE与BD相交于点F.那么BF∶FD的值为_．
7.P为线段AB＝10cm的黄金分割点，则AP＝6.2或3.8cm
8.节目主持人现站在舞台AB的一端A点，在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处可获得最佳美学效果，若舞台AB长20米，主持人要想站在舞台的黄金分割点处，她应走到距A点至少7.6米处，如果向B点再走4.8米，也处在舞台的黄金分割点处（结果精确到0.1米）
9.如图4，在△ABC中，点D是AB的黄金分割点（AD＞BD），BC＝AD，如果∠ACD＝90°，那么CD：CA＝。
三.解答题：10.如图，矩形ABCD∽矩形ECDF，且AB=BE，求BC与AB的比值．
解：∵矩形ABCD∽矩形ECDF，∴=，即=，∴BC2﹣BC AB﹣CD2=0，
解得，BC=CD，∵BC、CD是正数，∴=．
11.五角星是我们常见的图形，如图是一个标准的正五角星，其中，点C，D分别是线段AB的黄金分割点，AB＝20cm，求EC＋CD的长．2·1·c·n·j·y
解：∵点D为线段AB的黄金分割 ( http: / / www.21cnjy.com )点(AD＞BD)，∴AD＝，AB＝(10－10)cm.∵EC＋CD＝AC＋CD＝AD，∴EC＋CD＝(10－10)cm.
12.要设计一座2m高的维纳斯女神雕像（如图），使雕像的上部AC（肚脐以上）与下部BC（肚脐以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，即点C（肚脐）就叫做线段AB的黄金分割点，这个比值叫做黄金分割比。试求出雕像下部设计的高度以及这个黄金分割比？
解：设维纳斯女神雕像下部的设计高度为xm，那么雕像上部的高度为（2－x）m。依题意，得，解得，（不合题意，舍去）。
经检验是原方程的根。答：维纳斯女神雕像下部的高度为1.236m。
提高题：13.如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点。某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果 ，那么称直线l为该图形的黄金分割线。（1）如图2，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠C的平分线交AB于点D，请问点D是否是AB边上的黄金分割点，并证明你的结论；
（2）若△ABC在（1）的条件下，如图3，请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线，并证明你的结论；
解：（1）点D是AB边上的黄金分割点．理由如下：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°。
∵CD是角平分线，∴∠ACD＝∠BCD＝36°，∴∠A＝∠ACD，∴AD＝CD。∵∠CDB＝180°－∠B－∠BCD＝72°，
∴∠CDB＝∠B，∴BC＝CD。∴BC＝AD。在△BCD与△BCA中，∠B＝∠B，∠BCD＝∠A＝36°，
∴△BCD∽△BCA，∴，∴，∴点D是AB边上的黄金分割点。
（2）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：设△ABC中，AB边上的高为h，则
S△ABC＝AB h，S△ACD＝AD h，S△BCD＝BD h。∴S△ACD：S△ABC＝AD：AB，S△BCD：S△ACD＝BD：AD。
由（1）知，点D是AB边上的黄金分割点，，∴S△ACD：S△ABC＝S△BCD：S△ACD，∴CD是△ABC的黄金分割线。
图1
图2
图3
图4
图5
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（总课时31）§4.4探索三角形相似的条件（黄金分割）（4）
一.选择题：1.已知，C是线段AB的黄金分割点，AC＜BC，若AB=2，则BC=（ ）
A．﹣1 B．（+1） C．3﹣ D．（﹣1）
2.如图，无法保证△ADE与△ABC相似的条件是（ ）
A．∠1=∠C B．∠A=∠C C．∠2=∠B D．
3.如图，平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF∶FC等于（ ）
A．3∶2 B．3∶1 C．1∶1 D．1∶2
4.已知C是线段AB的一个黄金分割点，则AC∶AB为( )
A. B. C. D. 或
5.下列说法正确的是 ( )A．每条线段有且仅有一个黄金分割点
B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍
C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB·BC D．以上说法都不对
二.填空题：6.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC上的黄金分割点，且BE＞CE，AE与BD相交于点F.那么BF∶FD的值为__________．
7.P为线段AB＝10cm的黄金分割点，则AP＝ ____ cm
8.节目主持人现站在舞台AB的一端A点，在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处可获得最佳美学效果，若舞台AB长20米，主持人要想站在舞台的黄金分割点处，她应走到距A点至少 米处，如果向B点再走 米，也处在舞台的黄金分割点处（结果精确到0.1米）
9.如图，在△ABC中，点D是AB的黄金分割点（AD＞BD），BC＝AD，如果∠ACD＝90°， 那么CD：CA＝ 。
三.解答题：10.如图，矩形ABCD∽矩形ECDF，且AB=BE，求BC与AB的比值．
11.五角星是我们常见的图形，如图是一个标准的正五角星，其中，点C，D分别是线段AB的黄金分割点，AB＝20cm，求EC＋CD的长．2·1·c·n·j·y
12.要设计一座2m高的维纳斯女神雕像（如图），使雕像的上部AC（肚脐以上）与下部BC（肚脐以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，即点C（肚脐）就叫做线段AB的黄金分割点，这个比值叫做黄金分割比。试求出雕像下部设计的高度以及这个黄金分割比？
提高题：13.如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点。某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线。（1）如图2，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠C的平分线交AB于点D，请问点D是否是AB边上的黄金分割点，并证明你的结论；
（2）若△ABC在（1）的条件下，如图3，请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线，并证明你的结论；
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（总课时31）§4.4探索三角形相似的条件（黄金分割）（4）
【学习目标】了解黄金分割的定义；能找一条线段的黄金分割点；【学习重难点】实际问题中的运用．
【导学过程】
一.知识回顾：
1.若，则 ．2.四条线段a，b，c，d是成比例线段，其中a=4，c=6，d=3，则b= ．
3.一元二次方程的解为 ．4.若c是a、b的比例中项，则c2=______.
二.探究新知
引例：如图，△ABC，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，交AC于点D．
（1）求证：AD=BD=BC；（2）求证：AD2=CD CA；（3）若AB=1，求AD的长．
定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
（1）黄金分割的定义：如图所示，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果_____________，那么称线段AB被点___黄金分割．
（2）黄金分割点：点___叫做线段AB的黄金分割点．一条线段有__个黄金分割点．
（3）黄金比：_______与________的比叫做黄金比，比值约为________．
（4）根据比例的基本性质，可将变形为 ．
三.典例与练习：
例1.若点C是线段AB的黄金分割点，AB=8cm，AC＞BC，则AC的长为（ ）
A. B. C. D.
练习1.如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示PA为一边的正方形
的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，则S1______S2．（填“>”“=”或“<”）
例2.古希腊人对黄金分割非常崇拜，很多的建筑都能体现黄金分割，例如巴台农神庙，整个神庙气
势宏伟，各部分比例匀称，体现了和谐之美．如果把图中用虚线表示的矩形画成矩形ABCD，并以矩形ABCD的宽为边在内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现，想一想：点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？
练习2.已知线段AB，如何作出它的黄金分割点？
（1）已知线段AB，按照如下方法完成作图：①经过点B作BD⊥AB，使BD＝AB；
②连接AD，在AD上截取DE＝DB；③在AB上截取AC＝AE．我们作出了点C，
（2）根据上述作图回答下列问题：①如果设AB＝2，那么BD＝____，AD＝____，AC＝____；②＝______．
（3）点C是线段AB的黄金分割点吗？
四.课堂小结：1.了解黄金三角形和黄金四边形；
2.若点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则：AC=AB , BC=AB
五.分层过关：
1.小明同学发现自己的一本书的宽与长的比为黄金比。已知这本书的长为20厘米，则它的宽约为（ ）。
A 12.36厘米 B 13.6厘米 C 32.36厘米 D 7.64厘米
2．已知点M将线段AB黄金分割(AM＞BM)，则下列各式中不正确的是( )
A．AM∶BM=AB∶AM B．AM=AB C．BM=AB D．AM≈0．618AB
3.在△ABC中，∠B=∠C=36°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点H，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点G，连接AD，AE，则下列结论错误的是（ ）
A． B.AD,AE将∠BAC三等分 C.△ABE≌△ACD D.
4.在长度为１的线段上找到两个黄金分割点Ｐ，Ｑ．则ＰＱ＝（ ）A. B. C. D.
5.如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接BE，在DA的延长线上取点F，使EF＝EB．以AF为边作正方形AFGH，点H在AB上．
（1）求AH，BH的长；（2）求证：AH 2＝AB·BH；
（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？H点是黄金分割点。
6.在矩形ABCD中，，将其沿对角线折叠，顶点的对应点C′，BC′交于点如图1，再折叠，使点落在处，折痕交C′D于M，交于，交于，得到图2，求折痕的长.
思考题：美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感。某女士身高165厘米，下半身长x与身高L的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为多少厘米.
B
A
D
C
A
C
B
A
B
P
E
F
A
D
C
B
A
B
D
A
B
H
C
D
F
G
E
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（总课时31）§4.4探索三角形相似的条件（黄金分割）（4）
【学习目标】了解黄金分割的定义；能找一条线段的黄金分割点；
【学习重难点】黄金分割在实际问题中的运用．
【导学过程】
一.知识回顾：
1.若，则．2.四条线段a，b，c，d是成比例线段，其中a=4，c=6，d=3，则b=2．
3.一元二次方程的解为．4.若c是a、b的比例中项，则c2=ab.
二.探究新知：引例：如图1，△ABC，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，交AC于点D．
（1）求证：AD=BD=BC；
（2）求证：AD2=CD CA；
（3）若AB=1，求AD的长．
证：（1）∵AB=AC，∠A=36°∴∠C=∠ABC=72°,∵BD是角平分线，∴∠ABD=∠CBD=36°=∠A∴AD=BD
∠BDC=72°∴BD=BC; (2)由（1）得：△ABC∽△BDC,∴AB:BD=BC:CD∴BD BC=AB CD,∵BD=BC=AD,AB=AC
∴AD2=CD CA; (3)当AB=1时,AD=1-CD即：CD=1-AD，设AD=x,则有x2=1-x,解得：=AD
定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
（1）黄金分割的定义：如图2，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果__，那么称线段AB被点C黄金分割．
（2）黄金分割点：点C叫做线段AB的黄金分割点．一条线段有两个黄金分割点．
（3）黄金比：AC与AB的比叫做黄金比，比值约为0.618．
（4）根据比例的基本性质，可将变形为AC2=AB BC．
三.典例与练习：例1.若点C是线段AB的黄金分割点，AB=8cm，AC＞BC，则AC的长为（ C ）
A． B． C． D．
练习1.如图3，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示PA为一边的正方形
的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，则S1=S2．（填“>”“=”或“<”）
例2.古希腊人对黄金分割非常崇拜，很多的建筑都能体现黄金分割，例如巴台农神庙，整个神庙气
势宏伟，各部分比例匀称，体现了和谐之美．如果把图4中用虚线表示的矩形画成矩形ABCD，并以矩形ABCD的宽为边在内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现，想一想：点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？
答：点E是AB的黄金分割点，矩形ABCD的宽与长的比是黄金比
称为：黄金四边形.
练习2.已知线段AB，如何作出它的黄金分割点？
（1）已知线段AB，按照如下方法完成作图：①经过点B作BD⊥AB，使BD＝AB；
②连接AD，在AD上截取DE＝DB；③在AB上截取AC＝AE．我们作出了点C，
（2）根据上述作图回答下列问题：①如果设AB＝2，那么BD＝1，AD＝，AC＝；②＝．
（3）点C是线段AB的黄金分割点吗？答：点C是线段AB的黄金分割点.理由如下：
∵BD＝AB∴AD=AB，AC=AE＝(）AB，∴AC：AB=
四.课堂小结：1.了解黄金三角形和黄金四边形；
2.若点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则：AC=AB , BC=AB
五.分层过关：
1.小明同学发现自己的一本书的宽与长的比为黄金比。已知这本书的长为20厘米，则它的宽约为（A）。
A 12.36厘米 B 13.6厘米 C 32.36厘米 D 7.64厘米
2．已知点M将线段AB黄金分割(AM＞BM)，则下列各式中不正确的是(C)
A．AM∶BM=AB∶AM B．AM=AB C．BM=AB D．AM≈0．618AB
3.在△ABC中，∠B=∠C=36°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点H，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点G，连接AD，AE，则下列结论错误的是（A）
A． B．AD，AE将∠BAC三等分 C．△ABE≌△ACD D．
4.在长度为１的线段上找到两个黄金分割点Ｐ，Ｑ．则ＰＱ＝（C）A. B. C. D.
5.如图6，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接BE，在DA的延长线上取点F，使EF＝EB．以AF为边作正方形AFGH，点H在AB上．（1）求AH，BH的长；（2）求证：AH2＝AB·BH；
（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？
解：（1）∵AB=2,AE=1∴BE==EF,AF=-1∴AH=AF=-1
BH=AB-AH=2-+1=3-
(2)∵AH2=6-2,AB BH=2(3-)=6-2∴AH2＝AB·BH.
(3)H点是黄金分割点.
6.在矩形ABCD中，，将其沿对角线折叠，顶点的对应点C′，BC′交于点如图7.1，再折叠，使点落在处，折痕交C′D于M，交于，交于，得到图7.2，求折痕的长.
解：由折叠得△ABE≌△C′DE,BE=DE,设AE=x，在Rt△ABE中，由
勾股定理得：x=;易证△ABE∽△FDM,∴MF=
∴MN=MF+FN=+1.5=
思考题：美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感。某女士身高165厘米，下半身长x与身高L的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为多少厘米.
解：由题知：下半身长是165×0.60=99厘米，
设需要穿的高跟鞋是y厘米，则由黄金分割的意义得：
,解得：y≈7.8厘米
答：她应穿的高跟鞋的高度大约为7.8厘米.
B
A
D
C
图1
图2
A
C
B
A
B
P
图3
E
F
A
D
C
B
图4
图5
A
B
D
A
B
H
C
D
F
G
E
图6
图7
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