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（总课时32）§4.5相似三角形判定定理的证明
【学习目标】会证明相似三角形判定定理;【学习重难点】证明相似三角形判定定理
【导学过程】一.知识回顾:
相似三角形的判定定理有:①______________②________________③__________________.
二.探究新知：
探究1：两角分别相等的两个三角形相似.
已知：如图∠A=∠A′，∠B=∠B′，求证：△ABC∽△A′B′C′..
证明：
练习1.已知：如图,∠ABD=∠C，AD=2,AC=8，求AB.
三.典例与练习：例1：求证：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
已知：如图，在△ABC和△A′B′C′. 中，∠A =∠A ，.求证:△ABC∽△A′B′C′..
证明：
练习2已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=7.5，求AD的长.
例2：三边成比例的两个三角形相似.
已知:如图,在△ABC和△A′B′C′. 中,.求证：△ABC ∽△A′B′C′..
练习3如图6，□ABCD，点F在BA的延长线上连结CF交AD于点E.
（1）求证：△CDE∽△FAE；
（2）当E是AD的中点，且BC=2CD时，求证：∠F=∠BCF.
四.课堂小结：1.相似三角形判定方法：①_______②_________③____________④___________.
2.灵活运用定理解决综合问题.
五.分层过关：
1．下列说法正确的是（ ）
A．相似三角形一定全等 B．不相似的三角形不一定全等
C．全等三角形不一定是相似三角形 D．全等三角形一定是相似三角形
2．如图，△ABC经平移得到△DEF，AC、DE交于点G，则图中共有相似三角形（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
3.如图：在△ABC和△DCE是全等的三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点F是ED的中点，点P是线段AB上动点，则线段PF最小时的长度________________．
4．在△ABC中，∠ACB=90°，AC>BC，O是边AB的中点，过点O的直线国L将△ABC分割成两个部分，若其中的一个部分与△ABC相似，则满足条件的直线L共有____________条
5.如图，在△ABC中，已知DE∥BC，AD＝4，DB＝8，DE＝3.
(1)求的值；(2)求BC的长．
思考题：如图，正方形ABCD的边长为8，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F．（1）请判断△PFA与△ABE是否相似，并说明理由；
（2）当点P在射线AD上运动时，设PA＝x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．
探究1
练习1
例1
练习2
例2
练习3
图10
第5题
第3题
第2题
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（总课时32）§4.5相似三角形判定定理的证明
【学习目标】会证明相似三角形判定定理;【学习重难点】证明相似三角形判定定理
【导学过程】一.知识回顾:
相似三角形的判定定理有:①两角相等②两边成比例，夹角相等③三边成比例.
二.探究新知：
探究1：两角分别相等的两个三角形相似.
已知：如图1，∠A=∠A′，∠B=∠B′，求证：△ABC∽△A′B′C′
证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′，过点D作DE∥BC，交AC于点E，则∠ADE=∠B， 过点D作AC的平行线，交BC于点F,则 ,∴四边形DFCE是平行四边形.∴DE=CF. ,∴ ∴△ADE∽△ABC.∵△ADE≌△A′B′C′∴△ABC∽△A′B′C′.
练习1.已知：如图2,∠ABD=∠C，AD=2,AC=8，求AB.解：∵∠A=∠A,∠ABD=∠C,
∴△ABD∽△ACB,∴AB2=AD·AC.∵AD=2,AC=8,∴AB=4.
三.典例与练习：例1：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
已知：如图3，在△ABC和△A′B′C′ 中，∠A=∠A，.求证:△ABC∽△A′B′C′.
证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′，
过点D作BC的平行线，交AC于点E，则∠ADE=∠B,
∠AED=∠C,∴△ABC∽△ADE.∵△ADE≌△A′B′C′.
∴△ABC∽△A′B′C′。
练习2已知：如图4，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=7.5，求AD的长.
解：∵AB=6,BC=4,AC=5,CD=7.5∴.又∠B=∠ACD,
∴△ABC∽△DCA,∴,∴.
例2：三边成比例的两个三角形相似.
已知:如图5,在△ABC和△A′B′C′ 中,.求证：△ABC∽△A′B′C′.
证明:在△ABC的边AB,AC(或它们的延长线) 上分别截
取,,连接DE.
∵∴而
∴△ABC∽△ADE,∴∵△ADE≌△A′B′C′.∴△ABC∽△A′B′C′.
练习3.如图6，□ABCD，点F在BA的延长线上连结CF交AD于点E.
（1）求证：△CDE∽△FAE；（2）当E是AD的中点，且BC=2CD时，求证：∠F=∠BCF.
证：(1)∵AF∥DC,∴∠D=∠FAE,∵∠AEF=∠DEC∴△CDE∽△FAE.(2)∵DE=FE∴AB=DC=AF∴BF=2AB=2DC=BC∴∠F=∠BCF
四.课堂小结：1.相似三角形判定方法：①用定义;②判定定理1;③判定定理2;④判定定理3.
2.灵活运用定理解决综合问题.
五.分层过关：
1．下列说法正确的是（ D ）
A．相似三角形一定全等 B．不相似的三角形不一定全等
C．全等三角形不一定是相似三角形 D．全等三角形一定是相似三角形
2．如图7，△ABC经平移得到△DEF，AC、DE交于点G，则图中共有相似三角形（ D ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
3.如图8：在△ABC和△DCE是全等的三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点F是ED的中点，点P是线段AB上动点，则线段PF最小时的长度_6.2__．
4．）在△ABC中，∠ACB=90°，AC>BC，O是边AB的中点，过点O的直线国L将△ABC分割成两个部分，若其中的一个部分与△ABC相似，则满足条件的直线L共有__3__条
5.如图9，在△ABC中，已知DE∥BC，AD＝4，DB＝8，DE＝3.
(1)求的值；(2)求BC的长．解：(1)∵AD=4,DB=8,∴AB=AD+DB=12
(2)DE∥BC，△ADE∽△ABC∵DE=3∴BC=9
思考题:如图10.1，正方形ABCD的边长为8，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F．（1）请判断△PFA与△ABE是否相似，并说明理由；（2）当点P在射线AD上运动时，设PA＝x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．解(1)证明：∵AD∥BC,∴∠PAF=∠AEB.∵∠PFA=∠ABE=90°，∴△PFA∽△ABE.(2)若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB.如图（1），连接PE,DE,∴PE∥AB.∴四边形ABEP为矩形.∴PA=EB=2，即x=2.
如图（2），延长AD至点P，作PF⊥AE于点F,连接PE,若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB.∵∠PAF=∠AEB，∴∠PEF=∠PAF,∴PE=PA.∵PF⊥AE，∴点F为AE的中点.∵AE= ，∴EF= AE= .
∵，∴PE=5，即x=5.∴满足条件的x的值为2或5.
图1
图2
图3
图4
图5
图6
图9
图10（1）
图10（2）
图10
图8
图7
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（总课时32）§4.5相似三角形判定定理的证明
一.选择题：1.下列命题正确的个数有（ A ）
①两边成比例且有一角对应相等的两个三角形相似；②对角线相等的四边形是矩形；
③任意四边形的中点四边形是平行四边形；④两个相似多边形的面积比为2：3，则周长比为4：9．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高线，若BD=2，BC=6，则AB=（ C ）
A. B. C. D.
3.如图1在△ABC中，DE∥BC，AE:EC=2:3，DE=4，则BC等于（ A ） A.10 B.8 C.9 D.6
4．下列条件中可以判定△ABC∽△A＇B＇C＇的是（ C ）
A. B.,∠B=∠B＇ C.,∠A=∠A＇ D.
5．如图2，在△ABC中，∠A＝75°，AB＝6，AC＝8，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ D ）
A． B． C． D．
二.填空题：6.如图3，E为□ABCD的DC边延长线上一点，连AE，交BC于点F，则图中与△ABF相似的三角形共有_2_个．
7.如图4，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，若AD=2，BD=4，则CD为_．
8．如图5，点P在△ABC的边AC上，请你添加一个条件:∠C=∠ABP，使得△APB∽△ABC.
9.△ABC中，AB=10，AC=6，点D在AC上，且AD=3，若要在AB上找一个点E，使△ADE与△ABC相似，则AE=5或．
10.如图6，△ADE和△ABC中，∠1=∠2，请添加一个适当的条件∠B=∠D，使△ADE∽△ABC（填一个）．
三.解答题：11.如图7，已知AD AC＝AB AE．求证：△ADE∽△ABC．
证明：∵AD AC＝AE AB，∴＝，在△ABC与△ADE中∵＝，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE
12.已知，在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△A′B′C′的两边长分别为1，1.5，要使△ABC∽△A′B′C′，求△A′B′C′中的第三边长．
解：由题可以看出，△A′B′C′的两边分别为△ABC的两边长的一半，因此要使△ABC∽△A′B′C′需两三角形各边对应成比例，则第三边长就为4的一半即2．
13．如图8，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC.(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若AD=3，AB=5，求的值．
解：(1)证明：∵，∴.∵，∴.
又∵，∴.(2)由(1)可知：.∴.
由(1)可知：.又∵，∴，
∴，∴.
四.提高题：14．如图9，已知AB⊥BD，CD⊥BD.
（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在点P，使以P，A，B三点为顶点的三角形与以P，C，D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；
（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在几个点使以P，A，B三点为顶点的三角形与以P，C，D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长.
解：（1)存在1个P点.
设，则.∵，，∴.
当时，，即.整理，得，
∵，∴此方程没有实数解；
②当时，，即，解得.
综上所述，BP的长为；
(2)存在2个点P.设，则.∵，，∴.
①当时，，即，解得；
②当时，即，即，解得.
综上所述，的长为6或.
图1
图6
图5
图4
图3
图2
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（总课时32）§4.5相似三角形判定定理的证明
一.选择题：1.下列命题正确的个数有（ ）
①两边成比例且有一角对应相等的两个三角形相似；②对角线相等的四边形是矩形；
③任意四边形的中点四边形是平行四边形；④两个相似多边形的面积比为2：3，则周长比为4：9．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高线，若BD=2，BC=6，则AB=（ ）
A. B. C. D.
3.如图1在△ABC中，DE∥BC，AE:EC=2:3，DE=4，则BC等于（ ） A.10 B.8 C.9 D.6
4．下列条件中可以判定△ABC∽△A＇B＇C＇的是（ ）
A. B.,∠B=∠B＇ C.,∠A=∠A＇ D.
5．（2019·沈阳市）如图2，在△ABC中，∠A＝75°，AB＝6，AC＝8，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B． C． D．
二.填空题：6.（2018·江苏中考模拟）如图3，E为□ABCD的DC边延长线上一点，连AE，交BC于点F，则图中与△ABF相似的三角形共有_____个．
7.如图4，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，若AD=2，BD=4，则CD为________．
8.如图5，点P在△ABC的边AC上，请你添加一个条件:____________，使得△APB∽△ABC.
9.△ABC中，AB=10，AC=6，点D在AC上，且AD=3，若要在AB上找一个点E，使△ADE与△ABC相似，则AE=_______．
10.如图6，△ADE和△ABC中，∠1=∠2，请添加一个适当的条件____，使△ADE∽△ABC（填一个）．
三.解答题：11.如图7，已知AD AC＝AB AE．求证：△ADE∽△ABC．
12.已知，在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△A′B′C′的两边长分别为1，1.5，要使△ABC∽△A′B′C′，求△A′B′C′中的第三边长．
13．）如图8，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，于点G，于点F，.
(1)求证：；(2)若，求的值．
四.提高题：14．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD.
（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在点P，使以P，A，B三点为顶点的三角形与以P，C，D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；
（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在几个点使以P，A，B三点为顶点的三角形与以P，C，D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长.
图1
图6
图5
图4
图3
图2
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