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（总课时34）§4.7相似三角形的性质 (1)
一.选择题：1如图1，已知△ADE∽△ACB，若AB=10，AC=8，AD=4，则AE的长是（ ）
A．4 B．5 C．20 D．3.2
2.如图2，在△ACB中，点D是边AC上的一点，∠ABC=∠BDC，AD=2，CD=3，则边BC的长为( )
A． B． C． D．
3.如图3，在矩形ABCD中，点E.F分别在边AD.DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，则EF的长是（ ）A．4 B．5 C． D．
4.如图4，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AD平分∠BAC交于点D，则CD的长为（ ）A. B. C. D.
5.如图5所示,已知△ABC和△DCE均是等边三角形,点B．C．E在同一条直线上,AE与BD交于点O,AE与CD交于点G,AC与BD交于点F,连接OC.FG,则下列结论中：①AE=BD;②AG=BF;③FG∥BE；④∠BOC=∠EOC，正确的有（ ）个A.1 B.2 C.3 D.4
二.填空题：6.两个相似三角形的的相似比为，且已知这两个三角形的某对对应边上的高相差为4，则这两条高中较短的长度为_________
7．如图6，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上的一点，CD⊥AB于D，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为____.
8．如图7是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5:1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压_____cm.
9．如图8，两根竖直的电线杆AB长为12，CD长为4，AD交BC于点E，则点E到地面的距离EF的长是__________．
10．如图9，在△ABC中，∠ABC=90，AB=5，直线与之间距离是3，与之间距离是6，且分别经过点A，B，C，则边AC的长为_____________
三.解答题：11.已知，如图所示，∠BCA=∠EDA.
求证：（1）△ABC∽△ADE （2）DF·EF=FC·FB
12．有一块锐角三角形卡纸余料ABC，它的边BC=120cm，高AD=80cm，为使卡纸余料得到充分利用，现把它裁剪成一个邻边之比为2：5的矩形纸片EFGH和正方形纸片PMNQ，裁剪时，矩形纸片的较长边在BC上，正方形纸片一边在矩形纸片的较长边EH上，其余顶点均分别在AB，AC上，具体裁剪方式如图所示。
（1）求矩形纸片较长边EH的长；
（2）裁剪正方形纸片时，小聪同学是按以下方法进行裁剪的：先沿着剩余料中与边EH平行的中位线剪一刀，再沿过该中位线两端点向边EH所作的垂线剪两刀，请你通过计算，判断小聪的剪法是否正确.
四.提高题：13.如图,△ABC中,AB=AC=10厘米,BC=12厘米,D是BC的中点,点P从B出发,以a厘米/秒(a>0)的速度沿BA匀速向点A运动，点Q同时以1厘米/秒的速度从D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设它们的运动时间为t秒。
(1)若a=，t=2,求证：△ABC∽△PBQ（2）若a=2，那么t为何值时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似 说明理由。
图5
图1
图2
图3
图4
图9
图8
图7
图6
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（总课时34）§4.7相似三角形的性质 (1)
【学习目标】理解相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比，
【学习重难点】相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比．
【导学过程】
一.复习回顾
相似三角形的对应角____，对应边_____．
引例：如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为（ ）
A．105° B．115° C．125° D．135°
二.探究新知：
【探究】 ABC和是两个相似三角形，相似比为k，其中AD、分别为BC、边上的高，那么：_____，______.____
【猜想】相似三角形对应高的比等于k．
【猜想】相似三角形对应中线、对应角平分线的比等于相似比吗？（类比证明）
【结论】相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于__________．
三.典例与练习：
例1.如图：AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E
当时，求DE的长；当呢？
练习1.若 ABC∽ A1B1C1，且对应高的比为3：2，BE、B1E1分别是它们对应边上的中线，且BE=6，则B1E1=__．
例2.已知： ABC∽ A B C ，相似比为k,点D在BC边上，点D 在B C 边上，若∠BAD=，∠B A D =,则___.
练习：2.如图，四边形EFGD是 ABC的内接矩形，已知AH长8，BC=10，设DG=x,DE=y，
那么y与x的函数关系式是（ ）A． B． C. D.
四.课堂小结：1.相似三角形的性质：①对应角_____，②对应边______，
③对应高的比=________，④对应角平分线的比=_______，⑤对应中线的比=_______。
五.分层过关：1．如果两个三角形相似，相似比为，那么对应角的角平分线的比等于________.
2．若∽，且，，则= ．
3.若△ABC～△DEF，相似比为9：4，则△ABC与△DEF对应中线的比为（ ）
A.9：4 B.4：9 C.81：16 D.3：2
4.如图，点D在△ABC的边AC上，若CD = 2，AC = 6，且△CDB∽△CBA，求BC的值.
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，过A作直线分别交CB，CD于点E，F，且CE=CF.（1）求证：△ACF∽△ABE；（2）若∠ACD=45°，AE=4，求AF的长．
思考题：锐角ΔABC中，BC=6，SΔABC=12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与ΔABC公共部分的面积为y(y>0)．(1)ΔABC中边BC上高AD=______.(2)当x=______时，PQ恰好落在边BC上(如图1).
(3)当PQ在ΔABC外部时(如图2)，求y关于x的函数关系式.(注明x的取值范围)
先用刻度尺量一量
已知： ABC∽ A′B′C′，相似比为k，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′
求证：AD:A′D′=k,
证明：∵ ABC∽ A′B′C′，∴∠B=∠B′∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′∴∠ADB=∠A′D′B′=90°∴ ABD∽ A′B′D′，
∴AD:A′D′=AB:A′B′=k.
A
C
B
S
R
E
D
H
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（总课时34）§4.7相似三角形的性质 (1)
【学习目标】理解相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比，
【学习重难点】相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比．
【导学过程】
一.复习回顾：
相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
引例：如图1，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为（ D ）
A．105° B．115° C．125° D．135°
二.探究新知：
【探究】 ABC和 A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中AD、A′D′分别为BC、边上的高，那么：_____，______，._____
【猜想】相似三角形对应高的比等于k．
【猜想】相似三角形对应中线、对应角平分线的比等于相似比吗？（类比证明）
【结论】相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比.
三.典例与练习：
例1.如图3：AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E
当时，求DE的长；当呢？
解：∵AD⊥BC，SR⊥AD∴SR∥BC∴△ASR∽△ABC∴AE：AD=SR：BC=1：2∴DE=AE=h
同理得：当时，DE=h.
练习1.若 ABC∽ A1B1C1，且对应高的比为3：2，BE、B1E1分别是它们对应边上的中线，且BE=6，则B1E1=4．
例2.已知： ABC∽ A B C ，相似比为k,点D在BC边上，点D 在B C 边上，若∠BAD=，∠B A D =,则k.
练习：2.如图，四边形EFGD是 ABC的内接矩形，已知AH=8，BC=10，设DG=x,DE=y，
那么y与x的函数关系式是（C）A． B． C. D.
四.课堂小结：1.相似三角形的性质：①对应角相等，②对应边成比例，
③对应高的比=相似比，
④对应角平分线的比=相似比，⑤对应中线的比=相似比。
五.分层过关：1．如果两个三角形相似，相似比为3:5，那么对应角的角平分线的比等于3:5.
2．若△ADE∽△ACB，且，，则= 15 ．
3.（2019·四川初三月考）若△ABC∽△DEF，相似比为9：4，则△ABC与△DEF对应中线的比为（A）
A.9：4 B.4：9 C.81：16 D.3：2
4.如图6，点D在△ABC的边AC上，若CD = 2，AC = 6，且△CDB∽△CBA，求BC的值.
解：∵△CDB∽△CBA，∴，即，得.又∵，∴.
5.（2019·浙江中考模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，过A作直线分别交CB，CD于点E，F，且CE=CF.（1）求证：△ACF∽△ABE；（2）若∠ACD=45°，AE=4，求AF的长．
（1）证明：∵CE=CF∴∠CFE=∠CEF∴∠AFC=∠AEB又∵∠ACB=90°,CD⊥AB∴∠ACF+∠DCB=90°,∠DCB+∠B=90°∴∠ACF=∠B∴△ACF∽△ABE.
（2）解：∵∠ACD=45,∠ACB=90,CD⊥AB∴∠CAD=45,∠DCB=∠B=45∴AC=BC∴AB=AC由（1）知△ACF∽△ABE，即
思考题：（2019·无锡市）锐角ΔABC中，BC=6，SΔABC=12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与ΔABC公共部分的面积为y(y>0)．(1)ΔABC中边BC上高AD=_4_.(2)当x=_2.4_时，PQ恰好落在边BC上(如图1).
(3)当PQ在ΔABC外部时(如图2)，求y关于x的函数关系式.(注明x的取值范围)
解:（1）∵S△ABC＝12，∴BC AD＝12，又BC＝6，∴AD＝4；
（2）设AD与MN相交于点H，∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴，即，解得，x＝∴当x＝2.4时正方形MPQN的边P恰好落在BC边上；
（3）设MP,NQ分别与BC相交于点E.F，当PQ在△ABC的外部时，
x的取值为2.4＜x≤6.设HD＝a，则AH＝4 a，
由，得，解得，a＝ x＋4，
∵矩形MEFN的面积＝MN×HD，
∴y＝x（ x＋4）＝ x2＋4x（2.4＜x≤6）．
图1
图2
先用刻度尺量一量
已知： ABC∽ A′B′C′，相似比为k，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′
求证：AD:A′D′=k,
证明：∵ ABC∽ A′B′C′，∴∠B=∠B′∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′∴∠ADB=∠A′D′B′=90°∴ ABD∽ A′B′D′，
∴AD:A′D′=AB:A′B′=k.
A
C
B
S
R
E
D
图3
图5
图4
图6
图7
H
图8
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（总课时34）§4.7相似三角形的性质 (1)
一.选择题：1如图1，已知△ADE∽△ACB，若AB=10，AC=8，AD=4，则AE的长是（ B ）
A．4 B．5 C．20 D．3.2
2.如图2，在△ACB中，点D是边AC上的一点，∠ABC=∠BDC，AD=2，CD=3，则边BC的长为( C )
A． B． C． D．
3.如图3，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，则EF的长是（ C ）A．4 B．5 C． D．
4.如图4，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AD平分∠BAC交于点D，则CD的长为（ C ）
A. B. C. D.
5.如图5所示,已知△ABC和△DCE均是等边三角形,点B．C．E在同一条直线上,AE与BD交于点O,AE与CD交于点G,AC与BD交于点F,连接OC.FG,则下列结论中：①AE=BD;②AG=BF;③FG∥BE；④∠BOC=∠EOC，正确的有（ D ）个A.1 B.2 C.3 D.4
二.填空题：6.两个相似三角形的的相似比为2：3，且已知这两个三角形的某对对应边上的高相差为4，则这两条高中较短的长度为__8__
7．如图6，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上的一点，CD⊥AB于D，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为_4_.
8．如图7是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5:1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压_50_cm.
9．如图8，两根竖直的电线杆AB长为12，CD长为4，AD交BC于点E，则点E到地面的距离EF的长是_3__．
10．如图9，在△ABC中，∠ABC=90，AB=5，直线与之间距离是3，与之间距离是6，且分别经过点A，B，C，则边AC的长为____
三.解答题：11.已知，如图所示，∠BCA=∠EDA.
求证：（1）△ABC∽△ADE （2）DF·EF=FC·FB
解:(1)∵∠BCA=∠EDA,∠BAE=∠BAE,∴△ABC∽△ADE
(2)∵△ABC∽△ADE∴∠B=∠E,∵∠DFB=∠CFE,∴△DFB∽△CFE,∴DF EF=FC FB
12．有一块锐角三角形卡纸余料ABC，它的边BC=120cm，高AD=80cm，为使卡纸余料得到充分利用，现把它裁剪成一个邻边之比为2：5的矩形纸片EFGH和正方形纸片PMNQ，裁剪时，矩形纸片的较长边在BC上，正方形纸片一边在矩形纸片的较长边EH上，其余顶点均分别在AB，AC上，具体裁剪方式如图所示.
（1）求矩形纸片较长边EH的长；
（2）裁剪正方形纸片时，小聪同学是按以下方法进行裁剪的：先沿着剩余料中与边EH平行的中位线剪一刀，再沿过该中位线两端点向边EH所作的垂线剪两刀，请你通过计算，判断小聪的剪法是否正确.
解：（1）记AD与PQ，EH的交点分别为点K，R.设cm，cm，由矩形
的性质，得，易证，∴，即，解得
，（cm），∴矩形纸片较长边EH的长为75cm.
（2）小聪的剪法不正确.理由如下：设正方形的边长为acm；，，由题意易得，，∴，即，解得.
与边EH平行的中位线的长为（cm），∵，∴小聪的剪法不正确.
四.提高题：13.如图,△ABC中,AB=AC=10厘米,BC=12厘米,D是BC的中点,点P从B出发,以a厘米/秒(a>0)的速度沿BA匀速向点A运动，点Q同时以1厘米/秒的速度从D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设它们的运动时间为t秒。
(1)若a=，t=2,求证：△ABC∽△PBQ（2）若a=2，那么t为何值时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似 说明理由。解：（1）当t=2时，BP=；BQ=∴=又∵∠B=∠B∴△ABC∽△PBQ
(2)当a=2时，BP=2t，DQ=t∵D是BC中点，BC=12∴BD=DC=6∴BQ=6-t当△BPQ∽△BDA时，
则有：∵BP=2t，BD=6,BQ=6-t,BA=10∴解得当△BQP∽△BDA时，则有∵BP=2t，BD=6,BQ=6-t,BA=10∴解得∴当a=2时，s或s时，△BQP∽△BDA相似
图1
图2
图3
图4
图5
图9
图8
图7
图6
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