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（总课时35）§4.7相似三角形的性质 (2)
一.选择题：1.已知两个相似三角形的相似比为4：9，则它们周长的比为（ B ）
A.2：3 B.4：9 C.3：2 D.16：81
2.若两个三角形的面积比是1:9，则它们对应边的中线之比为（ C ）
A.1:9 B.3:1 C.1:3 D.9:1
3．如图1，在中，，，则的值是（ A ）
A． B．1 C． D．
4．如图2，将△ABC的高AD四等分，过每一个分点作底边的平行线，把三角形的面积分成四部分S1、S2、S3、S4，则S1：S2：S3：S4等于（C）A.1：2：3：4 B.2：3：4：5 C.1：3：5：7 D.3：5：7：9
5.如图3，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点O，且AO=BO=4，CO=8，∠ADB=2∠ACB，则四边形ABCD的面积为（ B ）A.48 B.42 C.36 D.32
二.填空题：6.若 ___
7．如图4，正方形ABCD中，DC＝3DF，连接AF交对角线BD于点E，那么S△DEF：S△AEB＝_1:9_
8．如图5，四边形ABCD中，,AC与BD相交于点O,已知,,那么__
9.如图6，已知M是平行四边形ABCD中AB边的三等分点，BD与CM交于E，则阴影部分面积与平行四边形面积比为_7：24_．
三.解答题：10.如图，在三角形ABC中,点D、E分别是边AB、BC的中点,若△DBE的周长是6,则△ABC的周长是多少？
解：∵点D，E分别是边AB，BC的中点，
∴DE∥AC，，∴△DBE∽△ABC，
又△DBE的周长是6，则△ABC的周长等于12，故答案为：12．
11.如图，点E在矩形ABCD的边AD上，且∠EBC＝∠ECB．
（1）求证：AE＝ED；（2）连接BD交CB于点F，求△BCF和△DEF的面积之比．
解（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠A＝∠CDE＝90°，
∵∠EBC＝∠ECB，∴EB＝EC，∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），∴AE＝ED．
（2）解：∵BC＝AD，AE＝ED，∴BC＝2DE，∵DE∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴．
12．如图，；，交PN于点E，交BC于点D.
（1）若，，求的值.
（2）若，求的值.
（3）若cm，cm，且cm，求x的值.
解（1）∵，∴.
∵，∴.∴.
∵，∴.
（2）∵，∴，∵AE，AD分别是与的对应高，
∴.
（3）∵，∴，即，解得.
四.提高题：
13.如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（20，0）和（0，15），动点P从点A出发在线段AO上以每秒2cm的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始以每秒lcm的速度向上平行移动（即EF∥x轴），分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．
（1）求t=9时，△PEF的面积；
（2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t使得△PEF的面积等于40cm2？
若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．
解：（1）∵EF∥OA，∴∠BEF=∠BOA又∵∠B=∠B，∴△BEF∽△BOA，∴=，当t=9时，OE=9，OA=20，OB=15，∴EF==8，∴S△PEF=EF OE=×8×9=36（cm2）；（2）∵△BEF∽△BOA，∴EF===（15-t），∴×（15-t）×t=40，整理，得t2-15t+60=0，∵△=152-4×1×60＜0，∴方程没有实数根．∴不存在使得△PEF的面积等于40cm2的t值；（3）当∠EPO=∠BAO时，△EOP∽△BOA，∴=，即=，解得t=6；当∠EPO=∠ABO时，△EOP∽△AOB，∴=，即=，解得t=．∴当t=6或t=时，△EOP与△BOA相似．
图4
图3
图2
图1
图6
图5
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（总课时35）§4.7相似三角形的性质 (2)
一、选择题：1.已知两个相似三角形的相似比为4：9，则它们周长的比为（ ）
A.2：3 B.4：9 C.3：2 D.16：81
2.若两个三角形的面积比是1:9，则它们对应边的中线之比为（ ）
A.1:9 B.3:1 C.1:3 D.9:1
3．（2019·辽宁中考真题）如图1，在中，，，则的值是（ ）
A． B．1 C． D．
4．如图2，将△ABC的高AD四等分，过每一个分点作底边的平行线，把三角形的面积分成四部分S1、S2、S3、S4，则S1：S2：S3：S4等于（ ）A.1：2：3：4 B.2：3：4：5 C.1：3：5：7 D.3：5：7：9
5.如图3，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点O，且AO=BO=4，CO=8，∠ADB=2∠ACB，则四边形ABCD的面积为（ ）A.48 B.42 C.36 D.32
二、填空题：6.（2019·河南初三）若_____________
7．如图4，正方形ABCD中，DC＝3DF，连接AF交对角线BD于点E，那么S△DEF：S△AEB＝____
8.如图5，四边形ABCD中，,AC与BD相交于点O,已知,,那么_____
9.如图6，已知M是平行四边形ABCD中AB边的三等分点，BD与CM交于E，则阴影部分面积与平行四边形面积比为_____．
三.解答题：10.如图，在三角形ABC中,点D、E分别是边AB、BC的中点,若△DBE的周长是6,则△ABC的周长是多少？
11.如图，点E在矩形ABCD的边AD上，且∠EBC＝∠ECB．
（1）求证：AE＝ED；（2）连接BD交CB于点F，求△BCF和△DEF的面积之比．
12．如图，；，交PN于点E，交BC于点D.
（1）若，，求的值.（2）若，求的值.
（3）若cm， cm，且cm，求x的值.
四.提高题：
13．（2019·广东初三期末）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（20，0）和（0，15），动点P从点A出发在线段AO上以每秒2cm的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始以每秒lcm的速度向上平行移动（即EF∥x轴），分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．（1）求t=9时，△PEF的面积；
（2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t使得△PEF的面积等于40cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（3）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．
图4
图3
图2
图1
图6
图5
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（总课时35）§4.7相似三角形的性质 (2)
【学习目标】理解相似三角形周长比、面积比与相似比的关系.【学习重难点】会应用这些性质解决问题．
【导学过程】
一.复习回顾
1.相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比都=________.
2.若,则：___
二.探究新知
1.如图1中（1）、（2）、（3）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相互相似．
（2）与（1）的相似比＝__，（2）与（1）的周长比＝__；（2）与（1）的面积比＝___；
（3）与（1）的相似比＝__，（3）与（1）的周长比＝__．（3）与（1）的面积比＝___．
【结论】：相似三角形的周长比等于_______．相似三角形的面积比等于__________．
2.已知：如图2△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，
求证：(1）, (2)．
三.典例与练习：
例1.若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积比是（ ）
A．1:2 B．2:1 C．1:4 D．4:1
练习:1.如图3，DE//BC，，则DE∶BC＝（ ）
A．1∶2 B．1∶4 C．∶2 D．4∶1
2.如图4，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使DE=EF，连接CF，
则的值为（ ）A．1∶3 B．2∶3 C．1∶4 D．2∶5
例2.将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分
（图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，已知BC=2，求平移的距离．
练习:3.如图6，Rt ABC∽Rt EFG，EF=2AB，BD和FH分别是它们的中线， BDC与 FHG是否相似？如果相似，试确定它们的周长比与面积比．
四.课堂小结：1.两三角形相似：①对应角_____对应边______②对应高的比=______
③对应中线的比=________④对应角平分线的比=________⑤周长比=________⑥面积比=_______.
五.分层过关：1．把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么它三边的边长都扩大为原来的_____倍．
2．如图7，在平行四边形ABCD中，E为上一点，连接AE，BD，且AE、BD交于点F，＝4：25，则DE：EC=____________．
3.如图8，在正方形网格上有和，这两个三角形相似吗？如果相似，
请给出证明，并求出和的面积比．
4.如图9，已知矩形ABCD的一条边DA=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落
在CD边上的点P处，已知折痕与边BC交于点O，连接OP、AP、OA．
（1）求证： OCP∽ PDA．
（2）若 OCP与 PDA的面积之比为1∶4，求边AB的长．
5．如图10，在中，AB=16，，，，；求的面积和周长．
思考题：如图11，△ABC中，D、E两点分别在BC、AD上，且AD为∠BAC的角平分线。若∠ABE=∠C，AE:ED=2:1,则△BDE与△ABC的面积比为何
图1
图2
图3
图4
图5
图6
图7
图8
O
C
P
D
A
B
图9
D
B
C
A
E
图10
图11
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（总课时35）§4.7相似三角形的性质 (2)
【学习目标】理解相似三角形周长比、面积比与相似比的关系.【学习重难点】会应用这些性质解决问题．
【导学过程】
一.复习回顾:
1.相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比都=相似比.
2.若,则：k
二.探究新知
1.如图1中（1）、（2）、（3）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相互相似．
（2）与（1）的相似比＝2，（2）与（1）的周长比＝2；（2）与（1）的面积比＝4；
（3）与（1）的相似比＝3，（3）与（1）的周长比＝3．（3）与（1）的面积比＝9．
【结论】：相似三角形的周长比等于相似比.．相似三角形的面积比等于相似比的平方.．
2.已知：如图2△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，求证：(1）, (2)．
证：(1)∵△ABC∽△A′B′C′,相似比为k∴
(2)∵△ABC∽△A′B′C′,相似比为k,∴
三.典例与练习：
例1.若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积比是（ C ）
A．1:2 B．2:1 C．1:4 D．4:1
练习:1.如图3，DE//BC，，则DE∶BC＝（ C ）
A．1∶2 B．1∶4 C．∶2 D．4∶1
2.如图4，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使DE=EF，连接CF，则
的值为（C）
A．1∶3 B．2∶3 C．1∶4 D．2∶5
例2.将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分（图5中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，已知BC=2，求平移的距离．
解：由平移知：△ABC∽△GEC,∵∴
∴CE=∴BE=2-∴平移的距离是：(2-)
练习:3.如图6，Rt ABC∽Rt EFG，EF=2AB，BD和FH分别是它们的中线， BDC与 FHG是否相似？如果相似，试确定它们的周长比与面积比．
解：相似.∵Rt ABC∽Rt EFG，∴GE:CA=GF:CB=EF:AB=2,∠G=∠C,
∵BD和FH分别是它们的中线，∴GH:CD=GF:CB=2∴ BDC∽ FHG.
相似比为2；∴它们的周长比是2，面积比是4.
四.课堂小结：1.两三角形相似则：①对应角相等对应边成比例
②对应高的比=相似比
③对应中线的比=相似比
④对应角平分线的比=相似比
⑤周长比=相似比⑥面积比=相似比的平方.
五.分层过关：1．把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么它三边的边长都扩大为原来的3倍．
2．如图7，在平行四边形ABCD中，E为上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，＝4：25，则DE：EC=_2：5__．
3.如图8，在正方形网格上有和，这两个三角形相似吗？如果相似，
请给出证明，并求出和的面积比．
解：相似.∵A1C1：A2C2=A1B1：A2B2=B1C1：B2C2=2∴△A1B1C1∽△A2B2C2
相似比是2；面积比是4.
4.如图9，已知矩形ABCD的一条边DA=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落
在CD边上的点P处，已知折痕与边BC交于点O，连接OP、AP、OA．
（1）求证： OCP∽ PDA．（2）若 OCP与 PDA的面积之比为1∶4，求边AB的长．
证：（1）由折叠知：∠APO=90°,∵∠CPO+∠DPA=90°,∠DAP+∠DPA=90°
∴∠CPO=∠DAP∵∠D=∠C=90°∴ OCP∽ PDA.
（2）∵ OCP∽ PDA∴AD:PC=2:1=2∵AD=8∴PC=4,设AP=AB=x,则DP=x-4,在
Rt△ADP中由勾股定理得：解得：x=10,答：边AB的长是10.
5．如图10，在△ABC中，AB=16，，DE∥BC，CD⊥AB，CD=12；求△ADE的面积和周长．
解：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC,∵∴∴
∵S△ABC=96,∴S△ADE=6,∵BD=12,CD=12,∠CDB=90°,∴BC=12,DE=3
AC=4,AE=∴△ADE的周长是：AD+AE+DE=4++3；△ADE的面积是：6.
思考题：如图11，△ABC中，D、E两点分别在BC、AD上，且AD为∠BAC的角平分线。若∠ABE=∠C，AE:ED=2:1,则△BDE与△ABC的面积比为何
解：∵AE：ED＝2：1，∴S△ABE：S△BED＝2：1，AE：AD＝2：3，
∵∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，∴△ABE∽△ACD，
∴S△ABE：S△ACD＝4：9，∴S△ACD＝S△ABE，
∵S△ABE＝2S△BED，∴S△ACD＝S△ABE＝S△BED，
∵S△ABC＝S△ABE＋S△ACD＋S△BED＝2S△BED＋S△BED＋S△BED＝S△BED，
∴S△BDE：S△ABC＝2：15，
图1
图2
图3
图4
图5
图6
图7
O
C
P
D
A
B
图8
图9
D
B
C
A
E
图10
图11
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