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（总课时36）§4.8图形的位似 （1）
【学习目标】了解位似多边形的有关概念.【学习重难点】利用位似变换将一个图形扩大或者缩小．
【导学过程】
一.知识回顾
相似多边形的概念：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形．
二.探究新知
1.情境导入,初步认识：生活中，见过图1这样的图形吗？这些图片有什么特点？除了相似，这里面还蕴含着怎样的数学奥秘呢？在图片①上取一点A与图片②上取相应点B的连线是否经过镜头中心P？换其它点呢？
2..观察图2和图3图形的特征：
【归纳总结】如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在的直线都经过同一点,并且对应边平行（或在同一直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.显然，位似图形是相似图形的特殊情形，其相似比又叫做它们的位似比.
注意：同时满足下面三个条件的两个图形才叫做位似图形.三条件缺一不可：
①两图形相似；②每组对应点所在直线都经过同一点；③对应边互相平行（或在同一直线上）.
三.典例与练习：
例1.如图4，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D、E、F分别是
的OA，OB，OC中点，则△DEF与△ABC的面积比是（B）A．1:2 B．1:4 C．1:5 D．1:6
练习：1.下列说法正确的是（ C ）
位似图形的周长之比等于位似比的平方
B．两位似图形的面积之比等于位似比；C．位似多边形中对应对角线之比等于位似比
D．分别在△ABC的边AB,AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC放大后的图形；
2.如图5，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OB：OB′=2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（A）A．4∶9 B．2∶5 C．2∶3 D．∶
例2.如图6，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似比是1:2，若AB=2cm，则A′B′=4cm，并在图形中画出位似中心O．
练习：3.如图7，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（-1，0）．
以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是-0.5(a+3).
四.课堂小结：位似图形的性质：①两个图形相似.
②对应点的连线相交于一点，对应边互相平行或在同一直线上.
③任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
五.分层过关：1.已知△ABC与△DEF是位似图形，且△ABC与△DEF的位似比为，则△ABC与△DEF的周长之比是（B）A． B． C． D．
2.如图8，五边形ABCD和五边形A1B1C1D1是位似图形，且，则（ A ）
A． B． C． D．
3.如图9，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则.
4.如图10，A′B′∥AB，B′C′∥BC，且OA′∶A′A=4∶3，则△ABC与△A′B′C′是位似图形，相似比为7∶4；△OAB与△OA′B′是位似图形，相似比为7∶4．
5.如图，如果AC∥BD，CE∥DF，△ACE和△BDF是位似图形吗？请说明理由.
解:△ACE和△BDF是位似图形.理由如下：∵AC∥BD，CE∥DF，∴，，
∠ODB=∠OCA，∠ODF=∠OCE.∴，∠BDF=∠ACE.∴△BDF∽△ACE.又∵对应点的连线都过O点，∴△BDF和△ACE是位似图形.
思考题：如图△ABC中，AB＝80cm，高CD＝60cm，矩形EFGH中
F在AB边上，G在BC边上，H在三角形内，且EF：GF＝2：1.(1)在△ABC内画
出矩形GFEH的位似图形，使其顶点在△ABC的边上．（保留作图痕迹）（2）求所作的矩形的面积．
解（1）矩形GFEH的位似图形其长与宽的比为2：1，设其宽为x，则长为2x，∴①，②，两式左右两边分别相加得：=1，解得：x＝24，，∴．由此先找出点I，然后作IJ⊥AB于点J，作IK∥AB交AC于点K，再过点K作KL⊥AB于点L，连接各顶点，四边形IJLK即为所求．所画图形如下所示：（2）由（1）可知，该矩形的长为48cm，宽为24cm，∴所作的矩形的面积＝24×48＝1152cm2．
图1
图3
图2
图4
图5
图7
图10
图9
图8
图11
图12
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（总课时36）§4.8图形的位似 （1）
一.选择题：
1．三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子（如图1所示）.现测得OA=20cm，OA′=50cm，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长比是（ ）A．2:5 B．5:2 C．2:7 D．7:2
2．用作位似图形的办法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在（ ）
A．原图形的外部 B．原图形的内部 C．原图形的边上 D．任意位置
3．如图2，已知BC∥DE，则下列说法中不正确的是（ ）A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．AB:AD是相似比 D．点B与点E、点C与点D是对应位似点
4．下列各选项的两个图形中，不是位似图形的是（ ）
A. B. C. D.
5．（2019）如图，在所在平面上任意取一点O（与A、B、C不重合），连接OA、OB、OC，分别取OA、OB、OC的中点、、，再连接、、得到，则下列说法不正确的是（ ）
A.与是位似图形； B.与是相似图形
C.与的周长比为2:1； D.与的面积比为2:1
二.填空题：
6．（2019·江苏初三期末）如图4，以点O为位似中心，将四边形ABCD按1：2放大得到四边形A′B′C′D′，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比是______．
7．如图5，
8已知：如图6，A′B′∥AB，A′C′∥AC，AA′的延长线交于BC于点D，△ABC与△A′B′C′是___图形，其中___点是位似中心．
9.如图7，以点O为位似中心，将△ABC缩小得到△A′B′C，若AA′=2OA′，则△ABC与△A′B′C′的周长比为__．
10如图8，在RtΔABC中，AB=AC=4,∠BAC=900.点E为AB的中点，以AE为对角线作正方形ADEF，连接CF并延长交BD于点G，则线段CG的长等于________________.
三.解答题：
11.如图所示，O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍
(要求对应顶点在位似中心的两旁).
12.如图，矩形ABCD与矩形AB1C1D1，是位似图形，点A为位似中心，已知矩形AB1C1D1，的周长为24，BB1=4，DD1=2，求AB1和AD1的长.
13.如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′位似，相似比k1=2，四边形A′B′C′D′和四边形A′′B′′C′′D′′位似，相似比k2=0.8.四边形A′′B′′C′′D′′和四边形ABCD是位似图形吗？相似比是多少？
四.提高题：
14.如图，在△ABC中，点D在BC边上，BC＝3CD，分别过点B，D作AD，AB的平行线，并交于点E，且ED交AC于点F，AD＝3DF．（1）求证：△CFD∽△CAB；
（2）求证：四边形ABED为菱形；（3）若DF＝，BC＝9，求四边形ABED的面积．
图2
图3
图1
图4
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图6
图7
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（总课时36）§4.8图形的位似 （1）
【学习目标】了解位似多边形的有关概念.【学习重难点】利用位似变换将一个图形扩大或者缩小．
【导学过程】
一.知识回顾
相似多边形的概念：各角分别_____，各边______的两个多边形叫做相似多边形．
二.探究新知
1.情境导入,初步认识：生活中，见过图1这样的图形吗？这些图片有什么特点？除了相似，这里面还蕴含着怎样的数学奥秘呢？在图片①上取一点A与图片②上取相应点B的连线是否经过镜头中心P？换其它点呢？
2.观察图2和图3图形的特征：
【归纳总结】如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在的直线都经过同一点,并且对应边平行（或在同一直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.显然，位似图形是相似图形的特殊情形，其相似比又叫做它们的位似比.
注意：同时满足下面三个条件的两个图形才叫做位似图形.三条件缺一不可：
①两图形相似；②每组对应点所在直线都经过同一点；③对应边互相平行（或在同一直线上）.
三.典例与练习：
例1.如图4，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D、E、F分别是的OA，OB，OC中点，则△DEF与△ABC的面积比是（ ）A．1:2 B．1:4 C．1:5 D．1:6
练习：1.下列说法正确的是（ ）
位似图形的周长之比等于位似比的平方
B．两位似图形的面积之比等于位似比；C．位似多边形中对应对角线之比等于位似比
D．分别在△ABC的边AB,AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC放大后的图形；
2.如图5，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OB：OB′=2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（A）A．4∶9 B．2∶5 C．2∶3 D．∶
例2.如图6，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似比是1:2，若AB=2cm，则A′B′=__cm，并在图形中画出位似中心O．
练习：3.如图7，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（-1，0）．
以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是__________.
四.课堂小结：位似图形的性质：①两个图形相似.
②对应点的连线相交于一点，对应边互相平行或在同一直线上.
③任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
五.分层过关：
1.已知△ABC与△DEF是位似图形，且△ABC与△DEF的位似比为，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）A． B． C． D．
2.如图8，五边形ABCD和五边形A1B1C1D1是位似图形，且，则（ ）
A． B． C． D．
3.如图9，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则_______.
4.如图10，A′B′∥AB，B′C′∥BC，且OA′∶A′A=4∶3，则△ABC与____是位似图形，相似比为_______；△OAB与________是位似图形，相似比为____．
5.如图11，如果AC∥BD，CE∥DF，△ACE和△BDF是位似图形吗？请说明理由.
思考题：如图12△ABC中，AB＝80cm，高CD＝60cm，矩形EFGH中E、F在AB边上，G在BC边上，H在三角形内，且EF：GF＝2：1
（1）在△ABC内画出矩形GFEH的位似图形，使其顶点在△ABC的边上．（保留作图痕迹）
（2）求所作的矩形的面积．
图3
图2
图1
图4
图5
图6
图7
图9
图10
图8
图5
图6
图7
图5
图11
图12
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（总课时36）§4.8图形的位似 （1）
一.选择题：
1．三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子（如图1所示）.现测得OA=20cm，OA′=50cm，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长比是（ A ）A．2:5 B．5:2 C．2:7 D．7:2
2．用作位似图形的办法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在（ D ）
A．原图形的外部 B．原图形的内部 C．原图形的边上 D．任意位置
3．如图2，已知BC∥DE，则下列说法中不正确的是（ D ）A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．AB:AD是相似比 D．点B与点E、点C与点D是对应位似点
4．下列各选项的两个图形中，不是位似图形的是（ C ）
A. B. C. D.
5.如图，在所在平面上任意取一点O（与A、B、C不重合），连接OA、OB、OC，分别取OA、OB、OC的中点、、，再连接、、得到，则下列说法不正确的是（ D ）
A.与是位似图形； B.与是相似图形
C.与的周长比为2:1； D.与的面积比为2:1
二.填空题：
6．（2019·江苏初三期末）如图4，以点O为位似中心，将四边形ABCD按1：2放大得到四边形A′B′C′D′，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比是1：4．
7．如图5，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA＝2AD，S△ABC＝8，则S△DEF等于_18_．
8已知：如图6，A′B′∥AB，A′C′∥AC，AA′的延长线交于BC于点D，△ABC与△A′B′C′是位似图形，其中O点是位似中心．
9.如图7，以点O为位似中心，将△ABC缩小得到△A′B′C，若AA′=2OA′，则△ABC与△A′B′C′的周长比为3:1．
10如图8，在RtΔABC中，AB=AC=4,∠BAC=900.点E为AB的中点，以AE为对角线作正方形ADEF，连接CF并延长交BD于点G，则线段CG的长等于.
三.解答题：
11.如图所示，O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍
(要求对应顶点在位似中心的两旁).
12.如图，矩形ABCD与矩形AB1C1D1是位似图形，点A为位似中心，已知矩形AB1C1D1，的周长为24，BB1=4，DD1=2，求AB1和AD1的长.
解∵矩形AB1C1D1的周长为24，∴AB1+AD1=12.设AB1=x，则AD1=12-x，
∴AB=x+4，AD=14-x.∵矩形AB1C1D1与矩形ABCD是位似图形，
∴，即，解得x=8.∴AB1=8,AD1=4.
13.如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′位似，相似比k1=2，四边形A′B′C′D′和四边形A′′B′′C′′D′′位似，相似比k2=0.8.四边形A′′B′′C′′D′′和四边形ABCD是位似图形吗？相似比是多少？
解∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′位似，相似比k1=2，∴四边形四边形A′B′C′D′，.∵四边形A′B′C′D′和四边形A′′B′′C′′D′′位似，相似比k2=0.8，∴四边形A′B′C′D′∽四边形A′′B′′C′′D′′，.∴四边形ABCD∽四边形A′′B′′C′′D′′.
又∵AA′′，BB′′，CC′′，DD′′相交于点O，∴四边形ABCD与四边形A′′B′′C′′D′′位似.∵，，∴.∴四边形A′′B′′C′′D′′和四边形ABCD是位似图形，相似比是5:8.
四.提高题：
14.如图，在△ABC中，点D在BC边上，BC＝3CD，分别过点B，D作AD，AB的平行线，并交于点E，且ED交AC于点F，AD＝3DF．（1）求证：△CFD∽△CAB；
（2）求证：四边形ABED为菱形；（3）若DF＝，BC＝9，求四边形ABED的面积．
解（1）证明：∵EF∥AB，∴∠CFD＝∠CAB，又∵∠C＝∠C，∴△CFD∽△CAB；
（2）证明：∵EF∥AB，BE∥AD，∴四边形ABED是平行四边形，∵BC＝3CD，∴BC：CD＝3：1，∵△CFD∽△CAB，∴AB：DF＝BC：CD＝3：1，∴AB＝3DF，∵AD＝3DF，∴AD＝AB，∴四边形ABED为菱形；
（3）解：连接AE交BD于O，如图所示：∵四边形ABED为菱形，∴BD⊥AE，OB＝OD，∴∠AOB＝90°，
∵△CFD∽△CAB，∴AB：DF＝BC：CD＝3：1，∴AB＝3DF＝5，∵BC＝3CD＝9，∴CD＝3，BD＝6，
∴OB＝3，由勾股定理得：OA＝＝4，∴AE＝8，
∴四边形ABED的面积＝AE×BD＝×8×6＝24．
图2
图3
图1
图4
图5
图6
图7
图8
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