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（总课时38）§4.9图形的相似（复习课）
【学习目标】能够熟练运用本章的概念和性质解决实际问题.【重难点】会利用性质判定进行计算或证明．
【导学过程】
一.知识结构图：
二.知识点回顾：
1．成比例线段：对于四条线段a，b，c，d，如果＝ ，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
2．比例的性质：（1）如果＝，那么_____，反之也成立．其中a与d叫做比例外项，b与c叫做比例内项．特殊地， b2＝ac．则称b是a、c的比例中项.
（2）比例的合比性质：如果，那么=．
（3）比例的等比性质：如果，那么___．
3.平行线分线段成比例定理：（1）定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段 ．
（2）平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．
4．相似三角形：（1）定义：如果两个三角形的各角对应 ，各边对应 ，那么这两个三角形相似．
（2）相似三角形的性质：①相似三角形的对应角 ，对应边 ．
②相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于 ．
③相似三角形的周长之比等于 ，面积之比等于 ．
（3）相似三角形的判定：
①平行于三角形一边的直线和其他两边(或其它两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
②两边对应 ，且夹角 的两个三角形相似．
③ 角对应相等的两个三角形相似．④三边对应 的两个三角形相似．
⑤你知道什么是黄金分割吗？黄金比是多少？请你用图形来表示一下．
答;____________________________________________________________________________________.
⑥什么是位似图形？你会将一个图形放大或缩小吗？请你试着在练习本画一下．
答;____________________________________________________________________________________.
三.典例与练习：
例1.已知，如图，△ABC中，AB＝2，BC＝4，D为BC边上一点，BD＝1．
（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）作DE∥AB交AC于点E，求DE的长．
练习：1.如图，△ABC∽△AED，相似比为2∶1，若BC＝2，则DE的长是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2.如果两个相似多边形面积的比为1∶5，则它们的相似比为( )
A．1∶25 B．1∶5 C．1∶2.5 D．1∶
例2.如图，△ABC是一块面积为2700cm2的三角形木板，其中BC=90cm，现在要将这块木板加工成一个正方形的桌面，如图所示，正方形DEFM即是要加工成的桌面，点D、M分别在AB、AC边上，点E、F在BC边上，根据以上数据求出这个正方形桌面的边长．
练习3.若x∶y＝1∶3，2y＝3z，则的值是( )A．－5 B．－ C. D．5
4.如图，正方形ABCD中，P为BC边上一点，以AP为斜边在正方形ABCD内部作等腰Rt△APQ，连接AC交PQ于点E，连接DQ．（1）求证：△ACP∽△ADQ；
（2）若P为BC的中点，①求；②求证：PE＝QE．
四.课堂小结：1.概念（包含：比例线段；相似多边形、位似）清楚，性质（包含：比例；相似三角形）明确，判定方法（包含：相似三角形、位似）熟记。
2.灵活运用概念、性质、判定方法解决问题。
五.分层过关：1.如果，且，那么= ．
2.已知a，b，c，d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，则d= cm．
3.若===k，则y=kx+k一定经过第 象限．
4.若点C是线段AB的黄金分割点，且AB=4cm，则AC= cm．
5.如图5，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6）,B（8，2）.以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为( )A.（3，3） B.（4，3） C.（3，1）D.（4，1）
6.如图6，四边形ABCD是平行四边形，点E是AD的中点，连接AC、BE交于G点，过E作AC的平行线交CD于F点，若阴影部分的面积为a，则
7.如图7，为测量旗杆的高度，小红在B处垂直竖立起一根长为2.5米的标杆,当她站在点F处时，她的眼睛E、标杆的顶端A、旗杆顶端C恰好在同一直线上，量得BF=3米，BD=9米，小红的眼睛E与地面的距离EF为1.5米，则旗杆的高度为 米．
8.如图8已知点F（﹣4，2），E（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为2，把△EFO缩小，则点F的对应点F′的坐标是（ ）
A．（-2，1） B．（-8，4） C．（-8，4）或（8，-4） D．（-2，1）或（2，-1）
9.如图9,△ABC是等边三角形，点D是BC边上一点，点E是AB边上一点，且有∠ADE=60°.
（1）找出图形中两组相似三角形，并选择一组进行证明；（2）若BD=3，CD=6，求AD的长．
思考题：（2019·江苏初三）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90,AC=8,BC=6,CD⊥AB于点D.点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止.设运动时间为t秒.
（1）求线段CD的长；（2）当t为何值时，△CPQ是直角三角形？
（3）是否存在某一时刻，使得PQ分△ACD的面积为1：11？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由.
应用
线段的比
成比例
线段
线段的比
比例的性质
黄金分割
合比性质
等比性质
基本性质
位似
性质
定义
图形的相似
相似
三角形
相似
多边形
性质
定义
定义
性质
判定
面积比=k2
周长比=k
对应线段比=k
用定义
角、角
边边边
边角边
基本性质
图1
图2
B
E
P
D
A
C
F
M
图3
A
B
D
C
P
Q
E
图4
图8
图6
图7
图5
图9
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（总课时38）§4.9图形的相似（复习课）
一.选择题：
1.若2x-5y=0，且xy≠0,则（ ）A. B. C. D.
2.若，则等于（）A． B． C． D．
3.如图1，AB∥CD，AD与BC相交于点O，，AD＝10，则OA的长为（ ）A.3 B.4 C.5 D.6
4.如图2，平行四边形ABCD中，E是BC延长线上一点，连结AE交CD于F，则图中相似的三角形共有（ ）A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
5.一斜坡长70米，它的高为5米，将重物从斜坡起点推到坡上20米处停下，停下地点的高度为（ ）
A.米 B.米 C.米 D.米
二.填空题：6.如图3，已知 DE ∥BC，AD=6cm，BD=8cm，AC=12cm，则S△ADE:S四边形DBCE=______.
7.如果△ABC与△DEF相似，△ABC的三边之比为3:4:6，△DEF的最长边是10cm，那么△DEF的最短边是______cm．
8.如图4，点D在△ABC的边BC上，已知点E,点F分别为△ABD和△ADC的重心，如果BC=12，那么两个三角形重心之间的距离EF的长等于________．
9.如图5，在△ABC中，AB=AC，点D.E分别在边BC.AB上，且∠ADE=∠B，如果DE：AD=2：5，BD=3，那么AC=________．
三.解答题：10.如图6，点D和点E分别在AB，AC边上，BE平分∠ABC，∠ABE=∠ACD.
求证:EC2=EF×EB
11.如图7，已知在 ABC中，DE∥BC，AD：DB=2：5
(1)如果BC=21，求DE的长；(2)如果，求的值
12.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=16，BC=4，D为AB上一点，DE⊥AC于点E,DE=1,P为CE上一动点，设CP的长为a.
（1）求CE的长；（2）a为何值时，△DEP与△BCP相似？
（3）当PD+PB有最小值时，求a的值及最小值.
四.提高题：13.已知：如图9，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，D是斜边AB的中点，以D为顶点，作∠EDF=∠A，∠EDF的两边交边AC于点E,F（点F不与点C重合）
（1）当DF⊥AB时，求CF的长度；
（2）当∠EDF绕点D转动时，设CF=x，CE=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围.
（3）联结BF，是否存在点F，使△BDF与△ADE相似？若存在，请求出此时CF的长度；若不存在，请说明理由.
图2
图3
图4
图1
图6
图5
图7
图8
图9
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（总课时38）§4.9图形的相似（复习课）
一.选择题：
1.若2x-5y=0，且xy≠0,则（ C ）A. B. C. D.
2.若，则等于（B）A． B． C． D．
3.如图1，AB∥CD，AD与BC相交于点O，，AD＝10，则OA的长为（B）A.3 B.4 C.5 D.6
4.（2019·湖南初三期末）如图2，平行四边形ABCD中，E是BC延长线上一点，连结AE交CD于F，则图中相似的三角形共有（ C ）A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
5.一斜坡长70米，它的高为5米，将重物从斜坡起点推到坡上20米处停下，停下地点的高度为（C）
A.米 B.米 C.米 D.米
二.填空题：6.如图3，已知 DE ∥BC，AD=6cm，BD=8cm，AC=12cm，则S△ADE:S四边形DBCE=9：40.
7.如果△ABC与△DEF相似，△ABC的三边之比为3:4:6，△DEF的最长边是10cm，那么△DEF的最短边是__5_cm．
8.如图4，点D在△ABC的边BC上，已知点E，点F分别为△ABD和△ADC的重心，如果BC=12，那么两个三角形重心之间的距离EF的长等于_4_．
9如图5，在△ABC中，AB=AC，点D.E分别在边BC.AB上，且∠ADE=∠B，如果DE：AD=2：5，BD=3，那么AC=_7.5_．
三.解答题：10.如图6，点D和点E分别在AB，AC边上，BE平分∠ABC，∠ABE=∠ACD.
求证:EC2=EF×EB
解∵BF平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∵∠ABE=∠ACD，∴∠EBC=∠ECD，
∵∠FEC是公共角，∴△FEC∽△CEB，，.
11.如图7，已知在 ABC中，DE∥BC，AD：DB=2：5
(1)如果BC=21，求DE的长；(2)如果，求的值
解（1）∵DE∥BC∵BC=21.∴DE=6.
（2）∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC
设：，则，∴49x-4x=45∴x=1.
12.如图8，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=16，BC=4，D为AB上一点，DE⊥AC于点E,DE=1,P为CE上一动点，设CP的长为a.（1）求CE的长；
（2）a为何值时，△DEP与△BCP相似？
（3）当PD+PB有最小值时，求a的值及最小值.
解（1）∵DE⊥AC,∠AED=90°=∠ACB又∠A公共∴△ADE∽△ABC
∴ 即，CE=12.（2）分两种情况：①△DEP∽△BCP，此时，
即，a=9.6②△DEP∽△PCB，此时，即，，
∴a的值为9.6或6+4或6-.（3）延长BC至点F，使CF=CB，连接DF交CE于点P，如图：∠DPE=∠CPF，∠DEP=∠PCF，则△DEP∽△FCP于是，得a=9.6.此时BP=，DP=，最小值为13.
四.提高题：
13.已知：如图9，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，D是斜边AB的中点，以D为顶点，作∠EDF=∠A，∠EDF的两边交边AC于点E,F（点F不与点C重合）
（1）当DF⊥AB时，求CF的长度；
（2）当∠EDF绕点D转动时，设CF=x，CE=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围.
（3）联结BF，是否存在点F，使△BDF与△ADE相似？若存在，请求出此时CF的长度；若不存在，请说明理由.
解（1）∵∠C=90°，AC=4，AB=5，∴BC=3.∵DF⊥AB，∴∠ADF=∠ACB=90°，∵∠A=∠A,∴△ADF∽△ACB，
∴AD:AC=AF:AB，∴AF=，则CF=，∴CF的长为；
(2)连接CD,∵D是斜边AB上的中点，∴AD=DB=CD=2.5，∴∠DCA=∠DAC，又∵∠FDE=∠A，∴∠CDE=∠AFD，又∵∠DCA=∠DAC，∴△CDE∽△AFD，∴CD:AF=CE:AD,即2.5:(4-x)=y:2.5，∴；
(3)如图，①当△BFD∽△ADE，则∠FBD=∠A,∴FB=FA，则BF2=CF2+BC2，∴(4-CF)2=CF2+9解得CF=；②当△BFD∽△DAE，则∠BFD=∠A，∴△BFD∽△BAF，BF:AB=BD:BF，∴BF2=，∴CF==.∴当CF=或时，△BDF与△ADE相似.
图3
图2
图4
图1
图6
图5
图7
图8
图9
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【学习目标】能够熟练运用本章的概念和性质解决实际问题.【重难点】会利用性质判定进行计算或证明．
【导学过程】
一.知识结构图：
二.知识点回顾：
1．成比例线段：对于四条线段a，b，c，d，如果＝，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
2．比例的性质：（1）如果＝，那么ad=bc，反之也成立．其中a与d叫做比例外项，b与c叫做比例内项．特殊地， b2＝ac．则称b是a、c的比例中项.
（2）比例的合比性质：如果，那么=．
（3）比例的等比性质：如果，那么k．
3.平行线分线段成比例定理：（1）定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
（2）平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．
4．相似三角形：（1）定义：如果两个三角形的各角对应相等，各边对应成比例，那么这两个三角形相似．
（2）相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
②相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．
③相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
（3）相似三角形的判定：
①平行于三角形一边的直线和其他两边(或其它两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
②两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．
③两角对应相等的两个三角形相似．④三边对应成比例的两个三角形相似．
⑤你知道什么是黄金分割吗？黄金比是多少？请你用图形来表示一下．
答;在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．黄金比≈0.618.
⑥什么是位似图形？你会将一个图形放大或缩小吗？请你试着在练习本画一下．
答：如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在的直线都经过同一点,并且对应边平行（或在同一直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.
三.典例与练习：
例1.已知，如图1，△ABC中，AB＝2，BC＝4，D为BC边上一点，BD＝1．
（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）作DE∥AB交AC于点E，求DE的长．
证：(1)∵AB2=BC×BD=4,∠B=∠B,∴△ABD∽△CBA,
(2）∵DE∥AB∴DE：AB=DC：BC=3：4,∵AB=2.∴DE=1.5.
练习：1.如图2，△ABC∽△AED，相似比为2∶1，若BC＝2，则DE的长是( A )
A．1 B．2 C．3 D．4
2.如果两个相似多边形面积的比为1∶5，则它们的相似比为( D )
A．1∶25 B．1∶5 C．1∶2.5 D．1∶
例2.如图3，△ABC是一块面积为2700cm2的三角形木板，其中BC=90cm，现在要将这块木板加工成一个正方形的桌面，如图所示，正方形DEFM即是要加工成的桌面，点D、M分别在AB、AC边上，点E、F在BC边上，根据以上数据求出这个正方形桌面的边长．
解：设正方形桌面边长是xcm,由题得：AP=60，解得：x=36(cm)
答：这个正方形桌面的边长是36cm.
练习3.若x∶y＝1∶3，2y＝3z，则的值是(A)A．－5 B．－ C. D．5
4.如图4，正方形ABCD中，P为BC边上一点，以AP为斜边在正方形ABCD内部作等腰Rt△APQ，连接AC交PQ于点E，连接DQ．（1）求证：△ACP∽△ADQ；
（2）若P为BC的中点，①求；②求证：PE＝QE．
证：（1）∵∠QAP=45°∴,∵∠DAQ+∠QAC=∠PAC+∠QAC=45°
∴∠DAQ=∠CAP∵∴△ACP∽△ADQ.
①设：AB=2x则AP=x,AC=2x,∵∠APE=∠ACP=45,∠PAE=∠CAP,∴△APE∽△AEC∴,②由①得：AE=,PE=,PQ=AP=,
∴EQ=PQ-PE=,∴PE＝QE,
四.课堂小结：1.概念（包含：比例线段；相似多边形、位似）清楚，性质（包含：比例；相似三角形）明确，判定方法（包含：相似三角形、位似）熟记。2.灵活运用概念、性质、判定方法解决问题。
五.分层过关：1.如果，且，那么=5:3．
2.已知a，b，c，d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，则d=4cm．
3.若===k，则y=kx+k一定经过第 2，3 象限．
4.若点C是线段AB的黄金分割点，且AB=4cm，则AC=或cm．
5.如图5，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6）,B（8，2）．以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,则端点C的坐标为(A)A.（3，3）B．（4，3）C．（3，1）D．（4，1）
6.如图6，四边形ABCD是平行四边形，点E是AD的中点，连接AC、BE交于G点，过E作AC的平行线交CD于F点，若阴影部分的面积为a，则1.5a
7.如图7，为测量旗杆的高度，小红在B处垂直竖立起一根长为2.5米的标杆,当她站在点F处时，她的眼睛E、标杆的顶端A、旗杆顶端C恰好在同一直线上，量得BF=3米，BD=9米，小红的眼睛E与地面的距离EF为1.5米，则旗杆的高度为 5.5 米．
8.如图8已知点F（﹣4，2），E（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为2，把△EFO缩小，则点F的对应点F′的坐标是（D）A．（-2，1）B．（-8，4）C．（-8，4）或（8，-4）D．（-2，1）或（2，-1）
9.如图9,△ABC是等边三角形，点D是BC边上一点，点E是AB边上一点，且有∠ADE=60°.
（1）找出图形中两组相似三角形，并选择一组进行证明；（2）若BD=3，CD=6，求AD的长．
解：（1）①△BED∽△CDA，②△ABD∽△ADE
证：∵∠ADE=∠B=60°，∠CDA+∠ADE=∠BED+∠B∴∠CDA=∠BED
∵∠C=∠B=60°，∴△BED∽△CDA
∵BD=3，CD=6∴AB=AC=BC=9，∵△BED∽△CDA∴∴BE=2
∴AE=AB-BE=9-2=7∵△ABD∽△ADE∴AD2=AE×AB=7×9=63∴AD=
思考题：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90,AC=8,BC=6,CD⊥AB于点D.点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止.设运动时间为t秒.
（1）求线段CD的长；（2）当t为何值时，△CPQ是直角三角形？
（3）是否存在某一时刻，使得PQ分△ACD的面积为1：11？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由.
解：（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理得，
，
∵，∴，
（2）由（1）知，CD=4.8，由运动知，CQ=t,DP=t，∴CP=CD-DP=4.8，
∵∠ACB=90，∴∠ACD+∠BCD=90，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90，∴∠ACD=∠B，
∵△CPQ是直角三角形，∴①当PQ⊥CD时，如图a∴△CPQ∽△BCA，∴，∴，∴t=3
②当PQ⊥AC，如图b．∴△CPQ∽△BAC，∴，
∴∴t=1.8，即：t为3秒或1.8秒时，△CPQ是直角三角形
（3）假设存在，如图，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得，AD=6.4，过点Q作CE⊥CD于E，∴QE∥AD，∴△CEQ∽△CDA，∴，
∴，∴QE=0.8t，∵，
，∵PQ分ACD的面积为1：11，∴①当时，
∴，∴，解得，
②当时，，∴，
而，此方程无解，即：此种情况不存在，
综上所述，当时使得PQ分△ACD的面积为1：11.
应用
线段的比
成比例
线段
线段的比
比例的性质
黄金分割
合比性质
等比性质
基本性质
位似
性质
定义
图形的相似
相似
三角形
相似
多边形
性质
定义
定义
性质
判定
面积比=k2
周长比=k
对应线段比=k
用定义
角、角
边边边
边角边
基本性质
A
C
B
E
图1
图2
B
E
P
D
A
C
F
M
图3
A
B
D
C
P
Q
E
图4
图8
图7
图6
图5
图5
图5
图5
图9
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