湘教版数学九年级上册 第3章 图形的相似单元检测题（含答案）

第3章　单元检测题（后附答案）
(时间：100分钟　　满分：120分)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题(本题共12小题，每题3分，共36分)
1．已知3x＝7y(y≠0)，则下列比例式成立的是( )
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
2．已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝8，A′B′＝6，则＝( )
A．2 B． C．3 D．
3．观察下列每组图形，相似图形是( )
4．要制作两个形状相同的三角形框架，已知其中一个三角形的三边长分别为3 cm，4 cm，6 cm，另一个三角形的最短边长为4 cm，则它的最长边长为( )
A． cm B．8 cm C． cm D．12 cm
5．如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是相似中心，相似比为2∶3，点A，B的对应点分别为点A′，B′.若AB＝6，则A′B′的长为( )
A．8 B．9 C．10 D．15
eq \o(\s\up7(),\s\do5(第5题图)) 　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第7题图)) 　　　
　第8题图　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第9题图))
6．点C是线段AB的黄金分割点(AC＜CB)，若AC＝2，则CB＝( )
A．＋1 B．＋3 C． D．
7．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
8．我国古代数学《九章算术》中，有个“井深几何”问题：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸(1尺＝10寸)，问井深几何？其意思如图所示，则井深BD的长为( )
A．12尺 B．56尺5寸 C．57尺5寸 D．62尺5寸
9．如图，△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝6，则点F到BC的距离为( )
A．1 B．2 C．12－6 D．6－6
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10 cm，F为AB上一点，AF＝2，点E从点A出发，沿AC方向以2 cm/s的匀速运动，同时点D由点B出发，沿BA方向以1 cm/s的速度运动，设运动时间为t(s)(0＜t＜5)，连接DE交CF于点G，若CG＝2FG，则t的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
eq \o(\s\up7(),\s\do5(第10题图)) 　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第11题图)) 　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第12题图))
11．如图，在△ACD中，AD＝6，BC＝5，AC2＝AB(AB＋BC)，且△DAB∽△DCA，若AD＝3AP，点Q是线段AB上的动点，则PQ的最小值是( )
A． B． C． D．
12．如图，在正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG.以下四个结论：①∠EAB＝∠GAD；②△AFC∽△AGD；③2AE2＝AH·AC；④DG⊥AC.其中正确的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
13．如果四条线段m，n，x，y成比例，若m＝2，n＝8，y＝4.则线段x的长是__ __．
14．如图所示，它们是两个相似的平行四边形，根据条件可知，∠α＝__ __，m＝__ __.
eq \o(\s\up7(),\s\do5(第14题图)) 　　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第15题图))
15．如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，试添加一个条件：__ __，使得△ADE与△ABC相似．(任意写出一个满足条件的即可)
16．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O(0，0)，A(8，0)，B(8，6)，D(0，6)，已知矩形OA1B1C1与矩形OABC位似，位似中心为坐标原点O，相似比为，则点B1的坐标是_ __.
17．如图，在△ABC中，AC＝8，AB＝6，点D与点A在直线BC同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝3，E是线段BC延长线上的动点，当△DCE与△ABC相似时，则线段CE的长为__ __．
　　第17题图　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第18题图))
18．如图，△ABC的顶点B在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，顶点C在x轴负半轴上，AB∥x轴，AB，BC分别交y轴于点D，E.若＝＝，S△ABC＝13，则k＝__ __．
三、解答题(本大题共8个小题，第19，20题每题6分，第21，22题每题8分，第23，24题每题9分，第25，26题每题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤)
19．若＝，求的值．
20．已知P为线段AB上一点，且AB被点P分为AP∶PB＝2∶3；AB＝100 cm.求AB∶BP和PB的长．
21．如图，已知△ABD∽△ACE，∠ABC＝50°，∠BAC＝60°，求∠AED的度数．
22．如图，利用标杆DE测量楼高，点A，D，B在同一直线上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分别为E，C.若测得AE＝1 m，DE＝1.5 m，CE＝5 m，楼高BC是多少？
23．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DC交BE于点F，且AD＝AB，AE＝EC，求证：
(1)△DEF∽△CBF；
(2)DF·BF＝EF·CF.
24．如图，在 ABCD中，DE⊥AC于点O，交BC于点E，EG＝EC，GF∥AD交DE于点F，连接FC，点H为线段AO上一点，连接HD，HF.
(1)判断四边形GECF的形状，并说明理由；
(2)当∠DHF＝∠HAD时，求证：AH·CH＝EC·AD.
25．在平面直角坐标系中，四边形AOBC的顶点O是坐标原点，点B在x轴的负半轴上，且CB⊥x轴，点A的坐标为(0，6)，在OB边上有一点P，满足AP＝3.
(1)求点P的坐标；
(2)如果△AOP与△APC相似，且∠PAC＝90°，求点C的坐标．
26．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为高，BC＝nAC.
(1)如图1，当n＝时，则的值为____；(直接写出结果)
(2)如图2，点P是BC的中点，过点P作PF⊥AP交AB于点F，交CD于点E，求的值；(用含n的代数式表示)
(3)在(2)的条件下，若PF＝BF，求n的值．
答案：
第3章　单元检测题
(时间：100分钟　　满分：120分)
1．( B )
2．( B )
3．( C )
4．( B )
5．( B )
6．( A )
7．( B )
8．( C )
9．( D )
10．( B )
11．( A )
12．( D )
13．__1__．
14．∠α＝__125°__，m＝__12__.
15．：__∠ADE＝∠C(答案不唯一)__，
16．__(4，3)或(－4，－3)__.
17．__或4__．
18．则k＝__18__．
19．
解：∵＝，∴3a＝2b，∴3a－2b＝0，∴原式＝0
20．．
解：设AP＝2x，则PB＝3x，AB＝5x，∴＝＝，∵AB＝100 cm，∴PB＝60 cm
21．如图，已知△ABD∽△ACE，∠ABC＝50°，∠BAC＝60°，求∠AED的度数．
解：∵∠ABC＝50°，∠BAC＝60°，∴∠ACB＝180°－∠ABC－∠BAC＝70°，∵△ABD∽△ACE，∴＝，∠BAD＝∠CAE，∴＝，∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，∴∠BAC＝∠DAE，∴△BAC∽△DAE，∴∠AED＝∠ACB＝70°
22．
解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴BC＝9 m，答：楼高BC是9 m
23．
证明：(1)∵AE＝EC，∴＝，又∵AD＝AB，∴＝，∴＝，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠ABC，DE∥BC，∴△DEF∽△CBF　(2)由△DEF∽△CBF知＝，∴DF·BF＝EF·CF
24．
解：(1)四边形GECF是菱形，理由如下：∵EG＝EC，DE⊥AC，∴GO＝CO，∵GF∥AD，AD∥BC，∴GF∥BC，∴∠FGO＝∠ECO，∠GFO＝∠CEO，∴△GFO≌△CEO(AAS)，∴GF＝EC，∴四边形GECF是平行四边形，又∵EG＝EC，∴平行四边形GECF是菱形　(2)∵∠DHC＝∠DAH＋∠ADH＝∠DHF＋∠FHC，∠DHF＝∠HAD，∴∠ADH＝∠FHC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAH＝∠ACB，∵四边形GFCE是菱形，∴CE＝CF，∠HCF＝∠ACB，∴∠HCF＝∠DAH，∴△ADH∽△CHF，∴＝，即AH·CH＝CF·AD，∴AH·CH＝EC·AD
25．
解：(1)∵点A的坐标为(0，6)，∴OA＝6，∵∠AOP＝90°，AP＝3，∴OP＝＝＝3，∴点P的坐标为(－3，0)　(2)∵∠AOP＝∠PAC＝90°，△AOP与△APC相似，∴＝或＝，∴＝或，∴＝或2.过点C作CD⊥y轴于点D，∵∠CDA＝∠PAC＝∠AOP＝90°，∴∠DCA＋∠CAD＝∠CAD＋∠PAO＝90°，∴∠DCA＝∠PAO，∴△ADC∽△POA，∴＝＝，∴＝＝或＝＝2，解得CD＝3，AD＝1.5或CD＝12，AD＝6，∴OD＝7.5或OD＝12，∴点C的坐标为(－3，7.5)或(－12，12)
26．
解：(1)　(2)如图2，过点P作PG∥AC交AB于点G.∴∠PGF＝∠CAD，∠GPC＝90°，∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠PCE＝90°，∴∠PCE＝∠CAD，∴∠PCE＝∠PGF，又∵PF⊥AP，∴∠CPE＋∠APG＝∠FPG＋∠APG＝90°，
∴∠CPE＝∠GPF，∴△PCE∽△PGF，∴＝，又∵点P是BC的中点，∴AC＝2PG，∴＝＝n，即＝n　(3)由(2)可知＝n，则可以假设PF＝x，PE＝nx，∵∠GPB＝90°，PF＝BF，则PF＝BF＝GF＝x，则AG＝2x，AF＝3x.∵△PCE∽△PGF，∴＝＝，则CE＝nGF＝nx，又∵∠ACB＝90°，则AE＝PE＝nx，在Rt△APF中，AP2＋PF2＝AF2，则x2＋(2nx)2＝(3x)2，∴n＝