1.5 全称量词与存在量词 讲义（无答案）

全称量词与存在量词
教学目标 知道什么是全称量词与存在量词，并写出其否定；会判断命题的真假
【知识点框架】 一、全称量词和全称量词命题 （1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示，常见的全称量词还有“一切”“每一个”“凡是”等. （2）含有 的命题，叫做全称量词命题. （3）全称量词命题“对 M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为“ ”. 二、存在量词和存在量词命题 （1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示，常见的存在量词还有“有些”“某个”“有一个”“至少有一个”等. （2）含有 的命题，叫做存在量词命题. （3）存在量词命题“存在 M中的元素 x,p(x)成立”可用符号简记为“ ”. 三、全称量词命题与存在量词命题的否定 （1）全称量词命题的否定 全称量词命题: x∈M,p(x), 它的否定： x∈M, p(x). （2）存在量词命题的否定 存在量词命题: x∈M,p(x), 它的否定: x∈M,￢p(x). （3）对全称量词命题与存在量词命题的否定要注意以下两点 ①解题中若遇到省略“所有”“任何”“任意”等量词的简化形式，这时应先将命题写成完整形式，再写出其否定形式. ②要注意命题的否定形式不唯一. 思考： 1.全称量词的特征是什么 2.存在量词的特征是什么 3.全称量词命题与存在量词命题的关系是什么 4.全称量词命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么 【例题练习】 题型一：全称量词命题与存在量词命题 例1.判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“ ”或“ ”表述下列命题. (1)对任意x∈{x|x>-1},3x+4>0成立； (2)对所有实数a,b,方程ax+b=0恰有一个解； (3)有些整数既能被 2 整除，又能被3 整除； (4)某个四边形不是平行四边形. 总结：判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的方法： 判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词.由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表述命题. 练习： 1.判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题. (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)矩形的对角线不相等； (3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)有些实数a,b能使|a-b|=|a|+|b|; (5)方程3x-2y=10有整数解. 题型二：全称量词命题与存在量词命题的真假判断 例2.试判断以下命题的真假. (1)有的正方形不是矩形； (2)有理数是实数； (3) x∈R,x +2>0; (4) x∈N,x ≥1; (5) x∈Z,x <1; (6) x∈Q,x =3. 总结：判断全称量词命题与存在量词命题真假的方法： （1）对于全称量词命题“ x∈M,p(x)”: ①要证明它是真命题，需对集合M 中每一个元素x,证明p(x)成立; ②要判断它是假命题，只要在集合M 中找到一个元素x，使p(x)不成立即可(通常举反例). （2）对于存在量词命题“ x∈M,p(x)”: ①要证明它是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x，使p(x)成立即可(通常举正例). ②要判断它是假命题，需对集合M 中每一个元素x,证明p(x)不成立. 练习： 1.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假. （1）在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x,y)都对应一点; （2）至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除; （3） x∈R,使得x +1<0. 题型三：全称量词命题和存在量词命题的否定 例3.写出下列全称量词命题的否定. ①p: x∈R,x x+0.25≥0; ②p：与同一平面所成的角相等的两条直线平行； ③ a,b∈R,方程ax=b都有唯一解; ④可以被5整除的整数，末位是0. 例4.写出下列存在量词命题的否定. ①p: x>1,使x -2x-3=0; ②p：有些偶数是负数； ③p: x∈R,x＞2; ④p: x∈R,x ＜0. 总结：（1）全称量词命题“ x∈M,p(x)”的否定是存在量词命题“ x∈M,￢p(x)”,这是固定模式. （2）存在量词命题“ x∈M,p(x)”的否定是全称量词命题“ x∈M,￢p(x)”.遇到“且”命题的否定时变为“或”命题. 练习： 1.写出下列命题的否定，并判断其真假. （1）有些素数是奇数； （2）所有的矩形都是平行四边形； （3） x∈R,x +2x+5>0. 题型四：含有一个量词的命题的求参问题 例4.已知命题 p: x∈R,不等式x +4x-1>m恒成立.求实数 m的取值范围. 总结： （1）解决含有量词的命题求参数范围问题的思路： 　　①全称量词命题求参数范围的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考查，一般在题目中会出现“恒成立”等词语.解决此类问题，可构造函数，利用数形结合求参数范围. 　　②存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常是假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；反之，假设不成立. （2）求解含有量词的命题中参数范围的策略： 　　①对于全称量词命题“ x∈M,a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a＞ymax(或 a＜ymin). 　　②对于存在量词命题“ x∈M,a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a＞ymin(或 a＜ymax). 练习： 1.若“ x∈R,x +2x-a<0”是真命题，则实数a的取值范围是 . 【课后巩固】 1.下列命题中，是真命题的是( ) A.每个二次函数的图象都与x轴相交 B. x∈R,x ＞0 C. x∈R,x ≤0 D.方程x +2x+8=0有实数解 2.已知命题 p: x∈R,x＞a +b ,则p的否定形式为( ) A.￢p: x∈R,x＜a +b B.￢p: x∈R,x≤a +b C.￢p: x∈R,x≤a +b D.￢p: x∈R,x＜a +b 3.命题“ x∈Z,使x +2x+m≤0”的否定是( ) A. x∈Z,使x +2x+m＞0 B.不存在x∈Z,使x +2x+m＞0 C. x∈Z,都有x +2x+m≤0 D. x∈Z,都有x +2x+m＞0 4.已知命题 p: x＞0,x+a-1=0,若p为假命题，则a的取值范围是( ) A.{a|a＜-1} B.{a|a≥1} C.{a|a＞1} D.{a|a≤-1} 5.指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词问题，并判断其真假. (1)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (2)每一条线段的长度都能用正有理数来表示； (3)存在一个实数x，使得等式x +x+8=0成立.