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(总课时28)§3．3 整式
【学习目标】理解单项式、多项式、整式的概念.
【学习重难点】单项式的系数、次数；多项式的项数、次数等概念.
【导学过程】
一.知识回顾
学习了代数式，相信你能用代数式表示下列各题.
1.小芳房间的窗户如图1所示，其中上方的装饰物由两个四分之一圆和一个半圆组成（它们的半径相同）。
（1）装饰物所占的面积是_____；（2）窗户能射进阳光的部分的面积是__________；
（窗框面积忽略不计）
2.当水结冰时，其体积大约会比原来增加，x立方米的水结成冰后体积约为_____立方米；
3.某件商品的成本价为a元，按成本价提高20%后标价，又以八折销售，此件商品的售价为_____元.
二.探究新知
知识点一：单项式
像，，0.96a这些代数式包含哪些运算？答：____________________.
像这样，都是数与字母乘积的代数式叫做单项式，单独的一个数或者字母也是单项式．
如：2x,-2a,a2b,-x2y2，0，n等都是单项式.
知识点二：单项式的系数与次数
（1）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数．
（2）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
练习1.单项式3a2b的系数是___，次数是___.单项式-的系数是__，次数是__.
单项式t的系数是___，次数是___；单项式32的系数是___，次数是__.
单项式的系数是_____，次数是____.此单项式称为__次单项式
※注意：单项式中数与字母是乘积的关系，凡是字母出现在分母中的式子一定不是单项式．
知识点三：多项式、整式
多项式：几个单项式的和叫做多项式.如ab－b2，ab－4c2，ab＋ac＋bc都是多项式．
整式：单项式和多项式统称整式．
多项式的项与次数：
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项.次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数.
练习2.多项式xy +3a+3由__项组成，常数项是__；次数是__，最高次数项的系数是__，是__次__项式．
三.典例与练习
例1.下列代数式子中：①ab＋c，②ax2＋bx＋c，③－5，④π，⑤ab，⑥.是整式的有______，是单项式的有____，是多项式的有____．(只填序号)
练习3.下列式子-xyz；2n；-x2y；m2n；a2x2；πr2h中，是三次单项式的有（ ）
A、3个 B、 4个 C、 5个 D、6个
练习4.填空：（1）单项式-4ab2，3ab，-b2的和是______，它是__次__项式；
（2）3x3-4是__次__项式；3x3-2x-4是__次__项式；-x-2的常数项是__；
（3）a-5a2b3+3ab-1是__次__项式，最高次项是__，最高次项的系数是__，常数项是__；
例2.某小区一块长方形绿地的造型如图2所示（单位：m），其中两个扇形表示绿地，两块绿地用五彩石隔开，那么需铺多大面积的五彩石？
解：需铺五彩石的面积=__________________.
练习5.如图3，一个十字形花坛铺满了草皮，这个花坛草地面积是多少？
解：
四.课堂小结
1．利用字母在一个代数式中是在分子还是在分母上来判断一个式子是否是整式．
2．多项式是“几个单项式的和”中的“和”如何理解．
3．单独一个数或一个字母也是单项式．4．单独一个字母的系数是1次．
5．单项式的次数是所有字母指数的和，千万别和多项式的次数混淆．
五.分层过关
1.下列说法正确的是（ ）
x没有系数 B、-a的次数为0 C、-xy3的次数是3 D、的系数是
2.如果单项式3anb2c是5次单项式，那么n=（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3.下列各多项式中，是二次三项式的是（ ）
A. a2＋b2 B. x＋y＋7 C. 5－x－y2 D. x2－y2＋x－3x2
4.多项式4x2－3x－2是__次__项式，它的项分别是__，__，__．
a2b2＋a3－ab＋1是__次__项式，它的二次项的系数是____．
5.代数式ab﹣πxy﹣x3的次数是__，其中﹣πxy项的系数是____．
6.写出下列各单项式的系数和次数：
代数式 ab
系数 __ __ __ __ __
次数 __ __ __ __ __
7.多项式的次数是__，项数__.
8.如图4，用含a、b的代数式表示图中阴影部分的面积________．
9.3a2b2－2ab2＋ab－1是________次多项式，它有________项，故是________次________项式．
10.观察下列一串单项式的特点：xy，﹣2x2y，4x3y，﹣8x4y，16x5y，…
（1）按此规律写出第9个单项式；
（2）试猜想第n个单项式为多少？它的系数和次数分别是多少？
11.有一个多项式为a10－a9b＋a8b2－a7b3＋…，按这种规律写下去．
（1）写出它的第六项和最后一项；
（2）这个多项式是几次几项式？
图1
图2
图3
图4
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(总课时28)§3．3 整式
一.选择题
1.下列说法正确的是( B )
A．ab2的次数是2 B．1是单项式 C．的系数是-3 D．多项式a+b2的次数是3
2.下列各式，，，，1，xy﹣1，中，单项式有（ B ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
3.单项式的系数和次数分别是（ A ）
A．和6 B．和6 C．﹣2和6 D．和4
4.如果k(k-2)x3-(k-2)x2-9是关于x的二次多项式，则k的值是（ A ）．
A．0 B．2 C．0或2 D．不能确定
5.已知一组按规律排列的式子：，则第2018个式子是( C )
A． B． C． D．
二.填空题
6.单项式3a2b3的次数是__5__．
7.单项式的系数是__；多项式2a﹣5πb2a﹣34的次数是_3．
8.请写出字母只含有m、n，且次数为3的一个单项式-2m2n（答案不唯一）．
9.已知多项式﹣3m3n2+2mn2﹣0.5，它是5次三项式，最高次项的系数﹣3，常数项为-0.5．
10.观察下列一组数的排列规律：
…那么，这一组数的第2019个数是.
代数式 整式 单项式 3a，5，﹣xy.
多项式 ，a2﹣2ab+1
非整式 ,
11.把下列代数式分别填入下表适当的位置：3a，， ， ， 5，﹣xy，a2﹣2ab+1．
三、解答题
12.公司改革实行每月考核再奖励的新制度，大大调动了员工的积极性.2019年一名员工每月奖金的变化如下表：（正数表示比前一月多的钱数，负数表示比前一月少的钱数）单位：（元）
月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 七月
钱数变化 +300 +220 -150 -100 +330 +200 +280
（1）若2018年底12月份奖金为a元，用代数式表示2019年二月的奖金；
（2）请判断七个月以来这名员工得到奖金最多是哪个月？最少是哪个月？它们相差多少元？
（3）若2019年这七个月中这名员工最多得到的奖金是2800元，请问2018年12月份他得到多少奖金？
解：（l）根据题意得：a＋300＋220＝a＋520（元）， 即2019年二月的奖金为（a＋520）元；
（2）一月奖金：（a＋300）元；二月奖金：（a＋520）元；三月奖金：a＋520 150＝a＋370（元）；
四月奖金：a＋370 100＝a＋270（元）；五月奖金：a＋270＋330＝a＋600（元）；
六月奖金：a＋600＋200＝a＋800（元）；七月奖金：a＋800＋280＝a＋1080（元），
最多的是七月份奖金为（a＋1080）元；最少的是四月份奖金为（a＋270）元，相差：1080 270＝810（元）；
（3）由题意知a＋1080＝2800，解得a＝1720，所以2018年12月份他得到奖金1720元．
13.已知：a是单项式-xy2的系数，b是最小的正整数，c是多项式2m2n-m3n2-m-2的次数.请回答下列问题：
(1)请直接写出a、b、c的值.a=-1，b=1，c=5.
(2)数轴上，a、b、c三个数在数轴上所对应的点分别为A、B、C，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动.
①t秒钟过后，AC的长度为4t+6(用含t的关系式表示)；
②请问：BC-AB的值是否会随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值.
解：②不会变化，理由如下：
由题得：BC=2t+4，AB=2t+2，则BC-AB=2
∴BC-AB的值不会随着时间t的变化而改变.
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(总课时28)§3．3 整式
【学习目标】理解单项式、多项式、整式的概念.
【学习重难点】单项式的系数、次数；多项式的项数、次数等概念.
【导学过程】
一.知识回顾
学习了代数式，相信你能用代数式表示下列各题.
1.小芳房间的窗户如图1所示，其中上方的装饰物由两个四分之一圆和一个半圆组成（它们的半径相同）。
（1）装饰物所占的面积是；（2）窗户能射进阳光的部分的面积是ab-；
（窗框面积忽略不计）
2.当水结冰时，其体积大约会比原来增加，x立方米的水结成冰后体积约为立方米；
3.某件商品的成本价为a元，按成本价提高20%后标价，又以八折销售，此件商品的售价为0.96a元.
二.探究新知
知识点一：单项式
像，，0.96a这些代数式包含哪些运算？答：都是数与字母的乘积.
像这样，都是数与字母乘积的代数式叫做单项式，单独的一个数或者字母也是单项式．
如：2x,-2a,a2b,-x2y2，0，n等都是单项式.
知识点二：单项式的系数与次数
（1）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数．
（2）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
练习1.单项式3a2b的系数是3，次数是3.单项式-的系数是-，次数是2.
单项式t的系数是1，次数是1；单项式32的系数是32，次数是0.
单项式的系数是，次数是3.此单项式称为3次单项式
※注意：单项式中数与字母是乘积的关系，凡是字母出现在分母中的式子一定不是单项式．
知识点三：多项式、整式
多项式：几个单项式的和叫做多项式.如ab－b2，ab－4c2，ab＋ac＋bc都是多项式．
整式：单项式和多项式统称整式．
多项式的项与次数：
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项.次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数.
练习2.多项式xy +3a+3由三项组成，常数项是3；次数是3，最高次数项的系数是1，是3次三项式．
三.典例与练习
例1.下列代数式子中：①ab＋c，②ax2＋bx＋c，③－5，④π，⑤ab，⑥.是整式的有①②③④⑤，是单项式的有③④⑤，是多项式的有①②．(只填序号)
练习3.下列式子-xyz；2n；-x2y；m2n；a2x2；πr2h中，是三次单项式的有（ B ）
A、3个 B、 4个 C、 5个 D、6个
练习4.填空：（1）单项式-4ab2，3ab，-b2的和是-4ab2+3ab-b2，它是3次3项式；
（2）3x3-4是3次2项式；3x3-2x-4是3次3项式；-x-2的常数项是-2；
（3）a-5a2b3+3ab-1是5次4项式，最高次项是-5a2b3，最高次项的系数是-5，常数项是-1；
例2.某小区一块长方形绿地的造型如图2所示（单位：m），其中两个扇形表示绿地，两块绿地用五彩石隔开，那么需铺多大面积的五彩石？
解：需铺五彩石的面积=[（a+b）a-(a2+b2)]m2.
练习5.如图3，一个十字形花坛铺满了草皮，这个花坛草地面积是多少？
解：∵一个长a米，宽b米的长方形花坛，四周是四个大小相同的正方形，
∴花坛共有草地面积为：ab-4c 平方米
四.课堂小结
1．利用字母在一个代数式中是在分子还是在分母上来判断一个式子是否是整式．
2．多项式是“几个单项式的和”中的“和”如何理解．
3．单独一个数或一个字母也是单项式．4．单独一个字母的系数是1次．
5．单项式的次数是所有字母指数的和，千万别和多项式的次数混淆．
五.分层过关
1.下列说法正确的是（ D ）
A、x没有系数 B、-a的次数为0 C、-xy3的次数是3 D、的系数是
2.如果单项式3anb2c是5次单项式，那么n=（ A ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3.下列各多项式中，是二次三项式的是（ C ）
A. a2＋b2 B. x＋y＋7 C. 5－x－y2 D. x2－y2＋x－3x2
4.多项式4x2－3x－2是二次三项式，它的项分别是4x2，－3x，－2．
a2b2＋a3－ab＋1是四次四项式，它的二次项的系数是．
5.代数式ab﹣πxy﹣x3的次数是3，其中﹣πxy项的系数是﹣．
6.写出下列各单项式的系数和次数：
代数式 ab
系数 -3 -1 1
次数 2 1 4 2 2
7.多项式的次数是4，项数5.
8.如图4，用含a、b的代数式表示图中阴影部分的面积ab-0.5πb2．
9.3a2b2－2ab2＋ab－1是_四_次多项式，它有_四_项，故是_四__次__四_项式．
10.观察下列一串单项式的特点：xy，﹣2x2y，4x3y，﹣8x4y，16x5y，…
（1）按此规律写出第9个单项式；
（2）试猜想第n个单项式为多少？它的系数和次数分别是多少？
解：（1）∵当n=1时，xy，当n=2时，﹣2x2y，当n=3时，4x3y，
当n=4时，﹣8x4y，当n=5时，16x5y，∴第9个单项式是29﹣1x9y，即256x9y．
（2）∴n为偶数时，单项式为负数．x的指数为n时，2的指数为n﹣1，
∴当n为奇数时的单项式为2n﹣1xny，该单项式为（﹣1）n+12n﹣1xny
它的系数是（﹣1）n+12n﹣1，次数是n+1．
11.有一个多项式为a10－a9b＋a8b2－a7b3＋…，按这种规律写下去．
（1）写出它的第六项和最后一项；
（2）这个多项式是几次几项式？
解：(1)它的第六项： a5b5，最后一项：b10；
(2)这个多项式是十次十一项式.
图1
图2
图3
图4
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(总课时28)§3．3 整式
一.选择题
1.下列说法正确的是( )
A．ab2的次数是2 B．1是单项式 C．的系数是-3 D．多项式a+b2的次数是3
2.下列各式，，，，1，xy﹣1，中，单项式有（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
3.单项式的系数和次数分别是（ ）
A．和6 B．和6 C．﹣2和6 D．和4
4.如果k(k-2)x3-(k-2)x2-9是关于x的二次多项式，则k的值是（ ）．
A．0 B．2 C．0或2 D．不能确定
5.已知一组按规律排列的式子：，则第2018个式子是( )
A． B． C． D．
二.填空题
6.单项式3a2b3的次数是____．
7.单项式的系数是__；多项式2a﹣5πb2a﹣34的次数是_．
8.请写出字母只含有m、n，且次数为3的一个单项式___________．
9.已知多项式﹣3m3n2+2mn2﹣0.5，它是___次三项式，最高次项的系数___，常数项为___．
10.观察下列一组数的排列规律：
…那么，这一组数的第2019个数是________.
代数式 整式 单项式 ____________
多项式 ____________
非整式 ________
11.把下列代数式分别填入下表适当的位置：3a，，，，5，﹣xy，a2﹣2ab+1．
三、解答题
12.公司改革实行每月考核再奖励的新制度，大大调动了员工的积极性.2019年一名员工每月奖金的变化如下表：（正数表示比前一月多的钱数，负数表示比前一月少的钱数）单位：（元）
月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 七月
钱数变化 +300 +220 -150 -100 +330 +200 +280
（1）若2018年底12月份奖金为a元，用代数式表示2019年二月的奖金；
（2）请判断七个月以来这名员工得到奖金最多是哪个月？最少是哪个月？它们相差多少元？
（3）若2019年这七个月中这名员工最多得到的奖金是2800元，请问2018年12月份他得到多少奖金？
13.已知：a是单项式-xy2的系数，b是最小的正整数，c是多项式2m2n-m3n2-m-2的次数.请回答下列问题：
(1)请直接写出a、b、c的值.a=__，b=__，c=__.
(2)数轴上，a、b、c三个数在数轴上所对应的点分别为A、B、C，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动.
①t秒钟过后，AC的长度为______(用含t的关系式表示)；
②请问：BC-AB的值是否会随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值.
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