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(总课时32)§3．5 探索与表达规律（1）
【学习目标】探索数量关系，应用符号表示规律，通过验算证明规律
【学习重难点】探索实际问题中蕴涵的关系和规律
【导学过程】
一.知识回顾
1.（1）一组数据为：2，4，6，8,… ，第n个数可表示为___；
（2）一组数据为：1，3，5，7，9，… ，第n个数可表示为______；
（3）一组数据为：1，1，2，3，5，8，13，… ；
2．下面是用棋子摆成的“小屋子”，摆第10个这样的“小屋子”需要多少枚这样的棋子？摆第n个这样的“小屋子”需要多少枚棋子？
解：第10个：_______________,第n个：____________.
二.探究新知
探究1.观察下面的日历，回答问题。
（1）日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？
（2）这个关系对其他这样的方框成立吗？你能用代数式表示这个关系吗？
（3）你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗？
解：
练习1.如果将方框改为十字形框，你能发现哪些规律 如果改为“H”形框呢？
你还能设计其他形状的包含数字规律的数框吗？
解：
探究2.你在心里想好一个两位数,将十位数字乘以2,然后加上3，再把所得新数乘以5，最后把得到的数加上个位数字。把你的结果告诉我，我就知道你心里想的两位数。
你知道小明怎么算出来的吗
练习2.观察等式：1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，…猜想：1+3+5+7…+99=___．
三.典例与练习
例1.将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表。
（1）十字形框中的五个数之和与中间数15有什么关系？
（2）设中间的数为n，如何用代数式表示十字形框中五个数之和？
（3）十字形框中的五个数之和能等于2019吗？能等于2020吗？
解：
练习3.观察下列球的排列规律（其中●是实心球，○是空心球）：●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●…从第1个球起到第2020个球止，共有实心球的个数为____个．
四.课堂小结
探索规律的一般步骤：
五.分层过关
1.观察下列关于a的单项式，探究其规律：a，3a2，5a3，7a4，9a5，…．按照上述规律，第2019个单项式是（ ）A．2019a2019 B．4039a2019 C．4038a2019 D．4037a2019
2、观察下列式子﹣x﹣1，x2﹣4，﹣x3﹣9，x4﹣16，﹣x5﹣25，…，第n个式子为（ ）
A．（﹣x）n﹣n2 B．﹣xn﹣n2 C．xn﹣n2 D．﹣xn+n2
3.礼堂第一排有a个座位，后面每排都比前一排多一个座位，则第n排座位个数是（ ）
A．a+（n-1） B．n+1 C．a+n D．a+（n+1）
4、按规律找式子：①4+0.2，②8+0.3，③12+0.4，则第四个式子是（ ）
A．12+0.5 B．14+0.5 C．16+0.5 D．18+0.5
5、仔细观察下列数字排列规律，则a＝（ ）
A．206 B．216 C．226 D．236
6.“二十四点”游戏规则：用给定的四个数（用且只用一次）进行加、减、乘、除运算，使其结果等于24．如果所给四数为：-6，4，10，3，那么算式是________________．
7.(1)按下图方式摆放桌子和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐____人；摆5张桌子可坐____人，摆n张桌子可坐________人.
(2)按下图方式摆放桌子和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？
解：摆4张桌子：________人；
摆5张桌子：____________人；
摆n张桌子：____________人.
8.高杨同学用木棒和硬币拼成如图所示的“列车”形状，第1个图需要4根木棒、2枚硬币，第2个图需要7根木棒、4枚硬币，照这样的方式摆下去，……….
（1）第5个图需要木棒的根数为____，硬币的枚数为____；
（2）用n的代数式表示第n个图需要木棒的根数和硬币的枚数是：________和____；
（3）第多少个图形需要木棒的根数与硬币枚数的数量之和为101。
解：(3)
1+4
1+2+8
1+2×2+12
1+2×3+4×4
你心里想的数是78
我的结果是93
你心里想的数是12
我的结果是27
具体问题
观察特例
猜想规律
表示规律
验证规律
成立
不成立
得出结论
图1
图2
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(总课时32)§3．5 探索与表达规律（1）
一.选择题
1.观察下列各数：1，1，，，，…按你发现的规律计算这列数的第7个数为（ ）
A. B. C. D.
2.如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，…，依此规律，第11个图案需（ ）根火柴．
A. 156 B. 157 C. 158 D. 159
3.公园内有一矩形步道，其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成．如图表示此步道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列且总共有个．求步道上总共使用多少个三角形地砖？（ ）
A． B． C． D．
4.下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（ ）
A．52 B．66 C．74 D．82
二.填空题
5.已知一组数2，5，10，17……，则第5个数是___，第10个数是___．
6.观察下列等式：
在上述数字宝塔中，从上往下数，2019在第___层．
7.用火柴棍象如图这样搭三角形：搭7个需要___根火柴棍．
三.解答题
8.观察以下一系列等式：①21﹣20=2﹣1=20；②22﹣21=4﹣2=21；③23﹣22=8﹣4=22；④_____：…
（特别提示：20=1）
（1）请按这个顺序仿照前面的等式写出第④个等式：____________；
（2）根据你上面所发现的规律，用含字母n的式子表示第n个等式：____________；
（3）请利用上述规律计算：20+21+22+23+…+2100．
解：（3）
9.如图，有一个形如四边形的点阵，第1层每边有2个点，第2层每边有3个点，第3层每边有4个点，依此类推．
（1）第10层共有 个点，第n层共有 个点；
（2）如果某一层共有96个点，它是第几层？
解（2）
10.某城市大剧院地面的一部分为扇形，观众席的座位按下列方式设置：
排数 1 2 3 4
座位数 50 53 56 59
按这种方式排下去，
⑴第5、6排各有多少个座位？
⑵第n排有多少个座位？请说出你的理由。
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(总课时32)§3．5 探索与表达规律（1）
【学习目标】探索数量关系，应用符号表示规律，通过验算证明规律
【学习重难点】探索实际问题中蕴涵的关系和规律
【导学过程】
一.知识回顾
1.（1）一组数据为：2，4，6，8,… ，第n个数可表示为2n；
（2）一组数据为：1，3，5，7，9，… ，第n个数可表示为(2n-1)；
（3）一组数据为：1，1，2，3，5，8，13，… ；
2．下面是用棋子摆成的“小屋子”，摆第10个这样的“小屋子”需要多少枚这样的棋子？摆第n个这样的“小屋子”需要多少枚棋子？
解：第10个：1+2×9+4×10=59,第n个：1+2（n-1）+4n=6n-1
二.探究新知
探究1.观察下面的日历，回答问题。
（1）日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？
（2）这个关系对其他这样的方框成立吗？你能用代数式表示这个关系吗？
（3）你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗？
解：（1）9个数的和为中间数的9倍；
（2）任意框9个数，设中间的数为a，则左右两边数为a-1，a+1，上行邻数为（a-7），下行邻数为（a+7），左右上角邻数为（a-8），（a-6），左右下角邻数为（a+6）,（a+8）之和为a+a-1+a+1+a-7+a+7+a-8+a-6+a+6+a+8=9a；
（3）第二行3个数的和＝(a－1)＋a＋(a＋1)＝3a．
第二列3个数的和＝(a－7)＋a＋(a＋7)＝3a．
对角线上3个数的和分别为(a－6)＋a＋(a＋6)＝3a，(a－8)＋a＋(a＋8)＝3a．
由此可以发现：方框“十”字位上的3个数的和，对角线上3个数的和相等，且都等于正中间数的3倍．
练习1.如果将方框改为十字形框，你能发现哪些规律 如果改为“H”形框呢？
你还能设计其他形状的包含数字规律的数框吗？
解：“十”字形：5个数的和是中间这个数的5倍
“H”形：7个数的和是中间这个数的7倍。
设计成“W”形，它与“H”形一样，6个数的和是中间这个数的9倍。
探究2.你在心里想好一个两位数,将十位数字乘以2,然后加上3，再把所得新数乘以5，最后把得到的数加上个位数字。把你的结果告诉我，我就知道你心里想的两位数。
你知道小明怎么算出来的吗
解：设小亮想的数字是10x+y，根据小明的算法,得到的数是（2x+3）×5+y=10x+y+15,再由小亮的结果即10x+y+15,所以结果减15就是这个两位数.
练习2.观察等式：1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，…猜想：1+3+5+7…+99=502．
三.典例与练习
例1.将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表。
（1）十字形框中的五个数之和与中间数15有什么关系？
（2）设中间的数为n，如何用代数式表示十字形框中五个数之和？
（3）十字形框中的五个数之和能等于2019吗？能等于2020吗？
解：（1）13+15+17+5+25=75=5×15,是15的倍数.
设中间是数为n，其余数为n-10，n+10，n-2，n+2，五个数之和为n-10+n+10+n-2+n+2+n=5n，则任意一个十字形框中的五个数之和与中间的数的关系是五个数之和为中间数的5倍；
（3）根据（2）得：5n=2019，无整数解，∴这五个数之和不能等于2019；
同理：当5n=2020时，n=404,∴n-10=394，n+10=414，n-2=402，n+2=406，
则五个数分别为394，414，404,402，406.
练习3.观察下列球的排列规律（其中●是实心球，○是空心球）：●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●…从第1个球起到第2020个球止，共有实心球的个数为606个．
四.课堂小结
探索规律的一般步骤：
五.分层过关
1.观察下列关于a的单项式，探究其规律：a，3a2，5a3，7a4，9a5，…．按照上述规律，第2019个单项式是（ D ）A．2019a2019 B．4039a2019 C．4038a2019 D．4037a2019
2、观察下列式子﹣x﹣1，x2﹣4，﹣x3﹣9，x4﹣16，﹣x5﹣25，…，第n个式子为（ A ）
A．（﹣x）n﹣n2 B．﹣xn﹣n2 C．xn﹣n2 D．﹣xn+n2
3.礼堂第一排有a个座位，后面每排都比前一排多一个座位，则第n排座位个数是（ A ）
A．a+（n-1） B．n+1 C．a+n D．a+（n+1）
4、按规律找式子：①4+0.2，②8+0.3，③12+0.4，则第四个式子是（ C ）
A．12+0.5 B．14+0.5 C．16+0.5 D．18+0.5
5、仔细观察下列数字排列规律，则a＝（ C ）
A．206 B．216 C．226 D．236
6.“二十四点”游戏规则：用给定的四个数（用且只用一次）进行加、减、乘、除运算，使其结果等于24．如果所给四数为：-6，4，10，3，那么算式是10-4-3×（-6）=24．
7.(1)按下图方式摆放桌子和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐_12_人；摆5张桌子可坐14_人，摆n张桌子可坐_2n+4_人.
(2)按下图方式摆放桌子和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？
解：摆4张桌子：18人
摆5张桌子：22人
摆n张桌子：(4n+2)人
8.高杨同学用木棒和硬币拼成如图所示的“列车”形状，第1个图需要4根木棒、2枚硬币，第2个图需要7根木棒、4枚硬币，照这样的方式摆下去，……….
（1）第5个图需要木棒的根数为16，硬币的枚数为10；
（2）用n的代数式表示第n个图需要木棒的根数和硬币的枚数是：3n+1和2n；
（3）第多少个图形需要木棒的根数与硬币枚数的数量之和为101。
解：(3)由题意得，3n+1+2n=101
解得：n=20,故答案为：20
1+4
1+2+8
1+2×2+12
1+2×3+4×4
你心里想的数是78
我的结果是93
你心里想的数是12
我的结果是27
具体问题
观察特例
猜想规律
表示规律
验证规律
成立
不成立
得出结论
图1
图2
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(总课时32)§3．5 探索与表达规律（1）
一.选择题
1.观察下列各数：1，1，，，，…按你发现的规律计算这列数的第7个数为（B ）
A. B. C. D.
2.如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，…，依此规律，第11个图案需（B ）根火柴．
A. 156 B. 157 C. 158 D. 159
3.公园内有一矩形步道，其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成．如图表示此步道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列且总共有个．求步道上总共使用多少个三角形地砖？（ A ）
A． B． C． D．
4.下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（ C ）
A．52 B．66 C．74 D．82
二.填空题
5.已知一组数2，5，10，17……，则第5个数是26，第10个数是101．
6.观察下列等式：
在上述数字宝塔中，从上往下数，2019在第44层．
7.用火柴棍象如图这样搭三角形：搭7个需要15根火柴棍．
三.解答题
8.观察以下一系列等式：①21﹣20=2﹣1=20；②22﹣21=4﹣2=21；③23﹣22=8﹣4=22；④_____：…
（特别提示：20=1）
（1）请按这个顺序仿照前面的等式写出第④个等式：24-23=16-8=23；
（2）根据你上面所发现的规律，用含字母n的式子表示第n个等式：2n-2（n-1）=2（n-1）；
（3）请利用上述规律计算：20+21+22+23+…+2100．
解：（3）根据规律：21-20=2-1=20；22-21=4-2=21；23-22=8-4=22；24-23=16-8=23；…2101-2100=2100；
将这些等式相加得：20+21+22+23+…+2100=2101-20=2101-1．
∴20+21+22+23+…+2100=2101-1．
9.如图，有一个形如四边形的点阵，第1层每边有2个点，第2层每边有3个点，第3层每边有4个点，依此类推．
（1）第10层共有 40 个点，第n层共有 4n 个点；
（2）如果某一层共有96个点，它是第几层？
解（2）若4n=96，则n=24，
10.某城市大剧院地面的一部分为扇形，观众席的座位按下列方式设置：
排数 1 2 3 4
座位数 50 53 56 59
按这种方式排下去，
⑴第5、6排各有多少个座位？
⑵第n排有多少个座位？请说出你的理由。
解(1)因为后一排都前一排多3个座位,所以第5排有62个座位,第6排有65个座位,
(2)第一排有50个座位,以后每排都比前一排多3个座位,所以第n排有座位50+3(n－1)个,即(3n+47)个.
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