2.1 等式性质与不等式性质 讲义（表格式 无答案）2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

等式性质与不等式性质
教学目标 理解并会证明不等式的性质，能用不等式的性质比较大小
【知识点框架】 一、比较两实数a，b大小的依据 文字叙述符号表示如果a-b是正数，那么a＞ba-b＞0 a＞b如果a-b等于0，那么a＝ba-b＝0 a＝b如果a-b是负数，那么a＜ba-b＜0 a＜b
二、重要不等式 a,b∈R,有a +b 2ab,当且仅当a=b时,等号成立. 思考： 1.网上发布了“明天气温是今天气温的2倍”的信息，各地有不同的反应： （1）一位南方的网友做出的第一反应是“明天升温了”； （2）一位北方的网友做出的第一反应是“明天降温了”； （3）另一位北方的网友做出的第一反应是“明天的气 温没有变化”. 请从数学上解释为什么不同地方的网友会有不同的反应. 2.用作差法比较两个实数的大小时，对差式应如何变形 三、不等式的性质 性质别名性质内容注意1对称性可逆2传递性不可逆3可加性可逆4可乘性的符号5同向可加性同向6同向同正可乘性同向7可乘方性同正
思考： 1.对于“甲的年龄大于乙的年龄”，你能换一种方式叙述吗 2.如果甲的个子比乙的个子高，乙的个子比丙的个子高，你能得出甲的个子与丙的个子哪一个高吗 3.不平衡的天平两边同时加上相等的砝码或同时将两边的砝码加倍或减半会改变天平的状态吗 4.如果a＞b,那么ac＞bc成立吗 由上述问题的研究，你能得出相应的数学结论吗 【例题练习】 题型一：用不等式(组)表示不等关系 例1.某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套 4张，如果每种邮票至少买两套，那么买票面 8角的套与票面2元的套用不等式表示为( ) A. B. C. D.以上都不对 总结： （1）数学学习中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系.用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：①要先读懂题，设出未知量；②抓关键词，找到不等关系；③用不等式表示不等关系.思维要严密、规范. （2）常见的文字语言与符号语言之间的转换： 文字语言大于，高于，超过小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不超过符号语言＞＜≥≤
练习： 1.如图，在一个面积为200m 的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长大于宽的4倍，则表示上面叙述的不等关系正确的是( ) A. B. C. D. 题型二：比较大小 例2.（1）比较x +3与3x的大小，其中x∈R. （2）已知x＞3,比较x +3与3x +x的大小. （3）已知x,y∈R,求证:x +2y ≥2xy+2y-1. 总结：（1）作差法比较a与b的大小，归结为判断它们的差a-b的符号(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要). （2）确定差的符号往往有两种方法(类型)： ①将差式化成几个非负数或非正数的和的形式(如(1)题). ②将差式化成几个因式乘积的形式(如(2)题). （3）作差法比较大小的步骤： 作差→变形→定号→下结论. 练习： 1.关于x的不等式ax－b＞0的解集是{x|x＞-1},则关于x的不等式(bx－a)(x－3)＞0的解集是( ) A.{x|x＜-1或x＞3} B.{x|-1＜x＜3} C.{x|1＜x＜3} D.{x|x＜1或x＞3} 2.已知a＞b,求证:a －b ＞ab(a－b). 题型三：重要不等式的应用 例3.已知a,b,c∈R,求证:a ＋b －c ≥ab＋bc＋ca. 总结： （1）重要不等式: a,b∈R,有a ＋b ≥2ab,当且仅当a＝b时取等号. （2）仔细观察，如果不等式具有重要不等式的结构，就可以采用重要不等式来证明，注意等号成立的条件. 练习： 1.已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＞ab＋bc＋ca. 题型四：应用问题 例4.某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往.甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受 7.5 折优惠.”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠.”这两车队的收费标准、车型都是一样的.试根据此单位去的人数.比较两车队的收费哪家更优惠. 总结： 　 (1)“最优方案”问题，首先要设出未知量，搞清楚比较的对象，然后把这个未知量用其他的已知量表示出来，通过比较即可得出结论. 　　(2)这是一道与不等式有关的实际应用问题，解答时要有设有答，步骤完整. 练习： 1.甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走.如果m≠n，甲、乙两人谁先到达指定地点 题型五：不等式性质 例5.分别判断下列各命题是否成立，并简述理由. （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 总结： （1）不等式的运算一定要依据加、乘规律以及传递性进行，不能自己“制造”性质及运算. （2）取特殊值要有一定的目的性、方向性，盲目取值，既费时间，效果又差. 练习： 1.【多选题】下列命题中正确的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 2.若a＞b＞c且a+b+c=0,则下列不等式中正确的是( ) A. ab＞ac B. ac＞bc C. a|b|＞c|b| D. a ＞b ＞c 题型六：不等式性质的应用 例6.在不等式以及后续的学习中，经常会遇到一个重要问题:若,是否有？(讲清此类问题可以深刻理解不等式的可乘性) 总结：(1)本题目的是要学生明确不能贸然由，这是学生容易出错的地方. 　 　(2)本题是不等式性质4的一个典型应用.它可作为今后有关不等式问题的一个非常重要的定理，请给予足够的关注. (3)命题:若，且，则 　　 即若同号，且，其倒数的不等号方向与原不等式的方向(不等号)相反，这一结论在后面的学习中有着广泛的应用，不注意条件同号也是不等式问题中常见错误之一. 例7.已知，求证:. 总结： （1）利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式，一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质及其推论，并注意在解题中灵活准确地加以应用. （2）利用不等式的性质进行证明时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步证明，更不能随意构造性质与法则. 方法一(性质法)简单快捷，但思路不易发现； 方法二(作差法)思路简单，但通分较麻烦； 方法三(作商法)首先需要判断两个式子的符号，然后再判断其比值与1的大小关系，证明步骤较复杂. 练习： 1.已知四个条件:①b＞0＞a;②0＞a＞b;③a＞0＞b;④a＞b＞0,能推出成立的是 (填写所有正确的序号). 2.已知为非零实数,则“”是“”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知，求证: 题型七：利用不等式性质求数式的范围 例8.如果，求 ①的取值范围；②的取值范围. 例9.已知-1≤x＋y≤4,且2≤x－y≤3,则z=2x－3y的取值范围是 . 总结： （1）利用不等式性质求范围的方法： ①借助性质，转化为同向不等式相加进行解答. ②所给条件尽量整体使用，切不可随意拆分所给条件. ③结合不等式的传递性进行求解. （2）求代数式的取值范围是不等式性质的应用的一个重要内容.解题时应将条件式视为一个整体，并用其表示所求范围的量，同时注意取等号的条件是否具备.切不可利用不等式的性质分别求出变量自身的范围，再去求由此构成的代数式的取值范围，这往往会扩大代数式的范围. 练习： 1.若,求的取值范围. 2.已知实数x,y满足-1≤x＋y≤1,-1≤x＋2y≤3,求x＋3y的取值范围. 【课后巩固】 1.不等式a ＋1≥2a中等号成立的条件是( ) A. a=±1 B. a=1 C. a=-1 D. a=0 2.已知a＞b＞c,则的值是( ) A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数 3.(1)若x为实数,则x -1与2x-5的大小关系是 . (2)若a,b∈R,则a +b 与2|ab|的大小关系是 . 4.已知a,b,x均为正数,且a＞b,则 (填“＞”“＜”或“＝”). 5.用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于96 m ，靠墙的一边长为x米.试用不等式(组)表示其中的不等关系. 6.若a，b，c为实数，则下列命题错误的是( ) A.若ac ＞bc ，则a＞b B.若a＜b＜0，则a ＜b C.若a＞b＞0，则 D.若a＜b＜0，c＞d＞0，则ac＜bd 7.设a,b,c∈R,且a＞b,则( ) A. ac ＞bc B. C. a ＞b D. a ＞b 8.已知a＋b＞0,b＜0,那么a,b,-a,-b的大小关系是 ( ) A. a＞b＞-b＞-a B. a＞-b＞-a＞b C. a＞-b＞b＞-a D. a＞b＞-a＞-b 9.若，那么的取值范围是 . 10.若-3＜a＜b＜1,-2＜c＜-1,求(a－b)c 的取值范围.