4.2等差数列 讲义（无答案）2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

等差数列
等差数列的定义：每一项与它的前一项的差等于同一个常数，
那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示
理解：1、“每一项与它的前一项的差”指出了作差的顺序性，不可颠倒。
2、其中是与无关的常数，对，或
二、递推公式：（）或
三、等差数列的通项公式
1、等差数列的通项公式：中，为首项，为公差
2、通项公式的推导
累加法：
3、通项公式的理解
（1）基本量：、；其中比较重要，可用其他量进行替代；
（2）是数列中任意两项，则是通项公式的变形公式，经常使用。
公差求法(计算用)：相减找公差：（斜率）
函数本质： 等差数列通项公式本质：自变量是的一次函数
公差是一次项系数（记忆），当时，递增数列；
当时；递减数列；
当时，为常数列
【例1】已知数列是等差数列，写出通项公式：
首相为，公差为；
，；
，
解：（1）方法一：公式，
方法二：函数
公式，
函数思想：，，代入，解得
【例2】计算下列等差数列的项数
（1）
（2）
解：（1），； 共120项
，，共15项
【例3】（多选）下列说法正确的是（ ）
A、给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式
B、若等差数列的公差，则为递增数列
C、若成等差数列，则可能成为等差数列
D、若数列是等差数列，则数列不一定是等差数列
解：A错误；B正确；C正确，时；D错误，一次函数相加仍为一次函数；答案为BC
【例4】若是等差数列，则由下列关系确定的数列也一定是等差数列的是（ ）
B、 C、 D、
解：方法一：定义：为定值
方法二：函数角度，为一次函数，答案C
【例5】已知数列是等差数列，且，则（ ）
B、 C、 D、
解：，相减找公差
，答案B
【例6】已知是等差数列，，，则数列中为正数的项的个数为（ ）
A、4 B、5 C、6 D、7
解：列方程，
，答案为B
【例7】已知等差数列各项均为正数，，且，若，则_______
解：
【例8】首项为的等差数列，从第项起开始为正数，则公差的取值范围是________
解：，可知，解得
【例9】已知是等差数列，满足，则该数列中一定为零的项为（ ）
B、 C、 D、
解：
,答案B
【例10】已知数列的通项公式为，求数列的通项公式
解：方法一:是等差数列，项数分别是的也是等差数列，
所以首项是5，,的通项公式为
注意：数列的本质是函数，函数的所有考法数列都有，此题考查复合数列
四、、项之间的关系（三人行，必有我师焉！三项走，必有项在中间）
1、等差中项：任取相邻的三项，则是等差数列
2、等差中项进阶拓展：相差相同间隔满足等差中项：
3、再拓展：若，则（反之不成立），等号左右两侧项数相等！
相加找中项（计算用）：
.............
【例11】已知直角三角形的三边顺次成递增的等差数列，求该三角形的面积
解：
【例12】若等差数列满足，，则公差_______
解：，，
【例13】已知等差数列中，若，，则________
解：，
【例14】已知等差数列中，若，，且，则____
解：，
，
【例15】在等差数列中，若，则_________
解:,
【例16】设是等差数列，下列结论正确的是（ ）
A、若，则 B、若，则
C、若，则 D、若，则
解：A选项，单调性不确定，排除
B选项，单调性不确定，排除
D选项矛盾老舍
C选项，等差数列为算数平均值，等比数列为叫做几何平均值
均值不等式中，，且满足“一正、三不等”
【例17】已知数列满足，且，则的最大值为________
解：分析：求最值问题2条路径：①函数求最值，②均值不等式求最值；本题用函数求最值
解：，开口向下，对称轴为
最大值为
本题改成：数列各项为正数，求的最大值
解：
【例18】已知数列满足递推关系：，且，则通项公式
【例19】已知数列满足递推关系：，且，则通项公式
【例20】已知数列满足递推关系：，且，则通项公式
【例21】已知数列满足递推关系：，且，则通项公式