5.7三角函数的应用 讲义（表格式）2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

三角函数的应用
教学目标 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，掌握解决实际问题的方法
【知识点框架】 一、函数中，的物理意义 （1）简谐运动的振幅是 . （2）简谐运动的周期T= . （3）简谐运动的频率 . （4） 称为相位. x=0时的相位 称为初相. 二、运用三角函数模型解决问题的几种类型 （1）由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式,例如:,然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中需要结合函数性质. （2）由图象研究函数性质：观察分析函数图象，求单调性、奇偶性、对称性、周期性. （3）利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题. 思考： 函数的振幅、周期、初相分别是多少 【例题练习】 题型一：中参数的物理意义 例1.已知函数. (1)用五点法作出它的简图； (2)填空回答问题： ①振幅是 .②周期是 .③频率是 .④相位是 . ⑤初相是 .⑥定义域是 .⑦值域是 . ⑧当x= 时，ymax= ；当x= 时，ymin= . ⑨单调递增区间是 ，单调递减区间是 . ⑩当x∈ 时,y＞0；x∈ 时,y＜0；x∈ 时,y＝0; 图象的对称轴方程为 . 图象的对称中心坐标是 . 总结：利用图象求函数的解析式的基本步骤: （1）求； 　　（2）求ω：根据图象得出最小正周期T，可得出； 　　（3）求初相：将对称中心点、最高点或最低点的坐标代入函数解析式可求出的值. 　　 练习： 1.已知函数，如果表示一个振动量，指出其最小正周期，频率及初相. 2.函数的部分图象如图，则它的振幅A 与最小正周期T分别是( ) A. B. C. D. 3.振动量的初相和频率分别是-π和,则它的相位是 . 题型二：三角函数在物理中的应用 例2.已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间 t(s)的变化规律为.用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题： (1)小球在开始振动(t=0)时的位移是多少 (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少 (3)经过多长时间小球往复振动一次 总结：处理物理学问题的策略： 　　(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性. 　　(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题. 练习： 1.单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为. (1)作出函数的图象； (2)当单摆开始摆动(t=0)时，离开平衡位置的距离是多少 (3)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少 (4)单摆来回摆动一次需多长时间 题型三：三角函数的实际应用 例3.已知某海滨浴场的海浪高度y(m)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作y=f(t)，下表是某日各时的浪高数据. t/时03691215182124y/m1.51.00.51.01.51.00.50.991.5
经长期观测，y=f(t)可近似地看成是函数. (1)根据上表数据,求函数的最小正周期T、振幅A 及函数解析式； (2)依据规定，当海浪高度等于或高于1m时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内8时至20时之间，有多长时间可供冲浪爱好者进行运动. 总结： (1)解三角函数应用问题的基本步骤： （2）在日常生活中呈周期变化的现象，可利用三角函数模型描述其变化规律，并结合各参数的实际意义解决相关问题. 练习： 1.已知某地一天从4—16时的温度y(单位：℃)随时间x(单位：h)的变化曲线近似满足函数 (1)求该地区这一段时间内的最大温差； (2)若有一种细菌在 15 ℃到 25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间 【课后巩固】 1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙点的位置将处于图中的( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 2.电流I(A)随时间t(s)变化的关系是,则电流I变化的周期是( ) A. B.50 C. D.100 3.如图所示的是一个单摆，以平衡位置OA为始边、OB为终边的角与时间t(s)满足函数关系式,则当t=0时角的大小及单摆的频率是( ) A. B. C. D. 4.如图，某港口一天6时到18时的水深 y(单位：m)随时间x(单位：时)的变化曲线近似满足函数,据此函数可知，这段时间水深的最大值为( ) A.5 B.6 C.8 D.10 5.一根长cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为,其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1s时,线长 cm. 6.交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用来表示,求：(1)开始时的电压； (2)最大电压值重复出现一次的最短时间间隔； (3)电压的最大值和第一次取得最大值的时间.