函数的对称性讲义（含答案）2024届高三数学一轮复习

函数的对称性（讲+练）含答案
知识储备：函数的奇偶性、单调性、周期性
同一函数的对称性
轴对称 点对称
推论
特例
偶函数 奇函数
技巧：内部相反轴对称，内外均反点对称
习题精练
一、单选题
1.已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上单调递增，则( )
A. B.
C. D.
2.已知是定义域为的奇函数，满足若，则( )
A. B. 0 C. 2 D. 50
3.已知函数记，，，则( )
A. B.
C. D.
4.已知函数，则( )
A. 在单调递增 B. 在单调递减
C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称
5.定义在R上的偶函数满足，对，，都有，则有( )
A. B.
C. D.
6.已知函数的定义域为当时，；当时，；当时，，则( )
A. B. 1 C. 0 D. 2
7.已知函数，则( )
A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称
C. 在单调递减 D. 在上不单调
8.已知定义在R上的奇函数满足，若且时，都有，则下列结论正确的是( )
A. 图象关于直线对称 B. 在上为减函数
C. 图象关于点中心对称 D. 在上为增函数
二、多选题
9.下列函数中，图象关于原点对称的是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数及其导函数的定义域为R，记若，均为偶函数，则( )
A. B. C. D.
11.已知是定义在R上的偶函数，且，若当时，，则下列结论正确的是( )
A. 当时， B.
C. 的图像关于点对称 D. 函数有3个零点
12.据新华社电，记者3月12日从中国卫星导航系统管理办公室了解到，北斗三号全球卫星导航系统自2020年建成开通以来，运行连续稳定可靠，持续提供功能强大的卫星导航服务，高精度、短报文等特色服务能力已得到充分验证.北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数，近似模拟其信号，为的导函数，则下列说法正确的是( )
A. 为偶函数 B. 的图象关于点对称
C. 的最小正周期是 D. 的最大值为5
三、填空题
13.定义域为R的偶函数为周期函数，其周期为8，当时，，则__________.
14.写出一个同时满足下列三个条件的函数的解析式__________.①；②；③在上单调递增.
15.函数满足，且在区间上，，则的值为__________.
16.已知函数为奇函数，且，当时，，给出下列四个结论：
①图象关于对称；
②图象关于直线对称；
③；
④在区间单调递减.
其中所有正确结论的序号是__________
17.若，则__________.
答案和解析
1.【答案】A
2.【答案】C
【解答】
解：函数是奇函数，故有，，
又函数满足，即有，进而得到，
函数是周期为4的函数，
若，可得，
，，
…，
故选
3.【答案】A
解：函数图象关于直线对称，则，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
则
故选
4.【答案】C
解：由题意得函数的定义域为，
，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，故选项A，B错.
由于函数，的图像关于直线对称，
所以函数的图像关于直线对称.
故选
5.【答案】B
解：因为函数满足，
所以，，得，
则函数是周期为8的函数，
所以，
，
，
又函数为偶函数，
则，
又对任意且，都有，
则函数在区间上为增函数，
进而有，
即
故选
6.【答案】D
解：因为当时，
故，
所以当时，周期为1，
所以，
当时，，
所以，
因为当时，，
所以，
故
故选
7.【答案】B
解：根据题意，函数，有，解可得，即函数的定义域为，
，
有，则的图象关于点对称，不关于直线对称，B正确，A错误，
在上为增函数，在区间上为减函数，
则在上为增函数，C、D都错误，
故选：
8.【答案】C
解：函数为R上奇函数，，，
，，
函数的一个对称中心为，一条对称轴为，4是函数的一个周期.
对于A，根据周期性及对称性知函数的一条对称轴为或，A选项错误；
对于B，时，都有，
，都有，
函数在上单调递增，由奇偶性知函数在上单调递增，
函数在上单调递增，再由周期性知函数在上单调递增，B错误；
对于C，，函数图象关于点中心对称，C正确；
对于D，是函数的一条对称轴，所以函数在上不单调，D错误.
故选
9.【答案】ABC
解：由可得，，R，函数为奇函数，图象关于原点对称；
由可得，，R，函数为奇函数，图象关于原点对称；
由可得，，R，函数为奇函数，图象关于原点对称；
由知，，所以，Z，定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数，图象不关于原点对称，
故选
10.【答案】BC
【解答】解：由为偶函数可知关于直线对称，
由为偶函数可知关于直线对称，
结合，根据关于直线对称可知关于点对称，
根据关于直线对称可知：关于点对称，
综上，函数与均是周期为2的周期函数，所以有，所以A不正确;
，，，故，所以C正确.
，，所以B正确;
又，所以，所以D不正确.
11.【答案】ABD
解：是定义在R上的偶函数，当时，，
当时，，
，故A正确；
函数满足，
，即函数的周期函数，周期为4，
，故B正确；
，函数为偶函数，
，
则函数关于对称，故C错误；
由题意，作出函数与的图像，
由图像得交点个数为3，即函数有3个零点，故D正确.
故选
12.【答案】AB
解：对于 A选项，函数的定义域R关于原点对称，
，
所以函数为偶函数，故A正确；
对于 B选项，，
即，
又为偶函数，故，
故函数的图象关于点对称，即 B正确；
对于 C选项，，
所以对于函数定义域中任意一个自变量x，不恒成立，
因此其最小正周期不是，故 C错误；
对于 D选项，
，
当，，，，同时取最小值时，取最大值5，
当时，，则，
即，不能同时取最小值，故取不到最大值5，即D错误.
13.【答案】0
解：定义域为R的偶函数为周期函数，其周期为8，
当时，，
故答案为：
14.【答案】答案不唯一
解：因为，，
所以函数的对称轴为，函数的对称中心为，
易知该函数可以是余弦型函数，
不妨取，
当时，；当时，，
则函数满足条件①②；
因为，则，
易知函数在上单调递减，
所以函数在上单调递增，满足条件③，
所以函数
故答案为：答案不唯一，满足条件即可
15.【答案】
解：由得函数是周期为4的周期函数，
则，
，
即，
故答案为：
16.【答案】①②④
解：根据题意，因为为奇函数，
所以的图象关于对称，即，
因为，
所以函数的图象关于对称，即，
，即，故函数是周期的周期函数，
对于①，的图象关于对称，且的周期为4，则的图象关于对称，故①正确；
对于②，因为，令得，又的周期为4，故，即图象关于直线对称，故②正确；
对于③，是周期的周期函数，且当时，，
则，故③错误；
对于④，当时，，易得在为增函数，
而图象关于直线对称，在在区间上为减函数，
又由是周期的周期函数，且，，则在区间上单调递减，故④正确；
故答案为①②④.
17.【答案】1011
解：，
，
故答案为