基本不等式的实际应用讲义-2024届高三数学一轮复习（含答案）

基本不等式的实际应用（讲+练）含答案
一、知识梳理
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．
(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤ (a，b∈R)．
(4)≥(a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．利用基本不等式求最值：和定积大，积定和小
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
二、思路整理
利用不等式解决实际问题利用一元一次不等式解决实际问题的基本步骤与利用一元一次方程解决实际问题的基本步骤类似，即：
第一步：审，认真审题，分清已知量、未知量之间的关系，找出符合题目全部意义的不等关系，要抓住题目中的关键字眼，如：“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等；
第二步：设，设出适当的未知数，一般是直接设未知数，也可根据题目实际间接设未知数；
第三步：列，根据找出的不等关系，列出不等式；
第四步：解，解出所列的不等式；第五步：答检验答案是否符合题意，并写出答案。
在以上步骤中，审题是基础，根据不等关系列出不等式是关键，而根据题意找出不等关系是解题难点。
三、习题精练
基础达标练
1.如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙墙的长度没有限制的矩形菜园，设菜园的长为xm，宽为
若菜园面积为，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小;
若使用的篱笆总长度为30m，求的最小值．
2.第三届进口博览会将于11月5日至10日在上海青浦国家会展中心举行，某参展企业为了制作一份精美的宣传画册，要求纸张的形状为矩形，面积为，如图所示：其中上边，下边和左边各留宽为的空白，右边留宽为的空白，中间阴影部分为文字宣传区域；设矩形画册的长为，宽为，文字宣传区域面积为
用a，b表示S；
当a，b各为多少时，文字宣传区域面积最大？最大面积是多少？
3.某单位建造一间背面靠墙的小房，地面是面积为的矩形，房高为因地理位置的限制，房屋侧面的宽度x不得超过5米，房屋正面的造价为400元，房屋侧面的造价为150元，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，不计房屋背面的费用，设房屋的总造价为y元．
求y用x表示的函数关系式；
当x为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？
4.2020年5月5日18时0分我国长征五号B运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它标志着我国的空间站工程建设进入实质阶段．长征五号B运载火箭的设计生产采用了很多新技术新产品，甲工厂承担了某种产品的生产，并以x千克/时的速度匀速生产时为保证质量要求，每小时可消耗A材料千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克，消耗A材料总重量为y千克，那么要使生产1000千克该产品消耗A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少？
5.如图所示，某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路，大棚占地面积为S平方米，其中
试用x，y表示S；
若要使S的值最大，则x，y的值各为多少？
能力提升练
6.某商场预计全年分批购入电视机3600台，其中每台价值2000元，每批购入的台数相同，且每批均需付运费400元，储存购入的电视机全年所付保管费与每批购入的电视机的总价值不含运费成正比，比例系数为k，若每批购入400台，则全年需要支付运费和保管费共43600元.
求k的值；
请问如何安排每批进货的数量，使支付运费与保管费的和最少？并求出相应最少费用.
如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，点C在MN上，米，米．
要使扩建成的花坛面积大于27米，则AN的长度应在什么范围内？
当AN的长度是多少米时，扩建成的花坛面积最小？并求出最小面积．
8.小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收人均为25万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为万元国家规定大货车的报废年限为10年
大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出
在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大利润=累计收入+销售收入一总支出
9.某企业为响应国家号召，研发出一款特殊产品，计划生产投入市场.已知该产品的固定研发成本为180万元，此外，每生产一台该产品需另投入450元.设该企业一年内生产该产品万台并委托一家销售公司全部售完.根据销售合同，时，销售公司按零售价支付货款给企业时，销售公司按批发价支付货款给企业.已知每万台产品的销售收入为万元，满足：
写出年利润单位：万元关于年产量单位：万台的函数关系式利润=销售收入-固定研发成本-产品生产成本
当年产量为多少万台时，该企业的获利最大 并求出此时的最大利润.
10.经调查测算，某产品的年销售量即该厂的年产量万件与年促销费用m万元满足为常数，若不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的倍产品生产成本包括固定投入和再投入两部分资金
将2018年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大
答案和解析
1.【答案】解：由已知可得，篱笆总长为
又因为，
当且仅当，即，时等号成立.
所以当，时，可使所用篱笆总长最小.
由已知得，
又因为
，
所以，当且仅当，即，时等号成立.
所以的最小值是
2.【答案】解：由题设可得，
其中且
由可得，
由基本不等式可得，
当且仅当，时等号成立，
故当，时，

3.【答案】解：因为侧面长度为xm，所以正面长度为
故依题意
；
由得：，当且仅当时取等号，
所以，时，，
所以当侧面宽度为4米时，总造价最低，最低造价为13000元.
4.【答案】解：由题意，得，即，生产1000千克该产品需要的时间是，
所以生产1000千克该产品消耗的A材料为 ，
当且仅当，即时，等号成立，且
故工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的A材料最少，最少为6000千克．
5.【答案】解：由题意知：，且，
即，，
上面矩形的长为，下面矩形的宽为，
则
因为，所以，
所以，
当且仅当时取到等号．此时，
所以要使S的值最大，米，米．

6.【答案】解：由题意，当每批购入400台时，全年的运费为元，
每批购入的电视机的总价值为元，所以保管费为元
因为全年需要支付运费和保管费共43600元，
所以，解得
设每批进货x台，则运费为，
保管费为，
所以支付运费与保管费的和为，
因为，
当且仅当，即时取到等号，
所以每批进货120台，支付运费与保管费的和最少，最少费用为24000元.
7.【答案】解：设米，则
∽，，
则，
花坛AMPN的面积
由，得，即，解得或，
故AN的长度范围是或米
由
，
当且仅当，即米时，等号成立．
当AN的长度是4米时，扩建成的花坛AMPN的面积最小，最小值为24平方米．
8.【答案】解：设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，
则10，，
由，可得
因为，
所以大货车运输到第3年年底，该车运输累计收入超过总支出.
因为利润=累计收入+销售收入-总支出，
所以二手车出售后，小王的年平均利润为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以小王应当在第5年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大.

9.【答案】解：当时，
；
当时，
；
所以，；
当时，，
令，则，
，在上单调递增，在上单调递减，
的最大值为，
所以当时，取得最大值
此时企业亏损，所以最大获利一定在时取得，
此时
，
当且仅当，即负值舍去时等号成立，
此时取得最大值，且最大值为2270，
所以当年产量为30万台时，该企业的获利最大，且此时的最大利润为2270万元.
10.【答案】解：由题意可知，当时，，
，解得，即，
每1万件产品的销售价格为万元，
年的利润



与m之间的函数关系式是
由知
当时，，
当且仅当，即时取等号．
，
即当时，y取得最大值为
当该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家获得的利润最大，为21万元．