1.3空间向量及线性运算 讲义（含答案）2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

空间向量
一、空间向量的概念
1、定义 2、表示方法 3、模4、单位向量5、零向量6、相等向量7.、共线向量
都和平面向量一样
二、向量的运算：加、减、数乘、数量积都和平面一样
三、向量的基本定理：
一维（线）或者共线条件：两个非零向量，如果它们共线，则有唯一实数，使
二维（面）：向量不共线，向量共面，则有一对实数
三维（空间）：向量不共面，对空间中任意向量，则有实数
，其中空间的一组基底
注意：基底不唯一
【例1】空间向量基底，，则①，②，③
④中可作基底的有_____
解：画出正方体，标出个向量，看那组向量不共面，答案：②④
【例2】若向量不共面，则下列选项中不能构成空间一个基底的是（ ）
，， B、，，
C、，， D、，，
解：A不共面，
B选项=+，不存在，B共面
C选项=与共线，C共面
答案C
【例3】若向量的起点与终点互不重合且无三点共线，且满足下列关系，为
空间任何一点，则能使向量构成空间的一个基底的关系是（ ）
A、
B、
C、
D、
解：A、D选项，四点共面 错
B选项，虽然，但是可以，可能共面
答案选C
【例4】如图所示，空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，为中点，则等于（ ）
A、 B、
C、 D、
解：由题意得：，故选：A
【例5】如图，在平行六面体中，为和的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（ ）
A、 B、
C、 D、
解： ,
故选;A
【例6】如图，在四面体中，在棱上，满足，分别是的中点，设，，，用，，表示，则（ ）
A、 B、
C、 D、
解：根据空间向量可知
，，故选：C
【例7】已知空间四边形中，，，，点在上，且，为 中点，则等于（ ）
A、 B、
C、 D、
解：
.故选：B
【例8】在四棱锥中，底面为平行四边形，与交于点，为上一点，
，，则
解：
因为，
所以
三、共线定理、共面定理
推论：三点共线、四点共面判定（推导过程）
平面上： 若，则共线的充要条件是
空间上：若，则共面的充要条件是
（）
【例9】已知非零空间向量，且，则一定共线是（ ）
A、 B、 C、 D、
解：，，所以，答案A
【例10】（多选）下列命题中是假命题的是（ ）
若向量，则与共面
B、若与共面，则
C、若，则四点共面
D、若四点共面，则
解：B中需要满足不共线，D中需满足三点不共线 答案BD
【例11】（1）空间四点，满足，且，则________
空间任意点和不共线三点有如下关系：，则_________
解：（1）三点共线 （2）四点共面
【例12】已知是空间中一点，四点中任意三点不共线，但是四点共面，且
，则实数
解：因为，所以
所以
【例13】已知空间四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（ ）
A、 B、 C、 D、
解：，
由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，可得，解之得
故选：D
四、空间向量数量：
①利用可求夹角
②利用 可解决垂直问题
③利用a a=可求出向量的模
【例14】在正方体中中，有下列说法：①
② ③与的夹角为，其中正确的是_______
解：画图，①②正确，③夹角为
【例15】（1）已知空间向量满足，，则的值为______
（2）已知空间向量满足，，则与之间的的夹角为______
解：（1）
（2），
【例16】已知空间向量，设，与垂直，，
则
解：
【例17】已知矩形中，，将矩形沿对角线折起，使平面与平
面垂直，则=_________
解：画图，作交于，作交于，，
且两两垂直 所以
【例18】（多选）在三棱锥中，下列说法正确的是（ ）
若，则
若为的重心，则
若，则
若三棱锥的棱长都为2，分别为的中点，则
解：A、三点共线定理，，错误
B、，正确
C、用作为基底
要求
①
②
①+②得，C正确
D棱长都为2，可得，则错误
答案
【例19】已知正四面体的棱长是，若是中点，则（ ）
B、 C、 D、
解：画图，
【例20】如图，在中，是的中点，在边上，，与的交点
为.若，则的长为______
解：三点共线，所以
且也共线，所以， 所以，是的中点
，
【例21】如图，在平行六面体中，
分别求的长度
解：用向量为基底
注：空间中三个向量，如果知道三个向量的长度和两两的夹角，那么
平面上任何一个向量的都能用这三个向量表示，且能求出长度，任何两个向量的夹角都
可用这三个向量求出