2023-2024学年华东师大版八年级数学上册第13章全等三角形 解答题专题训练(含答案）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年华东师大版八年级数学上册第13章全等三角形 解答题专题训练(含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 885.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-06 15:19:20 | ||
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文档简介
2023-2024学年华东师大版八年级数学上册《第13章全等三角形》
解答题专题训练（附答案）
1．如图，已知在一条直线上，且．求证：．
2．已知：如图，，，，求证：．
3．如图，在和中，，，点C在上，，连接，．求证：．
4．已知：如图，，，．求证：．
5．已知如图，在和中，，，．求证：．
6．已知：如图，点E，D，B，F在同一条直线上，，，．求证．
7．如图，已知是的边上的高，E为上一点，且，．求证：．
8．如图，在中，于点F，于点E，BE、AF交于点O，且．求证：．
9．如图，和都是等腰三角形，，，，点E在上，点F在射线上，连接，若．
(1)求证：．
(2)求证：．
10．如图，在中，，分别为边上一点，连接．已知．
(1)求证：平分；
(2)若， 求证：．
11．如图，已知中，、的平分线交于O，交于D，交于E，连，过O作于F．
(1)试判断与有何数量关系，并证明你的结论；
(2)若，探究与的数量关系，并证明你的结论．
12．如图，已知，，，且B、D、E三点共线，
(1)证明：；
(2)证明：．
13．如图，，且，，且．
(1)如图1，连接、，求证：；
(2)如图2，求证；
14．如图1，在四边形中，，，，，分别在，上，且．
(1)求证：；
(2)如图2，若，分别在，的延长线上，其他条件不变，求证：．
15．在和中，，，，连接，．
(1)如图①，当点E在延长线上时，若，则______________；
(2)如图②，当点D在线段上时，求的度数．
16．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．
(1)如图①中，若和互为“兄弟三角形”，，．则
①___________（填>、＜或=）
②连接线段和，则___________（填>、＜或=）
(2)如图②，和互为“兄弟三角形”，，，若点D、点E均在外，连接、交于点M，连接，则线段还满足以上数量关系吗？请说明理由
17．（1）问题：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围．小华在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：延长到点E，使，得到，他用到的判定定理是______（用字母表示）．
（2）问题解决：小明发现，解题时条件中若出现“中点”，“中线”字样，可以考虑构造全等三角形，请写出小明解决问题的完整过程；
（3）应用：如图2，以的边，为边向外分别作等腰直角和，M是的中点，连接．当时，求的长．
18．如图（1），，，点C是上一点，且，．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由．
(2)如图（2），若把沿直线向左平移，使的顶点C与B重合，此时第（1）问中与的位置关系还成立吗？说明理由．（注意字母的变化）．
19．【问题发现】
如图1，已知中，，，点是线段上一点，过点A作交延长线于点，过点作于点．
(1)若，，则______．
(2)在图1中，线段、、有怎样的数量关系 请说明理由．
【抔展应用】
(3)如图2，已知中，，，点是内部一点，且，连接，若，求的面积．
20．【建立模型】
（1）填空：如图①，点是的平分线上一点，点在上，用圆规在上截取，连接、，可得，依据是（ ）
A． B． C． D．
【运用模型】
（2）如图②，在中，，，平分，试判断和、之间的数量关系，并写出证明过程．（提示：在上截取）
【拓展延伸】
（3）如图③，在中，，、分别是、的平分线，、交于点，若，，请直接写出的长．
参考答案
1．证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
2．证明：∵，
，
，
在和中，
∴ ，
∴．
3．证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
4．证明：，
，即．
在和中，
，
．
5．证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
6．证明：∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
∴（等角的补角相等）．
在和中，
，
∴，
∴（全等三角形的对应边相等）．
7．证明：∵是的边上的高，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴．
8．证明：，
，
，
，
在和中，
，
．
解:（1）
证明：如图，设与的交点为M，
在和中，
∵（已知），（对顶角相等）
∴．
（2）证明：如图，在上截取，连接，
在与中，
，
，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
即．
10．（1）证明：在和中，
，
∴，
∴，
∴平分．
（2）证明：由（1）可知，
∴，
∵，在四边形中，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
11．解:（1），
证明：过O作于M，于N，
∵平分，平分，，
∴，，
∴，
∴O在的角平分线上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，①
∵平分，平分，
∴，，
∴
，②
由①②得：；
（2），
证明：∵，
∴由（1）知：，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
在和中
∴，
∴．
12．（1）证明：∵，
∴，
∴，
在与中，，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴．
13．解:（1），，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）作交的延长线于，作于N，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
14．（1）解：如图，延长到G，使，连接，
在和中，，
∴ ，
∴，，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴ ，
∴，
由图可知，，
∴；
（2）解：如图，在上截取，连接，
在和中，
，
∴ ，
∴，，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴ ，
∴，
由图可知，，
∴．
15．（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：6；
（2）解：如图，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
16．解:（1）①；
∵和互为“兄弟三角形”，，，
∴，
∴，
即；
②；
在和中，
，
∴，
∴．
（2）满足以上关系证明：如图②，
∵和互为“兄弟三角形”，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
17．解：（1）延长到点E，使，得到，他用到的判定定理是，
故答案为：；
（2）∵边上的中线是，
∴，
在和中，
，
∴；
（3）解：延长到点N，使，
∵M是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
18．（1）解：，理由如下，
理由：∵，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
19．（1）解：，
，
，，
，，
，
在与中，
，
，，
，
故答案为：5；
（2）解：，
理由如下：
，
，
，，
，
，
，
在与中，
，
，，
，
即；
（3）解：如图2，过点A作，交的延长线于点，
，
，，
，
在和中，
，
．
20．解：（1）∵点是的平分线上一点，
∴，
在和，
，
∴，
故选B．
（2），证明如下：
在上截取，连接，如图①．
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴
∴，．
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图②，在上截取，
∵是平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵、分别是、的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
解答题专题训练（附答案）
1．如图，已知在一条直线上，且．求证：．
2．已知：如图，，，，求证：．
3．如图，在和中，，，点C在上，，连接，．求证：．
4．已知：如图，，，．求证：．
5．已知如图，在和中，，，．求证：．
6．已知：如图，点E，D，B，F在同一条直线上，，，．求证．
7．如图，已知是的边上的高，E为上一点，且，．求证：．
8．如图，在中，于点F，于点E，BE、AF交于点O，且．求证：．
9．如图，和都是等腰三角形，，，，点E在上，点F在射线上，连接，若．
(1)求证：．
(2)求证：．
10．如图，在中，，分别为边上一点，连接．已知．
(1)求证：平分；
(2)若， 求证：．
11．如图，已知中，、的平分线交于O，交于D，交于E，连，过O作于F．
(1)试判断与有何数量关系，并证明你的结论；
(2)若，探究与的数量关系，并证明你的结论．
12．如图，已知，，，且B、D、E三点共线，
(1)证明：；
(2)证明：．
13．如图，，且，，且．
(1)如图1，连接、，求证：；
(2)如图2，求证；
14．如图1，在四边形中，，，，，分别在，上，且．
(1)求证：；
(2)如图2，若，分别在，的延长线上，其他条件不变，求证：．
15．在和中，，，，连接，．
(1)如图①，当点E在延长线上时，若，则______________；
(2)如图②，当点D在线段上时，求的度数．
16．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．
(1)如图①中，若和互为“兄弟三角形”，，．则
①___________（填>、＜或=）
②连接线段和，则___________（填>、＜或=）
(2)如图②，和互为“兄弟三角形”，，，若点D、点E均在外，连接、交于点M，连接，则线段还满足以上数量关系吗？请说明理由
17．（1）问题：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围．小华在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：延长到点E，使，得到，他用到的判定定理是______（用字母表示）．
（2）问题解决：小明发现，解题时条件中若出现“中点”，“中线”字样，可以考虑构造全等三角形，请写出小明解决问题的完整过程；
（3）应用：如图2，以的边，为边向外分别作等腰直角和，M是的中点，连接．当时，求的长．
18．如图（1），，，点C是上一点，且，．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由．
(2)如图（2），若把沿直线向左平移，使的顶点C与B重合，此时第（1）问中与的位置关系还成立吗？说明理由．（注意字母的变化）．
19．【问题发现】
如图1，已知中，，，点是线段上一点，过点A作交延长线于点，过点作于点．
(1)若，，则______．
(2)在图1中，线段、、有怎样的数量关系 请说明理由．
【抔展应用】
(3)如图2，已知中，，，点是内部一点，且，连接，若，求的面积．
20．【建立模型】
（1）填空：如图①，点是的平分线上一点，点在上，用圆规在上截取，连接、，可得，依据是（ ）
A． B． C． D．
【运用模型】
（2）如图②，在中，，，平分，试判断和、之间的数量关系，并写出证明过程．（提示：在上截取）
【拓展延伸】
（3）如图③，在中，，、分别是、的平分线，、交于点，若，，请直接写出的长．
参考答案
1．证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
2．证明：∵，
，
，
在和中，
∴ ，
∴．
3．证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
4．证明：，
，即．
在和中，
，
．
5．证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
6．证明：∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
∴（等角的补角相等）．
在和中，
，
∴，
∴（全等三角形的对应边相等）．
7．证明：∵是的边上的高，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴．
8．证明：，
，
，
，
在和中，
，
．
解:（1）
证明：如图，设与的交点为M，
在和中，
∵（已知），（对顶角相等）
∴．
（2）证明：如图，在上截取，连接，
在与中，
，
，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
即．
10．（1）证明：在和中，
，
∴，
∴，
∴平分．
（2）证明：由（1）可知，
∴，
∵，在四边形中，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
11．解:（1），
证明：过O作于M，于N，
∵平分，平分，，
∴，，
∴，
∴O在的角平分线上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，①
∵平分，平分，
∴，，
∴
，②
由①②得：；
（2），
证明：∵，
∴由（1）知：，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
在和中
∴，
∴．
12．（1）证明：∵，
∴，
∴，
在与中，，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴．
13．解:（1），，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）作交的延长线于，作于N，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
14．（1）解：如图，延长到G，使，连接，
在和中，，
∴ ，
∴，，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴ ，
∴，
由图可知，，
∴；
（2）解：如图，在上截取，连接，
在和中，
，
∴ ，
∴，，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴ ，
∴，
由图可知，，
∴．
15．（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：6；
（2）解：如图，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
16．解:（1）①；
∵和互为“兄弟三角形”，，，
∴，
∴，
即；
②；
在和中，
，
∴，
∴．
（2）满足以上关系证明：如图②，
∵和互为“兄弟三角形”，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
17．解：（1）延长到点E，使，得到，他用到的判定定理是，
故答案为：；
（2）∵边上的中线是，
∴，
在和中，
，
∴；
（3）解：延长到点N，使，
∵M是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
18．（1）解：，理由如下，
理由：∵，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
19．（1）解：，
，
，，
，，
，
在与中，
，
，，
，
故答案为：5；
（2）解：，
理由如下：
，
，
，，
，
，
，
在与中，
，
，，
，
即；
（3）解：如图2，过点A作，交的延长线于点，
，
，，
，
在和中，
，
．
20．解：（1）∵点是的平分线上一点，
∴，
在和，
，
∴，
故选B．
（2），证明如下：
在上截取，连接，如图①．
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴
∴，．
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图②，在上截取，
∵是平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵、分别是、的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．