3.1勾股定理 同步测试题（含答案） 2023—2024学年苏科版八年级数学上册

2023-2024学年苏科版八年级数学上册《3.1勾股定理》同步测试题（附答案）
一、单选题（满分32分）
1．已知直角三角形两条直角边的长分别为3和4，则斜边的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，1，2 B．2，3，4 C．6，8，10 D．6，6，6
3．如图，在中，，，D是的中点，则的长为（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7
4．如图，在中，，作边的垂直平分线，垂足为，交于点，且，，则的周长是（ ）
A．14 B．16 C．18 D．22
5．如图，在中，，，，则图中阴影部分的正方形的面积为（ ）

A．4 B．8 C．16 D．25
6．《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在中平分，平分，且交于，若，則（ ）

A．36 B．24 C．9 D．6
8．已知直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将按如图所示的方式折叠，使点A与点B重合，则的长是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题（满分32分）
9．在中，斜边．则的值为 ．
10．如图，，，且，，，则线段的长为 ．

11．在中，，，，则另一边 ，面积为 ，边上的高为 ．
12．如图，四边形中，若，，，则的面积为 ．

13．在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为5，7，20，则正方形B的面积是 ．

14．如图，在中，，，，将折叠，使点与点重合，得折痕，则的周长等于 cm．

15．如图，在长方形中，，，为上一点，把沿折叠，使点落在边上的处，则的长为 ．
16．如图，在中，，，是的平分线，若分别是上的动点，则的最小值是 ．

三、解答题（满分56分）
17．如图所示，在边长为单位的网格中，是格点图形，求中边上的高．

18．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度为米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时米），感应门自动打开，为多少米？

19．如图，与都是等腰直角三角形，．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
20．如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒（）．

(1)若点在上，且满足，求此时的值；
(2)若点恰好在的角平分线上，求此时的值：
(3)在运动过程中，当为何值时，为等腰三角形．
21．公元前6世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了直角三角形三边之间的数量关系：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，这个结论称之为“勾股定理”．

(1)如图1，将等腰直角三角板顶点放在直线上，过点作，过点作，垂足分别为，设，请结合此图证明勾股定理．
(2)如图2，朵朵同学把四个直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓（实线）的周长为48，，求这个图案的面积．
22．问题探究
（1）如图1，M，N分别是正方形的边，上的动点，，，，求的长．

深入探究
（2）若把（1）中的条件改为，，求的长．
类比探究
（3）在（2）的条件下，如图2，当点M，N分别在正方形的边，的延长线上时，请直接写出的长度．
参考答案
1．解：由勾股定理得：斜边长为：=5．
故选：B．
2．解：A、，不是勾股数，该选项不符合题意；
B、，不是勾股数，该选项不符合题意；
C、，是勾股数，该选项符合题意；
D、，不是勾股数，该选项不符合题意．
故选：C．
3．解：∵，D是的中点，
∴，
∵，
∴，
在中，，
故选：A．
4．解：在中，，，
∵是的垂直平分线
∴，
∴的周长为,
故选：B．
5．解：在中，，，，
，
，
所以图中阴影部分的正方形的面积为16，
故选：C．
6．解：设门对角线长为x尺，根据勾股定理可得：
，
故选：B．
7．解：∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴为直角三角形，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
由勾股定理可知，
故选：A．
8．解：∵翻折后与完全重合，
∴，
设，则，，
∵在中，，
即，
解得，，
∴．
故选：B
9．解：∵中，斜边，
∴，
∴，
故答案为：18．
10．解： ，，，
在中，
，，
在中，
故答案为：．
11． 解：如图所示，
，，，
，，
设上的高为，
则根据面积可得：，
，
故答案为：4，6，．
12．解：过点A作交于点，如图，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
．
故答案为：．
13．解：由题意：，
∴
∵正方形A、C、D的面积依次为5、7、20，
∴，
∴．
故答案为：8．
14．解：在中，，，，
由勾股定理，得，
由翻折的性质，得．
的周长．
故答案为：17．
15．解：在矩形中，，，由折叠的性质可得：
，
∴ ，
∴，
设，则：，，
在中，由勾股定理可得：
，
解得： ，
∴ ，
故答案为：．
16．解：，是的平分线，
垂直平分，
，，，
由勾股定理，得．
如图，过点作于点，交于点，则此时取最小值，最小值为的长，如图所示．

，
，
即的最小值是．
故答案为：．
17．解：如图所述，过点作 的延长于点，过点作于点，

∵是格点图形，每个小正方形的边长为单位，
∴，，，
∴在中，，
∵，
∴，
∴中边上的高为．
18．解：如图，过点作于点，
米，米，米，
（米）．
在中，由勾股定理得到：（米），
答：为米．

19．（1）证明：∵与都是等腰直角三角形，．
∴，，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵是等腰直角三角形，．
∴
∵，
∴，，
∴，
在中，，
即的长为5．
20．（1）解：如图，设，则，

，，，
，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
，
；
（2）解：如图所示，当点P在上时，过作于，

平分，，
，，
在与中，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
，
，
当点与点重合时，点也在的角平分线上，
此时，．
综上所述，点恰好在的角平分线上，的值为或．
（3）解：分四种情况：
①如图，当在上且时，

∴，
∵，，
，
，
是的中点，即，
．
②如图，当在上且时，

∴．
③如图，当在上且时，过作于，
∵，
∴，

在中，由勾股定理得，
，
．
④如图，当在上且时，则，

．
综上所述，当的值为或或或3时，为等腰三角形．
21．（1）证明：由已知，得，，．
又，，
，，
，
，
，
．
又，
，
．
（2）图形的周长为48，由图可知，
．
由图可知，
在中，，
即，
解得，
，
图案的面积．
22．解：（1）如图，延长至点B1，使．

∵四边形是正方形，
∴．
在和中，
∴．
∴．
又∵，
∴，
∴．
在和中，
∴．
∴．
（2）如图，过点A作于点P，则．

∵四边形是正方形，
∴，
∴．
又∵，
∴．
在和中，，
∴．
∴．
在和中，，
∴．
∴．
∵，
∴．
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，解得，
∴．
（3）如图，延长，过A作的延长线于点E．

由正方形知，则B，
∵
∴．即
∵
∴
∴，又
∴．
在与中，
∴
∴
由，知
在中，设
则．
由勾股定理得，，
即：
解得．
∴的长度为．