第11~12章 综合复习（含解析） 2023--2024学年人教版八年级数学上册
文档属性
| 名称 | 第11~12章 综合复习（含解析） 2023--2024学年人教版八年级数学上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 274.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-06 18:27:08 | ||
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文档简介
八年级上册第11、12章综合复习
一．选择题（共10小题）
1．已知n是正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2、n+4、n+8，则n的取值范围是（ ）
A．n＞﹣1 B．n＞0 C．n＞2 D．n＞3
2．下列说法错误的个数（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②不相交的两条直线必平行；③三角形的三条高线交于一点：④直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到直线的距离；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的图形是（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法中，正确的个数有（ ）
①三角形具有稳定性；
②如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；
③三角形的角平分线是射线；
④直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离；
⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；
⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内；
A．2 B．3 C．4 D．5
5．用一块含30°角的透明直角三角板画已知△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，∠A＝38°，∠B＝70°，CD是AB边上的高，CE平分∠ACB交AB于E，DP是△CDE中CE边上的高，则∠CDP的度数是（ ）
A．75° B．74° C．73° D．72°
7．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∠A＝50°，则∠BOC＝（ ）
A．50° B．65° C．105° D．115°
8．如图，已知点E，D分别在△ABC边BA和CA的延长线上，CF和EF分别平分∠ACB和∠AED．如果∠B＝70°，∠D＝50°，则∠F的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
9．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝12，BC＝5，AB的垂直平分线分别与AB、AC交于点D、点E，那么△BCE的周长等于（ ）
A．25 B．17 C．18 D．以上都不对
10．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：
①∠CEG＝2∠DCB；
②∠ADC＝∠GCD；
③CA平分∠BCG；
④∠DFB＝∠CGE．
其中正确的结论是（ ）
A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二．填空题（共5小题）
11．如图，△ABC中，AB＝2.5cm，AC＝6cm，BC＝6.5cm，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点P，过点P作PD⊥BC，垂足为点D，则线段PD的长为 cm．
12．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若△ABC的面积为21cm2，AB＝8cm，AC＝6cm，则DE的长为 cm．
13．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 ．
14．点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标为 ．
15．如图，已知AB＝A1B1，A1C＝A1A2，A2D＝A2A3，A3E＝A3A4，…，以此类推，若∠B＝20°，则∠A4＝ ．
三．解答题（共10小题）
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、BE相交于点H，AE＝BE．试说明：
（1）△AEH≌△BEC．
（2）AH＝2BD．
17．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DE＝EC，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE．
（1）求证：AE＝EF；
（2）若BE⊥AF，求证：BC＝AB﹣AD．
18．阅读：在同一个三角形中，相等的边所对的角相等，简称为“等边对等角”．例如，在△ABC中，如果AB＝AC，依据“等边对等角”可得∠B＝∠C．请运用上述知识，解决问题：
已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE是三角形的角平分线，交AD于F．
（1）若∠ABC＝40°，求∠AFE的度数．
（2）若AE＝AF，试判断△ABC的形状，并写出证明过程．
19．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，交BC于点D．
（1）如图①，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．求证：△ACD≌△EBD；
（2）如图②，若∠BAC＝90°，试探究AD与BC有何数量关系，并说明理由．
20．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE，设∠BAC＝∠1，∠DCE＝∠2．
（1）如图①，当点D在线段BC上移动时，试说明：∠1+∠2＝180°；
（2）如图②，当点D在线段BC的延长线上移动时，请猜测∠1与∠2有怎样的数量关系？并说明理由．
21．如图，△ABC中，AB＝AC，∠EAF═∠BAC，BF⊥AE于E交AF于点F，连结CF．
（1）如图1所示，当∠EAF在∠BAC内部时，求证：EF＝BE+CF．
（2）如图2所示，当∠EAF的边AE、AF分别在∠BAC外部、内部时，求证：CF＝BF+2BE．
22．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一动点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，BC＝4，连接CE．
（1）如图1，点D在边BC上，求证：△ABD≌△ACE．
（2）在（1）的条件下，若∠BAC＝90°，求证：EC⊥BC．
（3）若∠BAC＝90°，DC＝1，则S△DCE＝ ．
23．如图，已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm．
（1）如果点P在线段BC上以4cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以a厘米/秒的速度由C点向D点运动，设运动的时间为t秒，
①BP＝ 厘米，CP＝ 厘米．（用含t的代数式表示）
②若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，求a的值．
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动．则点P与点Q会不会相遇？若不相遇，请说明理由；若相遇，求出经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD的何处相遇？
24．（1）如图（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE＝BD+CE；
（2）如图（2）将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
25．如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝4cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．
（1）求证：AB∥DE．
（2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）．
（3）连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．
八年级上册第11、12章综合复习
参考答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
选项 C D A B D B D C B B
1．【解答】解：∵三角形的三边长分别是n+2、n+4、n+8，
∴n+2+n+4＞n+8，
解得n＞2．
故选：C．
2．【解答】解：①平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原题说法错误；
②平面内，不相交的两条直线必平行，故原题说法错误；
③三角形的三条高线交于一点，应该是三条高线所在直线交于一点，故原题说法错误：
④直线外一点到已知直线的垂线段的长度叫做这点到直线的距离，故原题说法错误；
⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原题说法错误．
错误的说法有5个，
故选：D．
3．【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项A．
故选：A．
4．【解答】解：①三角形具有稳定性，正确；
②如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，故原说法错误；
③三角形的角平分线是射线，错误；
④直线外一点到这条直线的垂线段长度叫做这点到直线的距离，故此选项错误；
⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，正确；
⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内，正确；
故选：B．
5．【解答】解：A，B，C都不是△ABC的边BC上的高．
故选：D．
6．【解答】解：∵∠A＝38°，∠B＝70°，
∴∠BCA＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣38°﹣70°＝72°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ACB＝×72°＝36°，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝90°﹣38°＝52°，
∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝52°﹣36°＝16°，
∵DP⊥CE，
∴∠CDP＝90°﹣∠DCE＝90°﹣16°＝74°．
故选：B．
7．【解答】解：∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝65°，
在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣65°＝115°．
故选：D．
8．【解答】解：如图，设AB交CF于点G，
∵CF、EF分别平分∠ACB和∠AED，
∴∠BCF＝∠ACF，∠DEF＝∠AEF，
∵∠BCF+∠B＝∠AEF+∠F；∠BCF+∠ACF+∠B＝∠DEF+∠AEF+∠D，即2∠BCF+∠B＝2∠AEF+∠D，
又∵∠B＝70°，∠D＝50°，
∴∠BCF+70°＝∠AEF+∠F①，2∠BCF+70°＝2∠AEF+50°②，
①×2﹣②得，70°＝2∠F﹣50°，
解得∠F＝60°．
故选：C．
9．【解答】解：∵在△ABC中，AC＝12，BC＝5，DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴△BCE的周长＝（BE+CE）+BC＝AC+BC＝12+5＝17．
故选：B．
10．【解答】解：∵EG∥BC，
∴∠CEG＝∠BCA，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCA＝2∠DCB，
∴∠CEG＝2∠DCB，故①正确，
∵CG⊥EG，
∴∠G＝90°，
∴∠GCE+∠CEG＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠BCA+∠ABC＝90°，
∵∠CEG＝∠ACB，
∴∠ECG＝∠ABC，
∵∠ADC＝∠ABC+∠DCB，∠GCD＝∠ECG+∠ACD，∠ACD＝∠DCB，
∴∠ADC＝∠GCD，故②正确，
假设AC平分∠BCG，则∠ECG＝∠ECB＝∠CEG，
∴∠ECG＝∠CEG＝45°，显然不符合题意，故③错误，
∵∠DFB＝∠FCB+∠FBC＝（∠ACB+∠ABC）＝45°，∠CGE＝45°，
∴∠DFB＝∠CGE，故④正确，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：过P点作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∵∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点P，过点P作PD⊥BC，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴PD＝PE，PD＝PF，
∴PE＝PD＝PF，
∵△ABC中，AB＝2.5cm，AC＝6cm，BC＝6.5cm，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴，
即，
解得：PD＝1（cm），
故答案为：1．
12．【解答】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC，
∴×AB×DE+×DF×AC＝21，
即×8×DE+×DE×6＝21，
∴DE＝3（cm）．
故答案为3．
13．【解答】解：在△ACE和△BDF中，
∠A+∠C+∠E＝180°，∠B+∠D+∠F＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝180°+180°＝360°，
故答案为：360°．
14．【解答】解：点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标为（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）．
15．【解答】解：∵AB＝A1B，∠B＝20°，
∴∠A＝∠BA1A＝（180°﹣∠B）＝×（180°﹣20°）＝80°．
∵A1C＝A1A2，A2D＝A2A3，A3E＝A3A4，
∴∠A1CD＝∠A1A2C，
∵∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠BA1A＝2∠CA2A1＝4∠DA3A2＝8A4，
∴∠A4＝10°．
故答案为：10°．
三．解答题（共10小题）
16．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C＝90°，
∵BE⊥AC，
∴∠EBC+∠C＝90°，
∴∠DAC＝∠EBC，
在△AEH与△BEC中，
，
∴△AEH≌△BEC（ASA）；
（2）∵△AEH≌△BEC，
∴AH＝BC，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2BD，
∴AH＝2BD．
17．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠F，∠ADE＝∠FCE，
又∵DE＝CE，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AE＝EF；
（2）∵AE＝EF，BE⊥AF，
∴AB＝BF，
∵△ADE≌△FCE，
∴AD＝CF，
∴AB＝BC+CF＝BC+AD，
∴BC＝AB﹣AD．
18．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝40°，BE平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠ABC＝20°，
∴∠BFD＝90°﹣20°＝70°，
∴∠AFE＝∠BFD＝70°；
（2）∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∵∠ABE＝∠DBE，∠AFE＝∠BFD，
∴∠BAE＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB，∠BDF＝180°﹣∠DBF﹣∠BFD，
∴∠BAE＝∠BDF＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
19．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，交BC于点D．
（1）如图①，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．求证：△ACD≌△EBD；
（2）如图②，若∠BAC＝90°，试探究AD与BC有何数量关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，
∴CD＝BD，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（SAS）；
（2）解：AD与BC的数量关系为：AD＝BC，理由如下：
延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，如图2所示：
同（1）得：△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC＝BE，∠DAC＝∠DEB，
∴AC∥BE，
∴∠BAC+∠ABE＝180°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠ABE＝90°，
在△BAC和△ABE中，
，
∴△BAC≌△ABE（SAS），
∴BC＝AE，
∵AD＝DE＝AE，
∴AD＝BC．
20．【解答】证明：（1）∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠BAC+∠ABD+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+∠ACB+∠ACE＝∠BAC+∠BCE＝180°，
∴∠1+∠2＝180°；
（2）∠1＝∠2，
理由如下：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠BAC+∠ABD+∠ACB＝180°，∠ACE+∠ACB+∠DCE＝180°，
∴∠1＝∠2．
21．【解答】证明：（1）如图，在EF上截取EH＝BE，连接AH，
∵EB＝EH，AE⊥BF，∴AB＝AH，
∵AB＝AH，AE⊥BH，
∴∠BAE＝∠EAH，
∵AB＝AC，∴AC＝AH，
∵∠EAF═∠BAC
∴∠BAE+∠CAF＝∠EAF，
∴∠BAE+∠CAF＝∠EAH+∠FAH，
∴∠CAF＝∠HAF，
在△ACF和△AHF中，
，
∴△ACF≌△AHF（SAS），∴CF＝HF，
∴EF＝EH+HF＝BE+CF；
（2）如图，在BE的延长线上截取EN＝BE，连接AN，
∵AE⊥BF，BE＝EN，AB＝AC，
∴AN＝AB＝AC，
∵AN＝AB，AE⊥BN，
∴∠BAE＝∠NAE，
∵∠EAF═∠BAC
∴∠EAF+∠NAE＝（∠BAC+2∠NAE）
∴∠FAN＝∠CAN，
∴∠FAN＝∠CAF，
在△ACF和△ANF中，
，
∴△ACF≌△ANF（SAS），
∴CF＝NF，
∴CF＝BF+2BE．
22．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一动点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，BC＝4，连接CE．
（1）如图1，点D在边BC上，求证：△ABD≌△ACE．
（2）在（1）的条件下，若∠BAC＝90°，求证：EC⊥BC．
（3）若∠BAC＝90°，DC＝1，则S△DCE＝ 或 ．
【解答】（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
（2）证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°．
∴△ABD≌△ACE（AAS）．
∴∠ABD＝∠ACE＝45°．
∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°．
∴EC⊥BC．
（3）解：当点D在线段BC上，如图，
由（2）可得，EC⊥BC，
即∠ECD＝90°，
∵BC＝4，DC＝1，△ABD≌△ACE
∴CE＝BD＝BC﹣DC＝3
∴；
当点D在线段BC的延长线上，如图，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠DAC＝∠BAC+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，△ABD≌△ACE
∴∠ABC＝∠ACB＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝90°，
∴∠ECD＝90°，
∵BC＝4，DC＝1，△ABD≌△ACE
∴CE＝BD＝BC+DC＝5，
∴；
综上，S△DCE为或，
23．如图，已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm．
（1）如果点P在线段BC上以4cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以a厘米/秒的速度由C点向D点运动，设运动的时间为t秒，
①BP＝ 4t 厘米，CP＝ （10﹣4t） 厘米．（用含t的代数式表示）
②若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，求a的值．
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动．则点P与点Q会不会相遇？若不相遇，请说明理由；若相遇，求出经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD的何处相遇？
【解答】解：（1）①BP＝4tcm，CP＝（10﹣4t）cm；
故答案为：4t，（10﹣4t）；
②当△BPE≌△CPQ时，BP＝PC，BE＝CQ，
即4t＝10﹣4t，at＝6，
解得a＝4.8；
当△BPE≌△CQP时，BP＝CQ，BE＝PC，
即4t＝at，10﹣4t＝6，
解得a＝4．
综上所述，满足条件的a的值为4.8或4；
（2）①当a＝4.8时，
由题意得，4.8t﹣4t＝30，
解得t＝37.5，
∴点P共运动了37.5×4＝150cm，
∴点P与点Q在点A相遇．
②当a＝4时，点P与点Q的速度相等，
∴点P与点Q不会相遇．（不符合题意，舍去）
答：经过37.5秒点P与点Q第一次在点A相遇．
24．（1）如图（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE＝BD+CE；
（2）如图（2）将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【解答】证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE．
25．如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝4cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．
（1）求证：AB∥DE．
（2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）．
（3）连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．
【解答】（1）证明：在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴∠A＝∠E，
∴AB∥DE．
（2）当0≤t≤时，AP＝3tcm；
当＜t≤时，BP＝（3t﹣4）cm，
则AP＝4﹣（3t﹣4）＝（8﹣3t）cm；
综上所述，线段AP的长为3tcm或（8﹣3t）cm；
（3）由（1）得：∠A＝∠E，ED＝AB＝4cm，
在△ACP和△ECQ中，
，
∴△ACP≌△ECQ（ASA），
∴AP＝EQ，
当0≤t≤时，3t＝4﹣t，
解得：t＝1；
当＜t≤时，8﹣3t＝4﹣t，
解得：t＝2；
综上所述，当线段PQ经过点C时，t的值为1s或2s．
一．选择题（共10小题）
1．已知n是正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2、n+4、n+8，则n的取值范围是（ ）
A．n＞﹣1 B．n＞0 C．n＞2 D．n＞3
2．下列说法错误的个数（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②不相交的两条直线必平行；③三角形的三条高线交于一点：④直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到直线的距离；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的图形是（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法中，正确的个数有（ ）
①三角形具有稳定性；
②如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；
③三角形的角平分线是射线；
④直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离；
⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；
⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内；
A．2 B．3 C．4 D．5
5．用一块含30°角的透明直角三角板画已知△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，∠A＝38°，∠B＝70°，CD是AB边上的高，CE平分∠ACB交AB于E，DP是△CDE中CE边上的高，则∠CDP的度数是（ ）
A．75° B．74° C．73° D．72°
7．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∠A＝50°，则∠BOC＝（ ）
A．50° B．65° C．105° D．115°
8．如图，已知点E，D分别在△ABC边BA和CA的延长线上，CF和EF分别平分∠ACB和∠AED．如果∠B＝70°，∠D＝50°，则∠F的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
9．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝12，BC＝5，AB的垂直平分线分别与AB、AC交于点D、点E，那么△BCE的周长等于（ ）
A．25 B．17 C．18 D．以上都不对
10．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：
①∠CEG＝2∠DCB；
②∠ADC＝∠GCD；
③CA平分∠BCG；
④∠DFB＝∠CGE．
其中正确的结论是（ ）
A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二．填空题（共5小题）
11．如图，△ABC中，AB＝2.5cm，AC＝6cm，BC＝6.5cm，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点P，过点P作PD⊥BC，垂足为点D，则线段PD的长为 cm．
12．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若△ABC的面积为21cm2，AB＝8cm，AC＝6cm，则DE的长为 cm．
13．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 ．
14．点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标为 ．
15．如图，已知AB＝A1B1，A1C＝A1A2，A2D＝A2A3，A3E＝A3A4，…，以此类推，若∠B＝20°，则∠A4＝ ．
三．解答题（共10小题）
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、BE相交于点H，AE＝BE．试说明：
（1）△AEH≌△BEC．
（2）AH＝2BD．
17．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DE＝EC，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE．
（1）求证：AE＝EF；
（2）若BE⊥AF，求证：BC＝AB﹣AD．
18．阅读：在同一个三角形中，相等的边所对的角相等，简称为“等边对等角”．例如，在△ABC中，如果AB＝AC，依据“等边对等角”可得∠B＝∠C．请运用上述知识，解决问题：
已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE是三角形的角平分线，交AD于F．
（1）若∠ABC＝40°，求∠AFE的度数．
（2）若AE＝AF，试判断△ABC的形状，并写出证明过程．
19．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，交BC于点D．
（1）如图①，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．求证：△ACD≌△EBD；
（2）如图②，若∠BAC＝90°，试探究AD与BC有何数量关系，并说明理由．
20．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE，设∠BAC＝∠1，∠DCE＝∠2．
（1）如图①，当点D在线段BC上移动时，试说明：∠1+∠2＝180°；
（2）如图②，当点D在线段BC的延长线上移动时，请猜测∠1与∠2有怎样的数量关系？并说明理由．
21．如图，△ABC中，AB＝AC，∠EAF═∠BAC，BF⊥AE于E交AF于点F，连结CF．
（1）如图1所示，当∠EAF在∠BAC内部时，求证：EF＝BE+CF．
（2）如图2所示，当∠EAF的边AE、AF分别在∠BAC外部、内部时，求证：CF＝BF+2BE．
22．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一动点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，BC＝4，连接CE．
（1）如图1，点D在边BC上，求证：△ABD≌△ACE．
（2）在（1）的条件下，若∠BAC＝90°，求证：EC⊥BC．
（3）若∠BAC＝90°，DC＝1，则S△DCE＝ ．
23．如图，已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm．
（1）如果点P在线段BC上以4cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以a厘米/秒的速度由C点向D点运动，设运动的时间为t秒，
①BP＝ 厘米，CP＝ 厘米．（用含t的代数式表示）
②若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，求a的值．
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动．则点P与点Q会不会相遇？若不相遇，请说明理由；若相遇，求出经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD的何处相遇？
24．（1）如图（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE＝BD+CE；
（2）如图（2）将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
25．如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝4cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．
（1）求证：AB∥DE．
（2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）．
（3）连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．
八年级上册第11、12章综合复习
参考答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
选项 C D A B D B D C B B
1．【解答】解：∵三角形的三边长分别是n+2、n+4、n+8，
∴n+2+n+4＞n+8，
解得n＞2．
故选：C．
2．【解答】解：①平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原题说法错误；
②平面内，不相交的两条直线必平行，故原题说法错误；
③三角形的三条高线交于一点，应该是三条高线所在直线交于一点，故原题说法错误：
④直线外一点到已知直线的垂线段的长度叫做这点到直线的距离，故原题说法错误；
⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原题说法错误．
错误的说法有5个，
故选：D．
3．【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项A．
故选：A．
4．【解答】解：①三角形具有稳定性，正确；
②如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，故原说法错误；
③三角形的角平分线是射线，错误；
④直线外一点到这条直线的垂线段长度叫做这点到直线的距离，故此选项错误；
⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，正确；
⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内，正确；
故选：B．
5．【解答】解：A，B，C都不是△ABC的边BC上的高．
故选：D．
6．【解答】解：∵∠A＝38°，∠B＝70°，
∴∠BCA＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣38°﹣70°＝72°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ACB＝×72°＝36°，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝90°﹣38°＝52°，
∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝52°﹣36°＝16°，
∵DP⊥CE，
∴∠CDP＝90°﹣∠DCE＝90°﹣16°＝74°．
故选：B．
7．【解答】解：∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝65°，
在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣65°＝115°．
故选：D．
8．【解答】解：如图，设AB交CF于点G，
∵CF、EF分别平分∠ACB和∠AED，
∴∠BCF＝∠ACF，∠DEF＝∠AEF，
∵∠BCF+∠B＝∠AEF+∠F；∠BCF+∠ACF+∠B＝∠DEF+∠AEF+∠D，即2∠BCF+∠B＝2∠AEF+∠D，
又∵∠B＝70°，∠D＝50°，
∴∠BCF+70°＝∠AEF+∠F①，2∠BCF+70°＝2∠AEF+50°②，
①×2﹣②得，70°＝2∠F﹣50°，
解得∠F＝60°．
故选：C．
9．【解答】解：∵在△ABC中，AC＝12，BC＝5，DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴△BCE的周长＝（BE+CE）+BC＝AC+BC＝12+5＝17．
故选：B．
10．【解答】解：∵EG∥BC，
∴∠CEG＝∠BCA，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCA＝2∠DCB，
∴∠CEG＝2∠DCB，故①正确，
∵CG⊥EG，
∴∠G＝90°，
∴∠GCE+∠CEG＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠BCA+∠ABC＝90°，
∵∠CEG＝∠ACB，
∴∠ECG＝∠ABC，
∵∠ADC＝∠ABC+∠DCB，∠GCD＝∠ECG+∠ACD，∠ACD＝∠DCB，
∴∠ADC＝∠GCD，故②正确，
假设AC平分∠BCG，则∠ECG＝∠ECB＝∠CEG，
∴∠ECG＝∠CEG＝45°，显然不符合题意，故③错误，
∵∠DFB＝∠FCB+∠FBC＝（∠ACB+∠ABC）＝45°，∠CGE＝45°，
∴∠DFB＝∠CGE，故④正确，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：过P点作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∵∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点P，过点P作PD⊥BC，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴PD＝PE，PD＝PF，
∴PE＝PD＝PF，
∵△ABC中，AB＝2.5cm，AC＝6cm，BC＝6.5cm，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴，
即，
解得：PD＝1（cm），
故答案为：1．
12．【解答】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC，
∴×AB×DE+×DF×AC＝21，
即×8×DE+×DE×6＝21，
∴DE＝3（cm）．
故答案为3．
13．【解答】解：在△ACE和△BDF中，
∠A+∠C+∠E＝180°，∠B+∠D+∠F＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝180°+180°＝360°，
故答案为：360°．
14．【解答】解：点P（2，3）关于y轴的对称点Q的坐标为（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）．
15．【解答】解：∵AB＝A1B，∠B＝20°，
∴∠A＝∠BA1A＝（180°﹣∠B）＝×（180°﹣20°）＝80°．
∵A1C＝A1A2，A2D＝A2A3，A3E＝A3A4，
∴∠A1CD＝∠A1A2C，
∵∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠BA1A＝2∠CA2A1＝4∠DA3A2＝8A4，
∴∠A4＝10°．
故答案为：10°．
三．解答题（共10小题）
16．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C＝90°，
∵BE⊥AC，
∴∠EBC+∠C＝90°，
∴∠DAC＝∠EBC，
在△AEH与△BEC中，
，
∴△AEH≌△BEC（ASA）；
（2）∵△AEH≌△BEC，
∴AH＝BC，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2BD，
∴AH＝2BD．
17．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠F，∠ADE＝∠FCE，
又∵DE＝CE，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AE＝EF；
（2）∵AE＝EF，BE⊥AF，
∴AB＝BF，
∵△ADE≌△FCE，
∴AD＝CF，
∴AB＝BC+CF＝BC+AD，
∴BC＝AB﹣AD．
18．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝40°，BE平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠ABC＝20°，
∴∠BFD＝90°﹣20°＝70°，
∴∠AFE＝∠BFD＝70°；
（2）∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∵∠ABE＝∠DBE，∠AFE＝∠BFD，
∴∠BAE＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB，∠BDF＝180°﹣∠DBF﹣∠BFD，
∴∠BAE＝∠BDF＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
19．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，交BC于点D．
（1）如图①，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．求证：△ACD≌△EBD；
（2）如图②，若∠BAC＝90°，试探究AD与BC有何数量关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，
∴CD＝BD，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（SAS）；
（2）解：AD与BC的数量关系为：AD＝BC，理由如下：
延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，如图2所示：
同（1）得：△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC＝BE，∠DAC＝∠DEB，
∴AC∥BE，
∴∠BAC+∠ABE＝180°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠ABE＝90°，
在△BAC和△ABE中，
，
∴△BAC≌△ABE（SAS），
∴BC＝AE，
∵AD＝DE＝AE，
∴AD＝BC．
20．【解答】证明：（1）∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠BAC+∠ABD+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+∠ACB+∠ACE＝∠BAC+∠BCE＝180°，
∴∠1+∠2＝180°；
（2）∠1＝∠2，
理由如下：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠BAC+∠ABD+∠ACB＝180°，∠ACE+∠ACB+∠DCE＝180°，
∴∠1＝∠2．
21．【解答】证明：（1）如图，在EF上截取EH＝BE，连接AH，
∵EB＝EH，AE⊥BF，∴AB＝AH，
∵AB＝AH，AE⊥BH，
∴∠BAE＝∠EAH，
∵AB＝AC，∴AC＝AH，
∵∠EAF═∠BAC
∴∠BAE+∠CAF＝∠EAF，
∴∠BAE+∠CAF＝∠EAH+∠FAH，
∴∠CAF＝∠HAF，
在△ACF和△AHF中，
，
∴△ACF≌△AHF（SAS），∴CF＝HF，
∴EF＝EH+HF＝BE+CF；
（2）如图，在BE的延长线上截取EN＝BE，连接AN，
∵AE⊥BF，BE＝EN，AB＝AC，
∴AN＝AB＝AC，
∵AN＝AB，AE⊥BN，
∴∠BAE＝∠NAE，
∵∠EAF═∠BAC
∴∠EAF+∠NAE＝（∠BAC+2∠NAE）
∴∠FAN＝∠CAN，
∴∠FAN＝∠CAF，
在△ACF和△ANF中，
，
∴△ACF≌△ANF（SAS），
∴CF＝NF，
∴CF＝BF+2BE．
22．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一动点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，BC＝4，连接CE．
（1）如图1，点D在边BC上，求证：△ABD≌△ACE．
（2）在（1）的条件下，若∠BAC＝90°，求证：EC⊥BC．
（3）若∠BAC＝90°，DC＝1，则S△DCE＝ 或 ．
【解答】（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
（2）证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°．
∴△ABD≌△ACE（AAS）．
∴∠ABD＝∠ACE＝45°．
∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°．
∴EC⊥BC．
（3）解：当点D在线段BC上，如图，
由（2）可得，EC⊥BC，
即∠ECD＝90°，
∵BC＝4，DC＝1，△ABD≌△ACE
∴CE＝BD＝BC﹣DC＝3
∴；
当点D在线段BC的延长线上，如图，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠DAC＝∠BAC+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，△ABD≌△ACE
∴∠ABC＝∠ACB＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝90°，
∴∠ECD＝90°，
∵BC＝4，DC＝1，△ABD≌△ACE
∴CE＝BD＝BC+DC＝5，
∴；
综上，S△DCE为或，
23．如图，已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm．
（1）如果点P在线段BC上以4cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以a厘米/秒的速度由C点向D点运动，设运动的时间为t秒，
①BP＝ 4t 厘米，CP＝ （10﹣4t） 厘米．（用含t的代数式表示）
②若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，求a的值．
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动．则点P与点Q会不会相遇？若不相遇，请说明理由；若相遇，求出经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD的何处相遇？
【解答】解：（1）①BP＝4tcm，CP＝（10﹣4t）cm；
故答案为：4t，（10﹣4t）；
②当△BPE≌△CPQ时，BP＝PC，BE＝CQ，
即4t＝10﹣4t，at＝6，
解得a＝4.8；
当△BPE≌△CQP时，BP＝CQ，BE＝PC，
即4t＝at，10﹣4t＝6，
解得a＝4．
综上所述，满足条件的a的值为4.8或4；
（2）①当a＝4.8时，
由题意得，4.8t﹣4t＝30，
解得t＝37.5，
∴点P共运动了37.5×4＝150cm，
∴点P与点Q在点A相遇．
②当a＝4时，点P与点Q的速度相等，
∴点P与点Q不会相遇．（不符合题意，舍去）
答：经过37.5秒点P与点Q第一次在点A相遇．
24．（1）如图（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE＝BD+CE；
（2）如图（2）将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【解答】证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE．
25．如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝4cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．
（1）求证：AB∥DE．
（2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）．
（3）连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．
【解答】（1）证明：在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴∠A＝∠E，
∴AB∥DE．
（2）当0≤t≤时，AP＝3tcm；
当＜t≤时，BP＝（3t﹣4）cm，
则AP＝4﹣（3t﹣4）＝（8﹣3t）cm；
综上所述，线段AP的长为3tcm或（8﹣3t）cm；
（3）由（1）得：∠A＝∠E，ED＝AB＝4cm，
在△ACP和△ECQ中，
，
∴△ACP≌△ECQ（ASA），
∴AP＝EQ，
当0≤t≤时，3t＝4﹣t，
解得：t＝1；
当＜t≤时，8﹣3t＝4﹣t，
解得：t＝2；
综上所述，当线段PQ经过点C时，t的值为1s或2s．