2.4线段、角的轴对称性 (三大题型巩固)训练 （无答案）2023-2024学年苏科版数学八年级上册

2.4线段、角的轴对称性(三大题型巩固)
【学习目标】
掌握分辨角平分线的画法和垂直平分线的画法
2．掌握垂直平分线的性质和证明运用
3. 掌握角平分线的性质和证明运用
【典型例题】
类型一、作图
【例1】作图题：在∠ABC内找一点P，使它到∠ABC的两边的距离相等，
并且到点A、C的距离也相等．（写出作法，保留作图痕迹）
举一反三：
【变式1】如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的8×8正方形网格中，点A，B，C，M，N均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画图．
（1）画出△ABC关于直线MN对称的△A′B′C′；
（2）在线段MN上找一点P，使得∠APM＝∠CPN．（保留必要的画图痕迹，并标出点P位置）
【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD．
（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）在（1）的条件下，连接DE，证明．
【变式3】（1）如图，已知为边上一点，请用尺规作图的方法在边上求作一点．使．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在上图中，如果，则的周长是_______．
【变式4】如图，已知△ABC．
（1）利用直尺和圆规，按照下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）
①作∠ABC的平分线BD交AC于点D；
②作线段BD的垂直平分线分别交AB、BC于点E、F．
（2）连接DE，请判断线段DE与线段BF的数量关系，并说明理由．
类型二、线段的垂直平分线的性质与证明
【例2】如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．已知△ADE的周长为13cm．
（1）求线段BC；
（2）分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为27cm，则OA的长为 　 　cm．
举一反三：
【变式1】如图，点P是∠AOB的角平分线上的一点，过点P作PC∥OA交OB于点C，PD⊥OA交OA于点D．
（1）求证：点C在OP的垂直平分线上；
（2）若∠AOB＝30°，OC＝6，求PD的长．
【变式2】如图所示．点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F．
（1）若MN＝20cm，求△PEF的周长．
（2）若∠AOB＝35°，求∠EPF的度数．
（3）若连接OP，请说明OP平分∠EPF．
【变式3】如图，点是等边外一点，，，点，分别在，上，连接、、、．
(1)求证：是的垂直平分线；
(2)若平分，，求的周长．
【变式4】在△ABC中，AB＝10，AC＝6．若点D为∠BAC的平分线上一点．
（1）当点D在△ABC的外部时，如图1，过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC交AC的延长线于F，且BE＝CF．
①求证：点D在BC的垂直平分线上；
②BE＝　 　．
（2）当点D在线段BC上时，如图2，若∠C＝90°，BE平分∠ABC，交AC于点E，交AD与点F，过点F作FG⊥BE，交BC于点G，则
①∠DFG＝　 　；
②若BC＝8，EC＝，则GC＝　 　．
（3）如图3，过点A的直线lBC，若∠C＝90°，BC＝8，点D到△ABC三边所在直线的距离相等，则点D到直线l的距离是 　 　．
类型三、角平分线的性质与证明
【例1】如图，已知、的角平分线、相交于点P，，，垂足分别为M、N．现有四个结论：①平分；②；③；④．其中结论正确的是（ ）
A．①②④ B．①④ C．①②③ D．②③④
举一反三：
【变式1】如图1，已知中内部的射线与的外角的平分线相交于点.若.
求证：平分；
（2）如图2，点是射线上一点，垂直平分于点，于点，连接，若，求.
【变式2】如图，△ABC中，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．
（1）如图①，若AB≠AC，图中有哪几个等腰三角形？猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．
（2）如图②，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？有哪几个？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．
【变式3】已知中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点．
(1)如图，求证：．

(2)如图，连接，求证：平分．

(3)如图，若，，，求的值．

【变式4】我们知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴，角平分线有许多性质．
（1）如图1，在的平分线上截取线段，分别以点O和点C为圆心、大于的长为半径画弧，两弧相交于点E、F．画直线，分别交、于点D．G连结，，则形状一定是_____________________；
（2）如图2，在中，，平分，过点D作于M，连结，若，求证：；
（3）如图3，点D是的平分线上一点，P是边上一点，若，，点D到的距离为8，直接写出线段的长．